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2022-2023学年陕西省铜川市新区九年级（下）第一次段考数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年陕西省铜川市新区九年级（下）第一次段考数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省铜川市新区九年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3﹣2＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．﹣
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x+＝（x﹣）2
B．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180° B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠β
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
7．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则a+b 0．
（填“＞”，“＝”，“＜”）
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
11．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20220﹣+（）﹣1．
14．化简：（x+y）2﹣（x﹣y）2．
15．解不等式组
请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
16．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
18．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
19．“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
20．从2021年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
21．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
22．如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
23．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
25．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
26．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则图①中与线段CE相等的线段是 ；
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且，连接AP、BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，求线段CF的长；
问题解决
（3）如图③是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且AC＝BC，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为点E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x米，阴影部分的面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式．
参考答案
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3﹣2＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．﹣
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：3﹣2＝＝；
故选：B．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数．
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x+＝（x﹣）2
B．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2﹣x+＝（x﹣）2，正确；
B、a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误；
C、x2﹣2x+4，无法运用公式法分解因式，故此选项错误；
D、4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180° B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠β
【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，AD＝＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AD＝×5＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．
解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
7．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果．
解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则a+b ＞ 0．
（填“＞”，“＝”，“＜”）
【分析】根据数轴先判断出a、b的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．
解：由各点在数轴上的位置可得：﹣a＜0，b＞0，|a|＜b，
所以a+b＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则．
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 （2，4，2） ．
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 ．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
11．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是求出点C的坐标．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 4 ．
【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝4，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20220﹣+（）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：原式＝4×﹣（2﹣）+1﹣2+4
＝2﹣2++5﹣2
＝3+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14．化简：（x+y）2﹣（x﹣y）2．
【分析】根据完全平方公式先把原式进行化简，再合并即可．
解：（x+y）2﹣（x﹣y）2
＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2
＝4xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
15．解不等式组
请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3≤x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x≤1，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
解：如图，∠PBC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
【分析】设甜果买了x个，苦果买了y个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入x，y中即可求出结论．
解：设甜果买了x个，苦果买了y个，
依题意，得：，
解得：，
∴x＝803，y＝196．
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．从2021年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
因此选择生物的概率为．
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种，
则P（化学生物）＝＝．
答：他在“2”中选择化学、生物的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 8 ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×＝200（人），
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22．如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【分析】过A作AD⊥BC于D，先证△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD＝5m，再由锐角三角函数定义求出BD＝AD＝5（m），即可解决问题．
解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：AD＝5m，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝5m，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD＝5（m），
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5≈3.7（m），
答：电子显示屏高BC的值约为3.7m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，由3百米时温度为13.2℃，即可得出高度为5百米时的气温；
（2）应用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），
∴13.2﹣1.2＝12（℃），
∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
（2）设T关于h的函数表达式为T＝kh+b，
则：，
解得，
∴T关于h的函数表达式为T＝﹣0.6h+15（h＞0）；
（3）当T＝6时，6＝﹣0.6h+15，
解得h＝15．
∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠OAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠OCA，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）求出∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理求出x，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m，m2+2m+1），表示出PE＝﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可．
解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1＝1，
∴x1＝﹣6，x2＝0，
∴点C的坐标为（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设点P（m，m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m+1）＝﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP
＝S△AEC+S△APC
＝AC×EF+AC×PF
＝AC×（EF+PF）
＝AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m＝﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
26．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则图①中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ；
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且，连接AP、BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，求线段CF的长；
问题解决
（3）如图③是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且AC＝BC，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为点E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x米，阴影部分的面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225．
【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．
2022-2023学年陕西省铜川市新区九年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3﹣2＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．﹣
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x+＝（x﹣）2
B．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180° B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠β
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
7．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则a+b 0．
（填“＞”，“＝”，“＜”）
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 ．
10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
11．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20220﹣+（）﹣1．
14．化简：（x+y）2﹣（x﹣y）2．
15．解不等式组
请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
16．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
18．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
19．“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
20．从2021年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
21．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
22．如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
23．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
25．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
26．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则图①中与线段CE相等的线段是 ；
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且，连接AP、BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，求线段CF的长；
问题解决
（3）如图③是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且AC＝BC，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为点E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x米，阴影部分的面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式．
参考答案
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3﹣2＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．﹣
【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．
解：3﹣2＝＝；
故选：B．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数．
2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解：从正面看有两列，左列底层一个小正方形，右列三个小正方形．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣x+＝（x﹣）2
B．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
解：A、x2﹣x+＝（x﹣）2，正确；
B、a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误；
C、x2﹣2x+4，无法运用公式法分解因式，故此选项错误；
D、4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
4．一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（ ）
A．∠α+∠β＝180° B．∠α+∠β＝225° C．∠α+∠β＝270° D．∠α＝∠β
【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，
∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，
∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA，OD，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出AD，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，AD＝＝5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝AD＝×5＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
6．已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
A．y＝x+2 B．y＝x+2 C．y＝4x+2 D．y＝x+2
【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．
解：∵直线y＝2x+2和直线y＝x+2分别交x轴于点A和点B．
∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）
A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
B、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
C、y＝4x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；
D、y＝x+2与x轴的交点为（﹣，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
7．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果．
解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则，
解得：a＝﹣2，
则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，
则两根之积为，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，则a+b ＞ 0．
（填“＞”，“＝”，“＜”）
【分析】根据数轴先判断出a、b的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．
解：由各点在数轴上的位置可得：﹣a＜0，b＞0，|a|＜b，
所以a+b＞0，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上的数右边的数总是大于左边的数，以及有理数的加法法则．
9．如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为 （2，4，2） ．
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
10．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 ．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
11．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是求出点C的坐标．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为 4 ．
【分析】首先由S△PAB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝4，
即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
三、解答题（共14小题，计84分，解答应写出过程）
13．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20220﹣+（）﹣1．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：原式＝4×﹣（2﹣）+1﹣2+4
＝2﹣2++5﹣2
＝3+．
【点评】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14．化简：（x+y）2﹣（x﹣y）2．
【分析】根据完全平方公式先把原式进行化简，再合并即可．
解：（x+y）2﹣（x﹣y）2
＝x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2
＝4xy．
【点评】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
15．解不等式组
请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3≤x≤1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x≤1，
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣3，
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
解：如图，∠PBC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作图步骤作图即可．
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18．已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．
求证：△ABC≌△DCE．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．“两果问价”问题出自我国古代算书《四元玉鉴》，原题如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？将题目译成白话文，内容如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？
【分析】设甜果买了x个，苦果买了y个，根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入x，y中即可求出结论．
解：设甜果买了x个，苦果买了y个，
依题意，得：，
解得：，
∴x＝803，y＝196．
答：甜果买了657个，需要803文钱；苦果买了343个，需要196文钱．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．从2021年起，某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若小丽在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是 ；
（2）若小明在“1”中选择了物理，用画树状图的方法求他在“2”中选择化学、生物的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：（1）在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
因此选择生物的概率为．
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种，
则P（化学生物）＝＝．
答：他在“2”中选择化学、生物的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 8 ，c＝ 8 ；
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8，
故答案为：7.5，8，8；
（2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数＝800×＝200（人），
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22．如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【分析】过A作AD⊥BC于D，先证△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD＝5m，再由锐角三角函数定义求出BD＝AD＝5（m），即可解决问题．
解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：AD＝5m，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝5m，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD＝5（m），
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5≈3.7（m），
答：电子显示屏高BC的值约为3.7m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．
请根据图象解决下列问题：
（1）求高度为5百米时的气温；
（2）求T关于h的函数表达式；
（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．
【分析】（1）根据高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，由3百米时温度为13.2℃，即可得出高度为5百米时的气温；
（2）应用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），
∴13.2﹣1.2＝12（℃），
∴高度为5百米时的气温大约是12℃；
（2）设T关于h的函数表达式为T＝kh+b，
则：，
解得，
∴T关于h的函数表达式为T＝﹣0.6h+15（h＞0）；
（3）当T＝6时，6＝﹣0.6h+15，
解得h＝15．
∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
24．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠OAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠OCA，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）求出∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理求出x，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m，m2+2m+1），表示出PE＝﹣m2﹣3m，再用S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可．
解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1＝1，
∴x1＝﹣6，x2＝0，
∴点C的坐标为（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
设点P（m，m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE＝﹣m+1﹣（m2+2m+1）＝﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC＝6，
∴S四边形AECP
＝S△AEC+S△APC
＝AC×EF+AC×PF
＝AC×（EF+PF）
＝AC×PE
＝×6×（﹣m2﹣3m）
＝﹣m2﹣9m
＝﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m＝﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
26．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D，过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，则图①中与线段CE相等的线段是 CF、DE、DF ；
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，AB＝8，P是上一点，且，连接AP、BP，∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，求线段CF的长；
问题解决
（3）如图③是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且AC＝BC，P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为点E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设AP的长为x米，阴影部分的面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式．
【分析】（1）证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；
（2）连接OP，由AB是半圆O的直径，＝2，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，则∠ABP＝30°，同（1）得四边形PECF是正方形，得PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝4，在Rt△CFB中，BF＝＝CF，推出PB＝CF+BF，即可得出结果；
（3）同（1）得四边形DEPF是正方形，得出PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，证∠A′PB＝90°，得出S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝35，S△ACB＝AC2＝1225，由y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出结果．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形CEDF是矩形，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∴四边形CEDF是正方形，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
故答案为：CF、DE、DF；
（2）连接OP，如图2所示：
∵AB是半圆O的直径，＝2，
∴∠APB＝90°，∠AOP＝×180°＝60°，
∴∠ABP＝30°，
同（1）得：四边形PECF是正方形，
∴PF＝CF，
在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×＝4，
在Rt△CFB中，BF＝＝＝＝CF，
∵PB＝PF+BF，
∴PB＝CF+BF，
即：4＝CF+CF，
解得：CF＝6﹣2；
（3）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC，
同（1）得：四边形DEPF是正方形，
∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，
∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：
则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，
∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，
∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝PA′•PB＝x（70﹣x），
在Rt△ACB中，AC＝BC＝AB＝×70＝35，
∴S△ACB＝AC2＝×（35）2＝1225，
∴y＝S△PA′B+S△ACB＝x（70﹣x）+1225＝﹣x2+35x+1225．
【点评】本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．
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