专题五 一元二次方程（助考讲义）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

专题五 一元二次方程（讲义篇）——2023届中考数学一轮复习学考全掌握

讲解一：一元二次方程及其解法

一、一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一般形式

1.是一元二次方程的前提为

2.判断一个方程是否是一元二次方程应化简后再进行判断，如不是一元二次方程

二、一元二次方程的解法

使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解法有以下四种：

1.将方程化为一般形式后，若，则方程无解.

2.用配方法时，将二次项系数化为1后，若一次项系数为偶数，则优先考虑运用配方法.

（求解方法掌握不牢的，可以看下面的详细讲解）

直接开平方法解一元二次方程

1.直接开平方法：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.

2.方程的根

（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根

（2）当时，方程有两个相等的实数根

（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.

【注意】

（1）直接开平方法只适用于能转化为或形式的方程.

（2）若，则x为p的平方根，即，切记不要漏掉负的平方根.

（3）因为负数没有平方根，所以关于x的一元二次方程有解的前提条件是p是非负数，即.

因式分解法解一元二次方程

1.因式分解法：先对方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）移项：将方程化为一般式；

（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；

（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是医院二次方程的解.

【注意】不能随意在方程两边约去含未知数的代数式.如，若约去x，则会导致丢掉这个根.

3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型

配方法解一元二次方程

1.配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

2.可化为的形式的一元二次方程的根

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有两个相等的实数根；

（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.

3.用配方法解一元二次方程的一般步骤

【注意】

配方法的依据是完全平方公式的逆用和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的方程形式，从而把一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.

公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式：当时，方程的实数根可写为

的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

2.公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各项系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.

（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.

（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即

；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.

【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它适用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.

1.（2022.山东枣庄）已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”.则下列函数和不是“和谐函数”的是(   )

A.和 B.和

C.和 D.和

【答案】B

【解析】A.令，则，整理得：，解得：，函数和是“和谐函数”，故A不符合题意；

B.令，则，整理得：，此方程无解，函数和不是“和谐函数”，故B符合题意；

C.令，则，整理得：，解得：，，函数和是“和谐函数”，故C不符合题意；

D.令，则，整理得：，解得：，函数和是“和谐函数”，故D不符合题意；

故选B.

2.（2022.湖南益阳）若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(   )

A. B.0 C.1 D.2

【答案】B

【解析】设另一个根是，

，

，

故选B.

3.（2022.云南）方程的解为____________.

【答案】，

【解析】原方程可化为，解得，，.

4.（2022.湖北荆州）一元二次方程配方为，则k的值是_________________.

【答案】1

【解析】

故答案为：1.

讲解二：根的判别式、根与系数的关系

一、根的判别式

一元二次方程根的判别式为，通常用“”表示

1.计算“”时，要注意的值包含它前面的符号.

2.“”的作用：①不解方程，直接判断根的情况；②根据根的情况，确定未知系数的值（取值范围）

二、根与系数的关系

若的两个根为，则，

1.运用根与系数的关系的前提是

2.以为根，且二次项系数为1的一元二次方程是

【拓展】与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

5.（2022.江苏淮安）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的值可以是(   )

A. B. C.0 D.1

【答案】A

【解析】该一元二次方程没有实数根，，解得，故选A.

6.（2022.四川巴中）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围(   )

A.  B. 

C.且  D.且

【答案】A

【解析】根定义新运算，得，即，

关于x的方程有两个不相等的实数根，，

解得：，

故选A.

7.（2022.内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是(   )

A.4045 B.4044 C.2022 D.1

【答案】A

【解析】把代入方程得：，即，

是方程的两个实数根，

，，

则

.

故选A.

8.（2022.四川巴中）、是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为________.

【答案】

【解析】，是方程的根，

，，

，

，

故答案是.

讲解三：一元二次方程的实际应用

一、一元二次方程中常见问题及数量关系

二、列一元二次方程解应用题的步骤

9.（2022.黑龙江哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为9%元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(   )

A.  B. 

C.  D.

【答案】C

【解析】第一次降价后，该种商品每件售价为元，第二次降价后，该种商品每件售价为元，故.

10.（2022.上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为________.

【答案】20%

【解析】设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

，

解得，，（舍去）

所以，增长率为20%.

故答案为：20%.

11.（2022.浙江衢州）将一个容积为的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积列出图中x(cm)满足的一元二次方程：___________（不必化简）.

【答案】

【解析】由题意可得：长方体的长为：15，宽为：，

则根据题意，列出关于x的方程为：

.

故答案为：.

12.（2022.四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

【答案】（1）20%

（2）18个

【解析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，

根据题意得：，

解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求.

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.

（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，

由题意得：，

解得.

为正整数，最多可以改造18个小区.

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.