2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省郑州市高二上学期期末数学试题 一、单选题1．已知，，若，则实数等于（    ）A． B． C． D．6【答案】C【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可【详解】因为，，且，所以，解得，故选：C2．若直线过两点，，则此直线的倾斜角是（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据两点的斜率公式，算出直线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系和倾斜角的范围，得出倾斜角的大小.【详解】直线过点，直线的斜率，即直线的倾斜角满足；，故选：A.【点睛】本题主要考查利用两点的坐标求直线斜率与倾斜角的应用问题，属于基础题.3．如图，在平行六面体中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．【详解】连接，可得，又，所以．故选：B.4．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义可求得的值，结合椭圆的离心率公式可求得的值，进而可求得的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆的标准方程.【详解】由题意可知，的周长为，，又因为椭圆的离心率为，可得，，又因为椭圆的焦点在轴上，因此，椭圆的方程为.故选：D.5．已知双曲线,则C的焦点到其渐近线的距离为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程,根据双曲线的对称性,取其中一个焦点坐标和渐近线即可,根据点到直线的距离公式求出结果即可.【详解】解:由题知双曲线,即,故焦点坐标为,渐近线方程为:,即,由双曲线的对称性,不妨取焦点到渐近线的距离,故焦点到其渐近线的距离为.故选:B6．已知过点的直线与圆交于两点，则当弦最短时直线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据直线过定点，当时弦最短，由互相垂直的直线斜率乘积为，求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案.【详解】因为直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，此时直线的斜率，所以直线的斜率，故直线为，则.故选：A.7．抛物线的准线方程为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，又准线方程是，所以，所以.故选：C8．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.【详解】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，解得或，所以实数a的取值范围为，故选：A．9．在直三棱柱中， 侧棱长为4 ， 底面是边长为4的正三角形， 则异面直线 与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值.【详解】由题意，取中点，建系如图所示的空间直角坐标系，则,所以,所以，所以与所成角的余弦值为，故选:C.10．希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（    ）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆 上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．【详解】设动点 ，由，得 ，整理得 ，即点P轨迹方程为，表示圆，又点P是圆上有且仅有的一点所以两圆相切,圆的圆心坐标为 ，半径为2，圆的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时， ，得 ，当两圆内切时， ， ，得 ．故选∶D．11．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C12．如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点，则下列结论不正确的是（    ）A．平面PABB．平面平面ABCDC．点E到平面PAB的距离为D．二面角的正弦值为【答案】B【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D；【详解】对于A：取的中点为，连接，因为为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：取为，连接所以，且，又因为是等腰直角三角形，所以，且平面，且，所以平面，所以为平面与平面的夹角，又因为，所以平面，且平面，所以，，而，所以，故B错误；对于C：以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，建立如图所示空间直角坐标系，则 因为 所以，所以，所以设平面的法向量为，则有即，令 则，所以，所以点到平面的距离为，故C正确；对于D：设平面的法向量为，则有即，令则，所以， 设二面角的大小为，则，所以.故D正确.故选：B 二、填空题13．已知向量，，则______．【答案】【分析】求出向量的坐标，利用空间向量模长公式可求得的值.【详解】因为向量，，则，因此，.故答案为：.14．两圆与的公共弦所在直线的方程为______.【答案】【分析】两圆相减，消去即为答案.【详解】与相减得：，即为公共弦所在直线的方程.故答案为：15．不论为何实数，直线恒过定点_________.【答案】【分析】直线方程转化为，再根据直线系方程求解即可.【详解】解：将直线方程转化为，所以直线过直线与的交点，所以，联立方程，解得所以，直线恒过定点故答案为：16．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．【答案】##【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲线的定义求解得答案．【详解】如图，∵直线的倾斜角为，∴，又，∴，可得为正三角形，由对称性可得，四边形为矩形，得到，由双曲线定义可得，，∴，故答案为：. 三、解答题17．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.(1)写出点，的坐标；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）根据空间直角坐标系中，的位置写出坐标；（2）求出，证明出结论.【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，.（2）∵，，∴，.即，∴，故.18．已知的顶点．(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点B，且在x轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先求得边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简；（2）按直线是否过原点分类讨论．不过原点时设截距式方程求解．【详解】（1）由已知边中点坐标为，中线斜率为，中线所在直线方程为，即；（2）当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即，直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即，所以所求直线方程为或．19．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点.(1)求抛物线的方程；(2)若点也在抛物线上，且，求线段的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设抛物线的方程，将点A代入，即可求得抛物线的标准方程；（2）由，可得直线的方程，代入抛物线方程得到点坐标，再求线段的长.【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且过点，则抛物线开口向上，设抛物线，因为抛物线过点，所以，解得.所以所求的抛物线方程为；（2）因为，所以，由，所以所以的方程，由解得，所以，即线段的长为.20．已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l.(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．【答案】(1)x＝4或3x＋4y-8＝0.(2) 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程；（2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，则圆心到直线的距离为即，解得，所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0.综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0.（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0，圆心到直线l的距离故所求弦长为：.21．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，，M，N分别为AB，PC的中点．(1)求线段MN的长；(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可知，建立空间直角坐标系分别求得M，N两点坐标，即可求得线段MN的长；（2）利用空间向量在立体几何中的应用，求出与平面PMC的法向量的夹角即可求出结果.【详解】（1）根据题意，分别以所在直线为轴、轴、轴，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：则N分别为PC的中点，所以，易知，所以（2）易得，设平面的法向量为则，令，则；所以设直线与平面所成角为，则，即PD与平面PMC所成角的正弦值为22．已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点 满足，求证：直线恒过定点．【答案】(1).(2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意可求得的值，即得答案.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合化简可得参数的关系式，从而化简直线方程，可得定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点.【详解】（1）根据椭圆定义得，，即 ，，故椭圆的标准方程为．（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，则由题意得，将，代入整理得：（*），将代入椭圆方程整理得，需满足 ，则，代入（*）式得：，整理得，当时，过B点，不合题意；故，直线的方程为，故此时过定点；当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得 ，不妨设，由可得 ，解得，此时方程为，也过定点，综合上述，过定点.【点睛】方法点睛：关于直线和圆锥曲线的位置关系涉及直线过定点的问题，一般方法是设出直线方程，并和圆锥曲线方程联立，应用根与系数的关系式结合条件表示出参数之间的关系，从而将直线看作直线系方程，分离参数即可求得定点，同时要注意直线斜率不存在的情况.