2022-2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试卷(含解析)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省苏州市高新一中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（　　）
A．2.29米 B．2.30米 C．2.31米 D．2.33米
2．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）
3．已知⊙O的面积为16πcm2，若点O到直线m的距离为πcm，则直线m与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
4．如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（　　）

A．8米 B．10米 C．18米 D．20米
5．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（　　）

A．110° B．100° C．120° D．130°
6．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
7．一次函数y＝cx﹣a（c＝0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AO＝BO＝CO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向运动．它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动，设运动时间为t秒，下列结论错误的是（　　）

A．OQ＝2t
B．经过2秒或4秒或秒时，△POQ的面积为8平方厘米
C．当△OPC与△OPQ相似时，t＝3或
D．当△PBQ为等腰三角形时，t＝﹣4+2或
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知∠A为锐角，且cosA＝，则∠A度数等于　 　度．
10．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为 　 　分．

11．圆锥的高h＝3，母线l＝5，则圆锥的侧面积是 　 　．
12．一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为r，2r，3r，则小钢球停止在蓝色区域的概率为 　 　．

13．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）约为 　 　尺．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1尺）

14．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 　 　．

15．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，△A1O1A2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面三个推断中，①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是 　 　（填所有正确答案的序号）．

16．如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连接PA，PB，分别交BD，AC于M，N．连接MN，若正方形的边长为3，则的值是 　 　．

三、解答题（本题共82分）
17．计算：2tan45°+4sin30°•cos60°．
18．解方程：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3）．
19．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读：E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 　 　名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝　 　度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
20．春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景点中选择游玩．
（1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是 　 　；
（2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母A，B，C表示）．
21．已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根的平方和为4，求m的值．
22．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　 　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

23．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD＝OB，点C在⊙O上，且∠A＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

24．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
25．如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，E是线段AB上的一点，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'；
（1）当BE为何值时，△AEC'∽△AC'B？
（2）在（1）的条件下，若点F是BC上的一点，且BF＝2，求BC''的最小值．

26．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）．
（1）求n和b的值；
（2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值；
（3）当点A为抛物线y＝x2+bx+4的顶点时（如图2），将△AMN沿着直线MN翻折得到△A′MN，求A′M与抛物线的另一个交点C的坐标．


27．如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）若AC＝4，BC＝5，AB＝6，求的值；
（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，求sin∠BAC．



参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．体育课上，苏苏做了一组5次立定跳远的测试．成绩分别为2.31米，2.34米，2.30米，2.35米和2.29米，他这组立定跳测试成绩的中位数是（　　）
A．2.29米 B．2.30米 C．2.31米 D．2.33米
【分析】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
解：∵这组数据按照从小到大排列是：2.29米，2.30米，2.31米，2.34米和2.35米，
∴这组数据的中位数是2.31米，
故选：C．
【点评】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
2．抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，3）
【分析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），将该顶点向下平移3个单位长度所得的顶点坐标是（0，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
3．已知⊙O的面积为16πcm2，若点O到直线m的距离为πcm，则直线m与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离π比较即可．
解：设圆O的半径是r，
则πr2＝16π，
∴r＝4，
∵点O到直线l的距离为π，
∵4＞π，
即：r＞d，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当r＝d时相切；当r＞d时相交．
4．如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（　　）

A．8米 B．10米 C．18米 D．20米
【分析】如图，CD＝2m，BD＝12m，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”得到，则可计算出DE，然后再利用可计算出AB．
解：如图，CD＝2m，BD＝12m，
∵，
∴DE＝1.5CD＝3，
∵，
∴AB＝＝10．
∴旗杆的高度为10m．
故选：B．

【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
5．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ADC＝50°，AD平分∠BAC，则∠ACD的度数是（　　）

A．110° B．100° C．120° D．130°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDC＝140°，然后利用圆内接四边形对角互补可得∠BAC＝40°，再利用角平分线的定义可得∠DAC＝20°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
解：连接BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝50°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝140°，
∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAC＝110°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是2，则k值为（　　）
A．2或4 B．0或﹣4 C．4或0 D．﹣2或2
【分析】直接把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4+8k+2k2＝4，然后解关于k的一元二次方程即可．
解：把x＝2代入方程x2+4kx+2k2＝4，
得4+8k+2k2＝4，
整理得k2+4k＝0，
解得k1＝0，k2＝﹣4，
即k的值为0或﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
7．一次函数y＝cx﹣a（c＝0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝cx﹣a图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+x+c的图象相比较看是否一致．
解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．如图，AO＝BO＝CO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向运动．它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动，设运动时间为t秒，下列结论错误的是（　　）

A．OQ＝2t
B．经过2秒或4秒或秒时，△POQ的面积为8平方厘米
C．当△OPC与△OPQ相似时，t＝3或
D．当△PBQ为等腰三角形时，t＝﹣4+2或
【分析】根据动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向运动，知OQ＝2t，判定A正确；当P在AO上，＝8，P在BO上，＝8，解方程可判断B正确；当P在线段OA上时，△OPQ∽△OPC，可得＝，当P在线段OB上时，＝，解方程可判断C正确；当PB＝BQ时，4t2+36＝144﹣24t+t2，当PB＝PQ时，144﹣24t+t2＝4t2+（6﹣t）2，即方程可判断D错误．
解：∵动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向运动，
∴OQ＝2t，故A正确，不符合题意；
当P在AO上，＝8，
解得：t1＝2，t2＝4．
∵t1＝2，t2＝4在0＜t＜6范围内，
∴t1＝2，t2＝4．
P在BO上，＝8，
解得：t3＝3+，t4＝3﹣，
∵t3＝3+在6＜t＜12范围内，
∴t3＝3+；
∴经过2秒或4秒或秒时，△POQ的面积为8平方厘米，故B正确，不符合题意；
当P在线段OA上时，如图：

∵△OPQ∽△OPC，
∴＝，即＝，
解得t＝3；
当P在线段OB上时，如图：

∵△OPQ∽△OCP，
∴＝，即＝，
解得t＝12﹣6或t＝12+6（P不在线段OB上，舍去），
∴当△OPC与△OPQ相似时，t＝3或，故C正确，不符合题意；
在Rt△BOQ中，由勾股定理得：BQ2＝4t2+36，
∵BP＝12﹣t，
∴BP2＝144﹣24t+t2，
当PB＝BQ时，4t2+36＝144﹣24t+t2，
解得：t1＝﹣4+2，t2＝﹣4﹣2（舍去）．
当PB＝PQ时，144﹣24t+t2＝4t2+（6﹣t）2，
解得t3＝，t4＝（舍去）．
∴当△PBQ为等腰三角形时，t＝﹣4+2或t＝，故D错误，符合题意；
故选：D．


【点评】本题考查了动点问题的运用，涉及三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的解法，相似三角形等知识，解答的关键是运用直角三角形的性质及勾股定理的应用．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．已知∠A为锐角，且cosA＝，则∠A度数等于　30　度．
【分析】根据特殊角的三角函数值解决问题即可．
解：∵cosA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为30．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2：3：2：2：1确定成绩，小明同学本学期五方面得分如图所示，则他期末操行得分为 　9　分．

【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
解：由题意可得，
＝9（分），
答：他期末操行得分为9分．
故答案为：9．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
11．圆锥的高h＝3，母线l＝5，则圆锥的侧面积是 　20π　．
【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为4，再根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以利用扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积．
解：圆锥的底面圆的半径＝＝4，
所以圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．
故答案为：20π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．一个小钢球在如图的区域内运动，三个圆的半径分别为r，2r，3r，则小钢球停止在蓝色区域的概率为 　　．

【分析】根据几何概率的求法：小钢球停止在蓝色区域的概率为蓝色区域的面积与总面积的比值．
解：蓝色区域的面积为π（2r）2﹣πr2＝3πr2，总面积为π（3r）2＝9πr2，
则小钢球停止在蓝色区域的概率为＝．
故答案为：．
【点评】此题考查几何概率的求法，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据某地的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为8尺．已知，此地冬至时的正午日光入射角∠ABC约为28°，则立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）约为 　15.1　尺．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，结果精确到0.1尺）

【分析】根据题意可得：∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
解：由题意得：∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝28°，AC＝8尺，
∴BC＝≈≈15.1（尺），
∴立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离（即BC的长）约为15.1尺，
故答案为：15.1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是 　1＜m＜5　．

【分析】以AO所在直线为y轴，以地面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点C（3，1.8），A（0，0.9）解答即可．
解：如图，

由题意可知C（3，1.8），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8，
把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得
a＝﹣0.1，
∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，
当y＝1.4时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.4，
解得x1＝1，x2＝5，
∴则m的取值范围是1＜m＜5．
故答案为：1＜m＜5．
【点评】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．
15．如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，△A1O1A2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S．下面三个推断中，①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是 　①②③　（填所有正确答案的序号）．

【分析】分别表示出α与n、d与r、S与r的关系式，进而判定出结论．
解：①∵α＝，
∴α是n的反比例函数，
故①正确，
②如图，

∵OA1＝OA2，
∴∠BOA1＝∠A1OA2＝α，
∴d＝r•cosα，
∵α为定值，即cosα为定值，
∴d是r的正比例函数，
故②正确，
③∵为定值，α＝，
∴α为定值，
∵A1A2＝BA1＝r•sinα，
∴S＝A1A2•d＝r•sinα•r•cosα＝（sinα•cosα）•r2，
∴S为r的二次函数，
故③正确，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系，解直角三角形，正比例函数、反比例函数、二次函数的定义等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
16．如图所示，正方形ABCD的对角线交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连接PA，PB，分别交BD，AC于M，N．连接MN，若正方形的边长为3，则的值是 　　．

【分析】由正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝3，AB∥CD，AC＝BD＝3，OA＝OB＝OC＝OD＝，通过证明△AMB∽△PMD，可得，即可求OM＝MD＝，由平行线分线段成比例可求ON的长，即可求S△OMA＝，S△ONB＝，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，且正方形的边长为3，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，AB∥CD，AC⊥BD，AC＝BD＝3，OA＝OB＝OC＝OD＝，
∵P是边CD上靠近点D的三等分点，
∴DP＝1，PC＝2，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△PMD，
∴＝，
∴MB＝3DM，且DM+MB＝BD＝3，
∴OM＝MD＝，
∵AB∥CD，
∴，
∴AN＝CN，
∴AN＝，CN＝，
∴ON＝，
∴S△OMA＝××＝，S△ONB＝×××＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的判定和性质是本题的关键．
三、解答题（本题共82分）
17．计算：2tan45°+4sin30°•cos60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
解：2tan45°+4sin30°•cos60°
＝2×1+4××
＝2+1
＝3．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．解方程：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3）．
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：3（2x﹣3）2＝2（2x﹣3），
3（2x﹣3）2﹣2（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）[3（2x﹣3）﹣2]＝0，
（2x﹣3）（6x﹣11）＝0，
2x﹣3＝0或6x﹣11＝0，
x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
19．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读：E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 　400　名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角α＝　108　度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
【分析】（1）①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出A、C组的人数，补全条形统计图即可；
③由360°乘以C组所占的比例即可；
（2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）①调查人数：＝400（名），
故答案为：400；
②A组的人数：400×15%＝60（名），
C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名），

③扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54°，
（2），
答：参加D组（阅读）的学生人数为980人．

【点评】本题考查的概率及其应用，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20．春节期间，苏州所有旅游景点免费，某天小华计划在拙政园、狮子林和网师园等三个景点中选择游玩．
（1）若小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是 　　；
（2）小华从中随机选择两处景点游玩，请用画树状图或列表的方法，求小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率（这三个景点依次分别用字母A，B，C表示）．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）小华从中随机选择一处景点是“网师园”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，其中小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的有4种结果，
∴小华选择的景点中至少有一处是“网师园”的概率为＝．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．已知关于x的方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）如果该方程的两个实数根的平方和为4，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣4）2≥0，进而可证出：无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根两个实数根的平方和为4，即可得出结论．
【解答】（1）证明：a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0，
∴无论m取任何实数时，该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣mx+2m﹣4＝0，
即（x﹣2）[x﹣（m﹣2）]＝0，
解得：x1＝2，x2＝m﹣2．
∵，
∴4+（m﹣2）2＝4，
∴m＝2．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
22．图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测得BC＝10cm，AB＝24cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．
（1）在图2中，过点B作BE⊥AD，垂足为E．填空：∠CBE＝　20　°；
（2）求点C到AD的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

【分析】（1）根据垂直定义可得∠AEB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，则GE＝CF，∠BGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BGC中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
解：（1）如图：

∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，
故答案为：20；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BE，垂足为G，

则GE＝CF，∠BGC＝90°，
∵∠CBE＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝24cm，
∴BE＝AB•sin60°＝24×＝12（cm），
在Rt△BGC中，BC＝10cm，
∴BG＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（cm），
∴CF＝GE＝BE﹣BG＝12﹣9.4≈12×1.73﹣9.4≈11.4（cm），
∴点C到AD的距离约为11.4cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD＝OB，点C在⊙O上，且∠A＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°．
∴S扇形BOC＝＝6π，
在Rt△OCD中，CD＝OC•tan60°＝6，
∴S△OCD＝OC•CD＝＝18，
∴S△OCD﹣S扇形BOC＝18﹣6π，
∴图中阴影部分的面积为18﹣6π．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24．一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
解：（1）依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600，
整理得：x2﹣240x+10800＝0，
解得x＝60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x＝180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵40×（1+80%）＝72，
x≤72，
∵﹣2＜0，
∴当x＝72时，W最大＝8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键．
25．如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，E是线段AB上的一点，点D是线段BC上的一个动点，沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，连接BC'；
（1）当BE为何值时，△AEC'∽△AC'B？
（2）在（1）的条件下，若点F是BC上的一点，且BF＝2，求BC''的最小值．

【分析】（1）由线段的数量关系可得＝，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得BC'+FC'＝（EC'+FC'），则当点E，点C'，点F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，由相似三角形的性质和勾股定理可求EF的长，即可求解．
解：（1）∵沿AD折叠△ACD，点C与C'重合，
∴AC＝AC'＝6，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵∠C′AE＝∠BAC′，
∴要△AEC'∽△AC'B，必须＝，
∴AE＝＝＝，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣＝，
故当BE＝时，△AEC'∽△AC'B．
（2）②∵△AEC'∽△AC'B，
∴＝＝＝＝，
∴BC'＝EC'，
∴BC'+FC'＝（EC'+FC'），
∴当点E、C'、F三点共线时，EC'+FC'有最小值，即BC'+FC'有最小值，
如图，过点E作EH⊥BC于H，

由（1）得：∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝8，BE＝，
∵∠ACB＝∠EHB＝90°，∠ABC＝∠EBH，
∴△ABC∽△EBH，
∴＝＝，即＝＝，
∴BH＝，EH＝，
∵BF＝2，
∴HF＝BH﹣BF＝﹣2＝，
∴EF＝＝＝，
∴BC'+FC'的最小值＝×＝2．

【点评】本题是相似三角形的判定和性质，考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）．
（1）求n和b的值；
（2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值；
（3）当点A为抛物线y＝x2+bx+4的顶点时（如图2），将△AMN沿着直线MN翻折得到△A′MN，求A′M与抛物线的另一个交点C的坐标．


【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴交直线MN于点T，如图1，可得S△ANM＝S△AMT+S△ANT＝﹣（m﹣）2+，运用二次函数性质即可求得答案；
（3）根据轴对称性质可求得点A′的坐标，利用待定系数法求得直线A′M的解析式，联立方程组即可求得交点C的坐标．
解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4，
解得：n＝3，
∴N（3，1），
∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1），
∴1＝9+3b+4，
解得：b＝﹣4；
（2）由（1）可得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
∴M（0，4），
设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴交直线MN于点T，如图1，

则T（m，﹣m+4），
∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m，
∴S△ANM＝S△AMT+S△ANT＝AN•（xN﹣xM）＝×（﹣m2+3m）×（3﹣0）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S△ANM取得最大值；
（3）∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴抛物线的顶点坐标为A（2，0），
如图2，∵B（4，0），N（3，1），
∴AN＝BN，
∵OB＝OM＝4，∠BOM＝90°，
∴∠ABN＝45°＝∠BAN，
∴∠ANB＝90°，
∵点A′与点A关于直线MN对称，
∴直线MN垂直平分线段AA′，

∴A、N、A′三点共线，A′N＝AN＝BN，∠ANB＝∠A′NB＝90°，
∴∠A′BN＝∠ABN＝45°，
∴∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝2，
∴A′（4，2），
设直线A′M的解析式为y＝kx+d，把A′（4，2）、M（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直线A′M的解析式为y＝﹣x+4，
联立，得x2﹣4x+4＝﹣x+4，
解得：x＝0（舍去）或x＝，
当x＝时，y＝﹣×+4＝，
∴C（，）．


【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数性质﹣最值的应用，翻折变换的性质，直线与抛物线交点问题，难度一般，是常见的中考题型．
27．如图，锐角△ABC中∠A的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）若AC＝4，BC＝5，AB＝6，求的值；
（3）作∠ACB的平分线交AD于点P，若将线段MP绕点M旋转180°后，点P恰好与△ABC外接圆上的点P'重合，求sin∠BAC．

【分析】（1）先判断出BD＝CD，即可得出结论；
（2）先判断出△DBE∽△DAB，得出BE＝，同理△DEC∽△DCA，得出CE＝，，即可得出答案；
（3）如图，连接BP、BP′、CP′，先判断出∠BP'C+∠BAC＝180°，进而判断出∠BAC＝60°，再利用特殊角三角函数值即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
又∵M是BC的中点，
∴MD⊥BC；
（2）解：∵∠DBC与∠CAD都是所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠DBC，
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴＝，即＝，
∵AB＝6，
∴BE＝，
同理，△DEC∽△DCA，
∴＝，
∵BD＝CD，AC＝4，
∴CE＝，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴+＝5，
∴＝；
（3）解：如图，连接BP、BP′、CP′，

∵M是BC的中点，点P与点P'关于点M对称，
∴四边形BPCP'是平行四边形，
∴∠BP'C＝∠BPC，
∵点P′在圆上，
∴∠BP'C+∠BAC＝180°，
∵点P是△ABC两个内角∠BAC与∠ACB的角平分线交点，
∴BP平分∠ABC，
∴∠BPC＝90°+∠BAC，
∴∠BP′C＝90°+∠BAC，
∴90°+∠BAC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
∴sin∠BAC＝sin60°＝．

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，角平分线，圆周角定理，三角形内心，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．