专题一 实数（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

专题一 实数（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

讲解一：实数及其分类

一、有理数的定义：整数和分数统称为有理数.

1.整数：正整数、0、负整数统称为整数，如5，等.

2.分数：正分数、负分数统称为分数，如，等.

3.有限小数和无限小数都是有理数

二、无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数.

1.无理数和有理数的和、差一定是无理数.

2.无理数乘或除以一个不为0的有理数，结果一定是无理数.

3.判断一个数是否为无理数，主要看其结果，而不是其形式，如，等都不是无理数

三、实数的分类：有理数和无理数统称为实数.

按实数的定义分类：，

按实数的性质分类：

【注意】

1.不一定是负数，如是正数；

2.分数都是有理数；

3.常见的4种无理数形式：

4.0的意义：①0既不是正数，也不是负数

②0乘任何数都等于0

③0除以任何非零数都等于0

④0是任何自然数（0除外）的倍数

⑤0不能当除数，不能当分母，不能当比的后项

⑥相反数等于本身的数

⑦0减去任何数等于这个数的相反数

⑧0的任何非零次幂都等于0

⑨任何非零数的0次幂都等于1

⑩0的算术平方根、平方根、立方根都等于0

1.（2022.江西）下列各数中,负数是(   )

A.-1 B.0 C.2 D.

【答案】A

【解析】-1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，故选A.

2.（2022.山东日照）在实数，，，中，有理数的个数是(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B

【解析】在实数，，，中，有理数是，，所以，有理数的个数是2，故选B.

3.下列说法正确的是(   )

A.在有理数中，零的意义仅仅表示没有

B.正有理数和负有理数组成全体有理数

C.0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数

D.零既不是正数，也不是负数

【答案】D

【解析】根据在有理数中，零不仅仅表示没有，也可以表示具体的量，比如0℃，因此A选项错误，

根据有理数按照性质分类可以分为：正有理数，负有理数，0，因此B选项错误，

因为0.5可以转化为分数，因此C选项错误，

根据有理数的分类，0既不是正数，也不是负数，因此D选项正确.

讲解二：数轴、相反数、绝对值和倒数

一、数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

1.正方向：从原点向右（向上）的方向.

2.原点、正方向和单位长度为数轴的三要素，三者缺一不可.

3.数轴上两个点表示的数，右边（上边）的数总比左边（下边）的数大，即正数>0>负数.

4.实数与数轴上的点是一一对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.

5.数轴上两点间的距离：

二、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如2与互为相反数.

1.实数互为相反数.

2.的相反数是；0的相反数是0.

3.数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.

三、绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.

1.绝对值具有非负性，即.

2.求绝对值的方法：

3.若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若，则或

4.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

四、倒数：乘积是1的两个数互为倒数，如3与互为倒数.

1.0没有倒数，倒数等于本身的数是

2.互为倒数的两个数符号相同

4.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是(   )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据数轴可得：，，

A、，故该选项正确，符合题意；

B、，故该选项错误，不符合题意；

C、，故该选项错误，不符合题意；

D、，故该选项错误，不符合题意.故选A.

5.-6的倒数是________；的绝对值是________.

【答案】；

【解析】-6的倒数是：；

，

，

，

；

故答案为：；.

讲解三：科学记数法与近似数

一、科学记数法：把一个数表示成的形式（其中），叫做科学记数法.用科学记数法表示一个数一般分为三步：

【注意】当原数带有计数单位或计量单位时，可以先进行转化，如1万=，1亿=，等.

二、近似数：与准确数很接近但存在一定偏差的数叫做近似数，如.

1.近似数的精确度的表述方法：

①用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等；

②用小数表示，如精确到0.1，精确到0.01等；

③对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg，精确到1m等.

例：（精确到0.1/十分位）；

（精确到0.01/百分位）；

（精确到0.001/千分位）；

（精确到0.0001/万分位）

2.取近似数的方法：通常用四舍五入法

【注意】取近似数的方法是四舍五入法，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似数的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似数小数点后末位数字是0时千万不能省略不写.

6.（2022.内蒙古呼和浩特）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元.数据“1100亿”用科学记数法表示为(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】1100亿，故选B.

7.按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中正确的是(   )

A.(精确到个位) B.(精确到十分位)

C.(精确到0.1) D.(精确到0.001)

【答案】C

【解析】A.；B.；D.，只有选项C正确.故选C.

讲解四：（算术）平方根与立方根

（算术）平方根与立方根

1.算术平方根是它本身的数有0和1

2.平方根是它本身的数只有0

3.立方根是它本身的数有0和±1

8.下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④；⑤.其中正确的有(   )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】C

【解析】①10的平方根是，正确；

②与是相反数，正确；

③0.1的算术平方根是，故错误；

④，正确；

⑤，故错误；

正确的是①②④，有3个.故选C.

9.请回答以下问题：

（1）求出下列各数：

①2的算术平方根；②的立方根；③的平方根.

（2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接.

【答案】（1）①2的算术平方根是；

②的立方根是；

③，16的平方根是.

（2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下：

用“<”连接为.

讲解五：二次根式

一、二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式.被开方数不含分母且不含能开得尽的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式.

1.二次根式有意义的条件：.

2.表示的意义是非负数的算术平方根.

二、二次根式的性质

1.

2.

3.

4.

5.

三、二次根式的运算法则

1.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，如与是同类二次根式.

2.判断两个根式是否是同类二次根式时，先要把它们化为最简二次根式.

3.合并同类二次根式与合并同类项类似，“系数”相加，被开方数不变.

10.（2022.河北）下列正确的是(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】；；；.

11.（2022.黑龙江绥化）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   )

A.  B. C. 且 D.且

【答案】C

【解析】，，且，故选C.

12.（2022.山东济宁）已知，，求代数式的值.

【答案】原式.

【解析】

.

讲解六：实数的运算

一、实数的加减

加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

1.有理数加法运算的步骤：一定（符号）、二求（加数的绝对值）、三和差（判断绝对值相加还是相减）.

2.减去一个数等于加上这个数的相反数，即，所以有理数的加减混合运算可统称为加法运算.

二、实数的乘除

乘法法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

1.任何数与0相乘，都得0.

2.几个不为0的数相乘，积的符号遵循“奇负偶正”的原则.

3.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即

三、实数的乘方

求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂

1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”.

2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

四、实数的混合运算

实数的混合运算的顺序：先乘方，在乘除，最后加减；如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算，从左到右进行.

五、运算律

在用交换律交换加数（因数）的位置时，要连同其符号一同交换.

六、实数的比较大小

13.（2022.贵州毕节）计算的结果，正确的是(   )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】.

14.（2022.湖北十堰）计算：.

【答案】

【解析】解：

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