2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟学校高二上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的虚部的定义确定复数的虚部.

【详解】的虚部是．

故选：A．

2．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.

【详解】∵

∴x＝1，

∴，

∴，

又∵，

∴向量与的夹角为

故选：D.

3．将一枚均匀的骰子掷两次，记事作A为“第一次出现1点”，B为“第二次出现6点”，则有（    ）

A．A与B互斥 B．

C．A与B相互独立 D．

【答案】C

【分析】根据事件“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，判断A,B;根据事件A的发生与否对事件B没有影响，判断C;进而根据，计算，可判断D.

【详解】由于“第一次出现1点”和“第二次出现6点”可以同时发生，故A与B不互斥，

所以，故A，B错误；

由于事件A的发生与否对事件B没有影响，故A与B相互独立，C正确；

由于 ,且A与B相互独立，故,D错误，

故选:C.

4．直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先设直线方程为：，根据题意求出，即可得出结果.

【详解】设所求直线方程为：，

由题意得，且解得

故，即.

故选：A.

【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的斜截式方程即可，属于常考题型.

5．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据酒杯是由圆柱和半球的组合体，设出圆柱体的高，根据已知酒杯的容积计算出圆柱的高，再利用圆柱表面积和球的表面积公式即可求解.

【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体，

所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和，

因为球的半径为，所以半球的表面积为，

半球的体积为 ，

设圆柱体的高为，则体积为 ，

又酒杯的容积为

所以 ，

解得： ，

因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为，

所以圆柱的侧面积为，

所以酒杯内壁表面积为.

故选：D.

6．“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合对立事件以及相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.

【详解】∵甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，．

∴他们不去北京旅游的概率分别为，，．

∵至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人去北京旅游，

∴至少有1人去北京旅游的概率为：．

故选：B

7．已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.

【详解】解：圆的圆心，半径，又，

所以点在圆内，

当直线过圆心时，弦长取最大值，

当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值；

故选：D.

8．已知平面向量满足，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立如图所示直角坐标系，由向量的坐标运算得点C的轨迹，进而根据三角形相似将转为求线段和最短，即可将根据图形求解

【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，

则，，

由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，

取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，

∴.

故选：D

二、多选题

9．某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进入八月份以来（8月1日至8月10日）连续天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：

根据该图，关于这天的气温，下列说法中正确的有（    ）

A．最低温的众数为 B．最高温的平均值为

C．第天的温差最大 D．最高温的方差大于最低温的方差

【答案】AC

【分析】根据折线图分别判断各选项.

【详解】A选项，由折线图可知最低温的众数为，A选项正确；

B选项，由折线图得最高温的平均值为，B选项错误；

C选项，由折线图得这天的温差分别为，，，，，，，，，，其中温差最大的为第天，C选项正确；

D选项，由折线图可知最高温的方差，

最低温的平均值为，

方差，D选项错误；

故选：AC.

10．若圆：与圆：的交点为，，则（    ）

A．公共弦所在直线方程为

B．线段中垂线方程为

C．公共弦的长为

D．在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆

【答案】AD

【解析】根据题意，依次分析选项：对于，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断，对于，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断，对于，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断，对于，由于圆心在公共弦上，在过，两点的所有圆中，即可判断．

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，

对于，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，错误，

对于，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，则公共弦的长为，错误，

对于，圆心，在公共弦上，在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，正确，

故选：．

11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】ABD

【分析】利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简，可判断A;结合锐角，可判断B;利用正弦定理边化角结合三角函数性质判断C;将化简为，结合A的范围，利用对勾函数单调性，可判断D.

【详解】由题意得在锐角中，，

∴由正弦定理可得 ，

又 ，

故 ，即，

，为锐角， ，

即 ，故选项A正确；

在锐角中，，，故B正确；

由，故C错误；

,

又 ， ，

 令，则，

由对勾函数性质可知，在时单调递增，

，，

故，故D正确．

故选： ．

12．如图，在五面体中，底面为矩形，和均为等边三角形，平面，，，且二面角和的大小均为．设五面体的各个顶点均位于球的表面上，则（    ）

A．有且仅有一个，使得五面体为三棱柱

B．有且仅有两个，使得平面平面

C．当时，五面体的体积取得最大值

D．当时，球的半径取得最小值

【答案】ABC

【分析】根据棱柱的定义，主要利用线面、面面平行判定和性质定理判定A；利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理判定B；利用体积分割，求得体积关于角度的函数关系，利用导数判定函数单调性，进而求得五面体的体积最大值的条件，从而判定C；利用球的性质找到外接球的球心，进而得到半径的变化规律，从而判定何时外接球的半径最小，从而判定D.

【详解】对于选项A:

∵平面,经过的平面与平面交于直线,∴,

取的中点分别为,连接,则

连接,∵和均为等边三角形，∴,

又∵底面为矩形，∴垂直,

故得二面角的平面角为,

二面角的平面角为,

因为，分别在平面和平面中，平面与平面和分别交于直线，所以当且仅当时，平面平面,

故当且仅当，即时，平面平面,

即五面体为三棱柱，故A正确；

对于选项B:

当平面和平面不平行时，它们的交线为,

由于,平面，平面，∴平面,

又∵平面,平面平面=直线，∴，

∴同理，∴当且仅当时，平面平面，

由于四边形为等腰梯形，∴当且仅当或时，,

∴当且仅当或时，平面平面，

故B正确；

对于选项C:

设的补角为，过A作直线AR与直线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,

又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,

∴平面ADR⊥直线PQ，

同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ，

为直三棱柱的底面，且RS=EF为直三棱柱的高，

、为三棱锥和的底面上的高

因为，

所以五面体的体积为（如上图）或（如下图）

两种情况下都有，

令则，所以，

对求导得 ，

令得（舍去）或，

  ,,

故时体积取得极大值也是最大值.

所以，所以.

五面体的体积取得最大值.故C正确；

对于D项：

取等边的中心 ，的中点，过作平面QBC的垂线与过的平面ABCD的垂线的交点即为五面体PQABCD的外接球的球心，如图所示，连接,,则,∵四边形为边长一定的矩形，∴为定值，

∴当且仅当最小，即重合时外接球的半径最小，此时为锐角，

故D不对.

故选：ABC.

三、填空题

13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是__________．

【答案】

【分析】求出两线交点，求出垂直于直线的直线的斜率，由点斜式即可求

【详解】由解得，直线的斜率为，

故过且垂直于直线的直线方程为：，即.

故答案为：

14．甲、乙两支乒乓球队体检结果如下：甲队的体重的平均数为，方差为100，乙队体重的平均数为，方差为200；又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么A、B两队全部队员的方差等于___________．

【答案】166

【分析】直接根据平均数和方差公式进行计算，即可得到答案.

【详解】甲队队员在所有队员中所占权重为；

乙队队员在所有队员中所占权重为.

已知甲队的体重的平均数为，方差为；

已知乙队的体重的平均数为，方差为.

所以甲、乙两队全部队员的平均体重为；

甲、乙两队全部队员的体重方差为.

故答案为：

15．如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积____________．

【答案】

【分析】根据底面的斜二测直观图为，确定三角形形状以及边长，继而将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥外接球即为该长方体的外接球，求得球的半径，可得答案.

【详解】由题意可知在斜二测直观图中，，，

则 ,

则在中，,

三棱锥中， ，则可将三棱锥补成相邻三侧棱分别为的长方体，则三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，

长方体的体对角线长即为外接球的直径，则外接球半径为 ，

故三棱锥外接球的体积，

故答案为：

16．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距，且与C村相距的地方．已知B村在A村的正东方向，相距，C村在B村的正北方向，相距，则垃圾处理站M与B村相距__________．

【答案】或.

【分析】建立平面直角坐标系，求出圆A的方程和圆C的方程，进而求得两圆公共弦的方程，联立圆A的方程求得点M坐标，进而求得答案.

【详解】以A为原点，以为x轴建立平面直角坐标系，则，

以A为圆心，以5为半径作圆A，以C为圆心，以 为半径作圆C，

则圆A的方程为： ，圆C的方程为∶ ，

即 ，

∴两国的公共弦方程为∶

设 ，则 ，解得 或，

即 或 ．

∴ 或，

故答案为∶或 .

四、解答题

17．如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且．

(1)试用表示向量；

(2)若，求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由向量的线性运算法则及其几何表示结合图形即可表示；

（2），由向量的数量积运算求值

【详解】(1)∵，∴，

∴，又E是线段的中点，则，

∴；

(2)由（1）可得知

18．设直线的方程为.

（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；

（2）若不经过第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）先分析斜率为的情况，然后分别考虑轴对应的截距，根据截距相等求解出的值即可；

（2）先分析过定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）由题意知，当时不符合题意；

当时，令得，

令得，

若在两坐标轴上的截距相等，则，

解得或.

（2）直线的方程可化为，所以，

所以，所以直线过定点，

如下图所示：

若不经过第三象限，则，解得，

故实数的取值范围为.

【点睛】思路点睛：根据直线的截距相等求解参数的常规思路：

（1）先考虑直线过坐标原点的情况；

（2）再分析直线不过坐标原点但截距相同的情况；

（3）两者综合求解出最终结果.

19．已知锐角内角，，的对边分别为，，．若．

(1)求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，再结合三角形内角和、诱导公式和二倍角公式得到，即可得到；

（2）利用正弦定理、三角形内角和和和差公式将转化成，再结合的范围求的范围即可.

【详解】(1)，

又为锐角，所以，，

因为为锐角，所以，.

(2)因为，所以，

，

因为三角形为锐角三角形，所以，解得，

令，所以，，

所以.

20．年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．

(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．

【答案】(1)；平均值为

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图的矩形面积和为1，结合第百分位数的性质求解，进而根据频率分布直方图的平均值算法求解即可；

（2）分抽取的人中有两人和三人去年可支配收入在内两种情况求解即可

【详解】(1)由频率分布直方图，可得，

则①

因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，

所以，

则②

将①与②联立，解得．

所以平均值为．

(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则

．

①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得

．

②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得

．

所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：

．

21．已知四棱锥中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分别是、、、的中点．

(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小；

(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，.

【分析】（1）证明出平面，，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果；

（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合可求得的值，即可得出结论.

【详解】(1)解：因为是正三角形，为的中点，所以，，

因为平面，平面，，

，平面，

因为且，、分别为、的中点，所以，且，

所以，四边形为平行四边形，所以，，，则，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则，、、、、、、，

，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，易知平面的一个法向量为，

所以，，

因此，平面与平面所成的锐二面角为.

(2)解：假设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，

设，其中，

，

由题意可得，

整理可得，因为，解得.

因此，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为，且.

22．在平面直角坐标系中，圆M是以两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线对称．

(1)求圆N的标准方程；

(2)设，过点C作直线，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．

①过点C作与直线垂直的直线，交圆N于两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；

②设直线,相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)①7；②点G在定直线上.

【分析】（1）以为直径的圆，圆心为的中点，半径为的一半，则可直接得圆M的方程，然后由对称的性质可得圆N的圆心和半径，写出圆的标准方程即可.

（2）利用点到直线的距离公式，可用的斜率表示出四边形的面积，由均值定理可得其最大值；点在定直线上的问题可以用参数表示出点的坐标，然后研究纵、横坐标之间的联系，确定其所在直线的方程.

【详解】(1)由题意得：为线段的中点，故圆M的圆心坐标为，半径

圆M的方程为：，

因为圆N关于圆M关于直线对称，所以圆N的圆心为

所以圆N的标准方程为：.

(2)解：设直线的方程为，即，

则圆心到直线的距离，所以，

（ⅰ）若，则直线斜率不存在，则，,则，

若，则直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，

所以，则，

当且仅当，即时，等号成立.

综上所述，因为，所以S的最大值为7；

（ⅱ）设，联立方程组得：

消y得，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立解得

则，

所以，所以点G在定直线上.