四川省遂宁中学校2022-2023学年高二数学（文）下学期3月月考试题（Word版附解析）

遂宁中学高2024届第四期3月月考

文科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）

1. 圆心在，半径为3的圆的标准方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆的标准方程判断．

【详解】圆心在，半径为的圆的方程为，则圆心在上，半径为3的圆的标准方程为.

故选：B

2. 双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线方程求出，进而求出渐近线方程.

详解】∵，，∴.

故选：A.

3. 等差数列，的前项和分别为，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用即可得解.

【详解】由题得.

故选：D

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4. “且”是“”的 （    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，

【详解】当且时，成立，

反过来，当时，例：，不能推出且.

所以“且”是“”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.

5. 命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是

A. 若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数

B. 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数

C. 若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D. 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：否命题既否定条件，又否定结论，

所以命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是，

若不是奇函数，则不是奇函数，故选B

考点：命题的否定

6. 已知等差数列中，是一元二次方程的两个实根，则（　　）

A. 6 B. 9 C. 18 D. 27

【答案】C

【解析】

【分析】由韦达定理可得，即可求出，设等差数列的公差为，计算可得，即可求出答案.

【详解】由是一元二次方程的两个实根，可得，则，

设等差数列的公差为，

则.

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

7. 已知,若在斜率为直线上存在不同的两点，满足：， 且线段的中点为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，利用双曲线的定义判定点在以为焦点的双曲线上，进而得到双曲线的方程，然后利用点差法求得直线的斜率.

【详解】∵，且， ，

∴在以为焦点的双曲线上，

，∴，∴，

∴双曲线方程是.

设，则 ，

两式相减得 （*），

∵线段的中点为(6,1)，∴，

（*）两边同时除以 ，可得，解得，

故选：D.

8. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，且（C为圆心）为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由为等腰直角三角形，可得故圆心到直线的距离为：，同时由点到直线的距离公式，可得，可得答案.

【详解】解：由题意得：为等腰直角三角形，

故圆心到直线的距离为：，

在利用点到直线的距离公式，可得圆心到直线的距离为：

，解得：，

故选：C.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用等，属于基础题.

9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由于双曲线和直线都关于原点对称，知，连结，，则四边形为平行四边形，利用余弦定理求出，又由双曲线的定义得，代入整理即可得出结果.

【详解】

由过原点的直线与交于，两点，

则，在双曲线的两支，且，

连结，，则四边形为平行四边形，

所以，，.

在中，由余弦定理得，，

即，

化简得，.

又由双曲线的定义，，

即.

所以，

故，从而，

故双曲线的方程为.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，是中档题.解题的关键在于根据题意得四边形为平行四边形，进而利用焦点三角，双曲线的定义，余弦定理运算求解.

10. 点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞2）是抛物线x2＝2y上的点，过点P作圆E：x2＋（y-1）2＝1的两条切线分别交x轴于B，C两点，切点分别为M，N，则△PBC面积的最小值为（    ）

A. 4 B. 16 C. 12 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意可得圆是的内切圆，则根据切线长定理可得，从而得到，最后利用基本不等式求出面积最值；

【详解】解：因为圆与轴相切，所以圆是的内切圆，所以，因为，由得：

，因为，

又因为，所以，，故，

所以，当且仅当，即时，等号成立.

故选：D

【点睛】本题考查抛物线中三角形面积的计算，考查基本不等式的应用，属于中档题.

11. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】充分性可通过举例子确定；不必要性可通过解确定，对于命题可通过对分类讨论求解.

【详解】当时，有.

当时，，，

取，有.充分性成立

若，

当时，，不符合题意，舍去；

当时，由，得有解，

所以，解得；

当时，由，得有解，

所以，解得；

综上可得，或.必要性不成立

故选：A.

12. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则

A. 2 B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】以线段 为直径的圆方程为 ,

双曲线经过第一象限的渐近线方程为 ,

联立方程 ,求得 ,

因为 ,

又

所以

解得 ,

由求根公式有 (负值舍去).故选D.

点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 方程表示椭圆充要条件是__________．

【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.

【详解】方程表示椭圆,

则必有解之得或

故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）

14. 若双曲线的渐近线与圆相切，则______．

【答案】

【解析】

【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．

【详解】解：双曲线的渐近线：，

圆的圆心与半径，

双曲线的渐近线与圆相切，

，解得或（舍去）．

故答案为：．

15. 在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________.

【答案】8

【解析】

【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐标．利用点到直线的距离公式可得到的距离，可得面积．

【详解】关于直线的对称点；

，，，

的直线方程为，

联立，解得，．

；

到的距离；

的面积．

故答案为：．

16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，再与抛物线方程联立并借助韦达定理即可计算作答.

【详解】依题意，抛物线的焦点，

显然，直线不垂直于y轴，则设直线的方程为，将代入，整理得，

设，，则，，因，则，

因此，，则，即，于是得，

的面积为，

所以的面积为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：过定点的直线与抛物线相交，结合条件设出直线方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理即可计算解决问题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限．

（1）求圆的方程；

（2）过点作圆的切线，求切线的方程．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.

（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.

【小问1详解】

设圆心为，则，

解得，则圆的方程为.

故答案为：.

【小问2详解】

点在圆外，

①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件.

②切线斜率存在时，设切线，即,

则圆心到切线的距离，解得，

则切线的方程为：.

故答案为：或.

18. 已知数列的前n项和为，，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知，求数列前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.

（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.

【小问1详解】

解：由题意得：

由题意知，则

又，所以是公差为2的等差数列，则；

【小问2详解】

由题知

则

19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，.

（1）求；

（2）若，是边上一点，且的面积为，求.

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将边化为角可得，将用替换，结合两角和与差的公式可得结果；

（2）先由正弦定理求出，再由余弦定理求出，在中，根据正弦定理求出，从而根据角度互补可得结果.

【小问1详解】

根据正弦定理，等价于．

又因为在中，．

故，

从而，

因为，所以，得，

因为，所以；

【小问2详解】

由，可得，

因为 ，所以．

根据余弦定理，得，

即．

在中，根据正弦定理有，

得．

因为，故．

20. 如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且．

（1）求证：平面；

（2）若是的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理证明，由平面，可得．从而可证得平面

（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，，．求得，计算的面积，根据到平面的距离是到平面距离的一半，求得棱锥的高，代入体积公式计算．

【详解】解：（1）证明：平面，∴

在中，

依余弦定理有：，∴

又，∴，即

又，∴平面

（2）在直角梯形中，过作于点，

则四边形为矩形，，．

在中，可得，

，

．，

是的中点，到平面的距离是到平面距离的一半，

．

【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥的换底性及棱锥的体积公式，涉及知识较多，对学生的推理论证能力有一定的要求，属于中档题．

21. 已知抛物线，直线l与抛物线C交于A，B两点，且，O是坐标原点．

（1）证明：直线AB过定点．

（2）求面积的最小值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）1.

【解析】

【分析】（1）设，，直线AB的方程与抛物线联立，得出韦达定理，由得，代入韦达定理即可.

（2）先表示三角形的面积，韦达定理代入，求最值即可.

【小问1详解】

证明：易知直线AB的斜率存在且不过原点，

设直线AB的方程为，，，，

联立方程组可得，

则，．

因为，所以，

解得（舍去）或，

所以直线的方程为，过定点；

【小问2详解】

由（1）知，

所以当时，的面积取得最小值，且最小值为1，

即面积的最小值为1．

22. 已知椭圆C：（）的左、右焦点为、，离心率为，点G与关于直线l：对称.

（1）求直线被椭圆C所截得的弦长；

（2）是否存在直线：与椭圆C交于不同的两点M，N，使得直线、关于所在直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】（1）3；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）首先根据离心率求出椭圆方程，利用点与点关于直线的对称问题得到点坐标，以此写出直线方程，弦长得求.

（2）因为直线、关于所在直线对称，所以得出，设出，，利用直线与椭圆方程联立及韦达定理求得值再检验.

【详解】（1）由题意，，，所以椭圆方程为.

设点与关于直线l：对称，所以，

所以，故，

则直线的方程为，

所以直线与椭圆C的两个交点坐标为，，故弦长为3.

（2）由条件知直线，的斜率存在且不为0，设，，

直线的方程为，

由椭圆方程与直线l方程联立消去y，

整理得，

，①，

，，

，

故，

不满足条件①，

综上，不存在直线：满足条件.

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，椭圆与直线位置关系中的弦长问题，直线与直线的对称问题转化为斜率问题，属于常规题.