四川省绵阳市游仙区2023届九年级上学期教学情况调研测试（期中）数学试卷(含答案)

2022年秋九年级教学情况调研测试（期中）

数  学  试  题

一．选择题（共36分）

1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）

A．3 + -1 =0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 

C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（1，﹣2）           B．（﹣1，2） 

C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）

3．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝（　　）

A．5 B．8 C．﹣8 D．6

4．若关于x的方程x2+（2﹣k）x+k2＝0的两根互为倒数，则k＝（　　）

A．3 B．1 C．﹣1 D．±1

5．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（　　）

A．x2﹣4＝0 B．x2+2x﹣1＝0 

C．x2+x+3＝0 D．x2﹣4x+4＝0

6．疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，根据题意，以下方程正确的是（　　）

A．2（1+2x）＝4.5 B．2×2（1+x）＝4.5 

C．2（1+x2）＝4.5 D．2（1+x）2＝4.5

7．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下 

B．对称轴是直线x＝﹣1 

C．顶点坐标是（﹣1，2） 

D．当x＜1时，y随x的增大而减小

8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a﹣b+c＜0；②b＜1；③2a+b＞0；④a﹣b﹣2＜0．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

9．已知二次函数y＝x2﹣4x+k（k为常数）的图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是（　　）

A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝5 

C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝1，x2＝﹣5

10．下面的三个问题中都有两个变量：

①将一根长为l的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；

②赵老师爬香山所花的时间y和平均速度x；

③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元/kg，成本价为10元/kg，单价每降价1元，可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；

其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

11．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度．

A．36 B．45 C．50 D．42

12．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数分别为（　　）

A．80° B．50° C．40° D．10°

二．填空题（共24分）

13．已知（a﹣1）x|a|+1+4x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 　   　．

14．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2﹣1的值是 　   　．

15．将抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 　   　．

16．已知抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝5的交点坐标为（1，5），（﹣3，5），则方程x2+mx+n﹣5＝0的根是 　   　．

17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加 　   　m．

18．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝　   　．

三．解答题（共90分）

19（12分）．用适当方法解下列方程：

（1）（x+2）2﹣25＝0；

（2）x2﹣6x﹣5＝0；

（3）3x2﹣4x+1＝0；

（4）2（x﹣3）2＝3（x﹣3）．

20（10分）．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．

21（12分）．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1．

（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；

（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；

（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，使经过点（2，﹣5），求m值．

22（10分）．已知二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，且图象过点（1，2），与一次函数y＝x+m的图象交于点A（0，﹣1）．

（1）求两个函数的解析式．

（2）设两个函数图象的另一个交点为B，坐标原点为O，求△ABO的面积．

23（12分）．某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．

请解决以下问题：

（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；

（3）求所画图象对应的函数表达式；

（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．

24（10分）．某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，当售价为每件36元时，每月可售出160件商品．因某些原因商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，当降价多少元时商品每月的利润可达到1800元？

25（12分）．利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的△ABC（顶点都在格点上）．

（1）先作出该三角形关于直线l成轴对称的△A′B′C′；

（2）再作将△A′B′C′绕点B′逆时针方向旋转90°后的△A″B′C″；

（3）求△A″B′C″的面积．

26（12分）．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A点坐标为（﹣4，0），C点坐标为（0，2），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）①直接写出点B的坐标；

②求抛物线表达式；

（2）在对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P为直线AC上方抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

参考答案

一．选择题

1． D．

2． C．

3． B．

4． C．

5． C．

6． D．

7． D．

8． C．

9． C．

10． B．

11． D．

12． B．

二．填空题

13． ﹣1．

14． 1．

15． y＝3（x+1）2．

16． x＝1或﹣3．

17．  （2﹣4）．

18． 2．

三．解答题

19． 解：（1）∵（x+2）2﹣25＝0，

∴（x+2）2＝25，

则x+2＝±5，

解得x1＝3，x2＝﹣7；

（2）∵x2﹣6x﹣5＝0，

∴x2﹣6x＝5，

则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，

∴x﹣3＝±，

解得x1＝3+，x2＝3﹣；

（3）∵3x2﹣4x+1＝0，

∴（x﹣1）（3x﹣1）＝0，

则x﹣1＝0或3x﹣1＝0，

解得x1＝1，x2＝ ；

（4）∵2（x﹣3）2＝3（x﹣3），

∴2（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，

则（x﹣3）（2x﹣9）＝0，

∴x﹣3＝0或2x﹣9＝0，

解得x1＝3，x2＝4.5．

20． （1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝k﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（k﹣1）＝（k﹣2）2≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2+kx+k﹣1＝0，即（x+1）[x+（k﹣1）]＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝1﹣k．

又∵该方程有一个根是正数，

∴1﹣k＞0，

∴k＜1，

∴当该方程有一个根是正数，k的取值范围为k＜1．

21． 解：（1）y＝﹣2x2+4x+1

＝﹣2（x﹣1）2+3，

即y＝﹣2（x﹣1）2+3；

（2）因为a＝﹣2，

所以该抛物线的开口方向向下，

由y＝﹣2（x﹣1）2+3知，抛物线的顶点坐标是（1，3），对称轴为直线x＝1；

（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位得到y＝﹣2（x﹣1+m）2+3，

∵平移后的抛物线经过点（2，﹣5），

∴﹣2（2﹣1+m）2+3＝﹣5，

解得m＝1或m＝﹣3，

∵m＞0，

∴m＝1．

22． 解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝2，且图象过点（1，2），（0，﹣1），

∴  

解得：

∴y＝﹣x2+4x﹣1，

∵一次函数y＝x+m的图象交于（0，﹣1）．

∴m＝﹣1，

∴y＝x﹣1．

（2）由题意得，

解得： 或，

∴两个函数图象的另一个交点B（3，2），

∵A（0，﹣1），

∴OA＝1，

∴S△ABO＝ =

23． 解：（1）如图：

（2）由图象可知，这条水柱最高点距离湖面的高度是4米；

（3）由图象可得，顶点（1，4），

设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，

把（2，3）代入可得a＝﹣1，

∴h＝﹣（d﹣1）2+4；

（4）当h＝0时，即﹣（d﹣1）2+4＝0，

解得d＝﹣1（舍去）或d＝3，

∴正方形的边长为2×（3+1）＝8（米），

∴至少需要准备栏杆4×8＝32（米），

∴公园至少需要准备32米的护栏．

24． 解：设降价x元时商品每月的利润可达到1800元，

由题意得：（36﹣x﹣16）（160+2x）＝1800，

解得：x＝10或x＝﹣7（不符合题意舍去），

∴x＝10，

答：降价10元时商品每月的利润可达到1800元．

25． （1）解：如图所示，△A′B′C′即为所求，

（2）如图所示，△A″B′C″即为所求；

（3）△A″B′C″的面积＝ ×3×2＝3．

26． 解：（1）①∵A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x＝﹣对称，

∴点B的坐标为（1，0）；

②∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2＝﹣4a

∴a＝﹣，

∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）存在，直线AC与对称轴的交点即为Q点，

∵A，B关于对称轴直线x＝﹣对称，

∴QA＝QB，

∴QB+QC＝QA+QC，

∴当A，Q，C在同一直线上时，QA+QC＝AC最小，即△QBC的周长最小，

设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣4，0），C（0，2），

∴

解得，

∴直线AC的解析式为y＝x+2，

当x＝﹣时，y＝×（﹣ ）+2＝，

∴Q（﹣，）；

（3）设P（m，﹣m2﹣m+2），

过点P作PE⊥x轴交AC于点E，

∴E（m， m+2），

∴PE＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）

＝﹣m2﹣2m，

∵S△PAC＝×PE×4，

＝2PE＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，

∴当m＝﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，

此时P（﹣2，3）．