2023九江高三下学期第二次高考模拟统一考试数学（文）含解析

九江市2023年第二次高考模拟统一考试

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知实数x，y满足条件，则的最大值为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 正方体中，M是的中点，则直线DM与的位置关系是（    ）

A. 异面垂直 B. 相交垂直 C. 异面不垂直 D. 相交不垂直

6. 执行下边的程序框图，如果输入的是，，输出的结果为，则判断框中“”应填入的是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线的左右焦点分别为，M是双曲线C左支上一点，且，点关于点M对称的点在y轴上，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知数列的通项为，则其前8项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知函数，则下列结论正确是（    ）

A. 周期为π，在上单调递减

B. 周期为，在上单调递减

C. 周期为π，在上单调递增

D. 周期为，在上单调递增

11. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为、，点关于的对称点为．给出下列四个命题：

①两椭圆的焦距长相等；

②两椭圆的离心率相等；

③；

④与小椭圆相切

其中正确的个数是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题90分）

考生注意：

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，学生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，满足，且，则______．

14. 从边长为的正六边形的各个顶点中，任取两个顶点连成线段，则该线段长度为的概率为______．

15. 函数的所有零点之和为______．

16. 根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100），现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：

（1）在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生．

①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；

②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率．

（2）如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关？

参考数据：

，其中．

18. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．

（1）求c；

（2）求的取值范围．

19. 如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）若E为棱BC的中点，求三棱锥的体积．

20. 已知P是抛物线上一动点，是圆上一点，的最小值为．

（1）求抛物线E的方程；

（2）是圆M内一点，直线l过点N且与直线MN垂直，l与抛物线C相交于两点，与圆M相交于两点，且，当取最小值时，求直线的方程．

21. 已知函数，．

（1）当时，证明：；

（2）当时，判断零点的个数并说明理由．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为，曲线C的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）设直线与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求最大值．

选修4—5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）若的最小值为1，求a的值；

（2）若恒成立，求a的取值范围．