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2023北京东城区高三下学期综合练习（一）数学试题含答案
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- 北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6）B （7）A （8）D （9）B （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） （13） (答案不唯一) （14）（15） ② ③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为===所以的最小正周期为 ………………6分（Ⅱ）由题设，，由是该函数零点可知，，即.故或，解得或.因为，所以的最小值为. ………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为． …3分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.；；则随机变量的分布列为：123 故随机变量的数学期望． ………11分（Ⅲ）． ………13分 （18）（共15分）解：（Ⅰ）连接，，.因为长方体中,∥且，所以四边形为平行四边形.所以为的中点，在△中，因为，分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面. ………………6分（II）选条件①：.(ⅰ)连接.因为长方体中，所以.在△中,因为为的中点，，所以.如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，则，，，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则即令，则，，可得.设平面的法向量为，则即令，则，，所以.设平面与平面的夹角为 ，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.(ⅱ)因为，所以点到平面的距离为. ………………15分 选条件②：与平面所成角为.连接.因为长方体中，平面，平面，所以.所以为直线与平面所成角，即.所以△为等腰直角三角形.因为长方体中，所以.所以.以下同选条件① . （19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，定义域为.，令，得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为. ………………5分（Ⅱ）令， 则.当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，最小值为.当时，的最小值为1，所以的最小值为. ………………11分（III）由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增, 又，， 所以，，，所以⫋. ………………15分 （20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得解得.所以椭圆的方程为． ………………5分（Ⅱ）直线的方程为．由 得．由，得．设，则，．直线的方程为．令，得点的横坐标为．同理可得点的横坐标为． ．因为点坐标为，则点为线段的中点，所以． ………………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6. …………5分（Ⅱ）若当取最大值时，存在，使得. 由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.②若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数，使得. ………………10分（Ⅲ）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，一方面，，因此．①另一方面，，因此. ②记．由①+②得.又，可得.构造数表可知数表具有性质，且.综上可知，当n为偶数时，的最大值为. ………………15分
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