数学（北京卷）-学易金卷：2023年中考第二次模拟考试卷

2023年中考数学第二次模拟考试卷（北京卷）

数学·参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

9．x＞0．

10．x（x+13）（x﹣13）．

11．x＝﹣4．

12＞．

13．480．

14．．

15．．

16．36km．

三．解答题（共12小题）

17．（5分）解：原式＝3﹣4×+2+1

＝3﹣2+2+1

＝4．

18．（5分）解：原式＝a2﹣4b2+a2﹣4ab+4b2

＝2a2﹣4ab，

把a＝，b＝1代入得，原式＝2×（）2﹣4××1＝﹣2＝﹣．

19（5分）（1）解：如图，线段CF即为所求．

（2）证明：连接BE和DE．

在△CDE和△CBE中，

，

∴△CDE≌△CBE（SSS），

∴∠DCE＝∠BCE，

∴CE平分∠DCB，

∴CF⊥BD，

即CF为△ABC的AB边的高线（三线合一）．

故答案为：CD；CF；BD；三线合一．

20．（5分）解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，

解得m＞；

（2）设方程的另一根为t，

根据根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，

解得t＝1，m＝1，

所以m的值为1，方程的另一个实数根为1．

21．（6分）（1）证明：∵点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，

∴∠BAF＝∠EDC，

在△AFB和△DCE中，

，

∴△AFB≌△DCE（SAS），

∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，

∴∠BFC＝∠ECF，

∴FB∥CE，

又∵FB＝CE，

∴四边形BCEF是平行四边形；

（2）解：连接BE，交CF于点G，如图所示：

∵四边形BCEF是平行四边形，

∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，

∴FG＝CG，

∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，

∴AC＝＝＝10，

∴cos∠ACB＝＝＝，

在Rt△BCG中，cos∠ACB＝，

∴FG＝CG＝BC•cos∠ACB＝6×＝，

∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．

故答案为：．

22．（5分）解：（1）在这次测试中，成绩在75分以上（含75分）的有7+15+8＝30（人）；

故答案为：30；

（2）50人成绩的中位数是从低到高第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，

∴m＝＝77.5，

故答案为：77.5；

（3）估计成绩超过平均数76.9分的人数为1500×＝810（人）．

答：估计八年级成绩超过平均数76.9分的人数为810人．

23．（6分）（1）证明：∵∠EAB＝∠D，∠ACB＝∠ADB，

∴∠EAB＝∠ACB，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝∠CAB+∠C＝90°，

∴AE为⊙O的切线；

（2）解：连接CD，过D作DH⊥BC于H，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠CDA＝∠ABC＝90°，

∵∠ACD＝∠ABD＝30°，

∴∠DAC＝∠CBD＝60°，

∴AC＝＝＝2，

∴CD＝AC＝，设BH＝x，则CH＝6﹣x，

∴DH＝x，

∵CD2＝CH2+DH2，

∴30＝（6﹣x）2+（x）2，

解得x＝或x＝（不合题意舍去），

∴BD＝2BH＝3+．

24．（6分）解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），

∴m＝1+3＝4，

∵反比例函数的图象经过点A（1，4），

∴k＝1×4＝4；

（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），

当y＝2时，2＝，解得x＝2，

∴点C的坐标为（2，2），

当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，

∴点D的坐标为（﹣1，2），

∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；

②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0），

当y＝n时，n＝，解得x＝，

∴点C的坐标为（，n），

当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，

∴点D的坐标为（n﹣3，n），

当点C在点D的右侧时，

若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），

∴当0＜n≤2时，CD≥OB；

当点C在点D的左侧时，

若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），

∴当n≥3+时，CD≥OB，

综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．

25．（5分）解：（1）y＝﹣（x﹣m）2+m2，

∴对称轴是直线x＝m．

（2）①当a＝0时，y1＝0，y2＝6m﹣9，

∵y1＜y2，

∴6m﹣9＞0，

∴m＞，

②抛物线开口向下，对称轴是直线x＝m，

∵y1＞y2，

∴m﹣a＜a+3﹣m，

∴2m＜2a+3，

∵0＜m＜2，

∴0＜2m＜4，

∴2a+3≥4，

∴a≥．

26．（6分解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，

故答案为：d，h；

（2）如图，

（3）①当x＝0时，y＝0.88，

∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，

故答案为：0.88；

②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，

，

解得，

∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，

令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，

解得x≈3.3（舍去）或0.7．

故答案为：0.7．

27．（7分）解：（1）①如图1：

②如图，连接CF，

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠ABE＝∠ACF＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCF＝45°+45°＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴AD∥CF，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴BG＝FG，

∴G为BF的中点．

（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：

如图2，连接CF，

由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠BCF＝90°，G为BF的中点仍然成立，

且BE＝CF，

设AD＝CD＝x，CE＝y，

则BE＝CF＝2x+y，

∵DG＝，

∴AG＝，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，

∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2＝，

∴2AE2﹣4AG2＝BE2．

28．（7分）解：（1）①如图所示：

∵点A（1，0），点B（3，0），AB关于y＝x的对称图形为A'B'，⊙B半径为，

∴根据轴对称性得：A'（0，1），B'（0，3），即点A'，B'在y的正半轴上，

∴A'B'在⊙B的内部，

∴Q3为线段AB关于直线y＝x的“弱相关图形”．

②如图所示，若⊙O是线段OA关于直线l：y＝x+b的“弱相关图形”，

∵y＝x+b与y＝x平行，

∴y＝x+b与坐标轴的夹角为45°，由点O关于y＝x+b对称，

则OO'⊥l，则O'在直线y＝﹣x上，

当b＜0时，点O离对称轴直线l：y＝x+b较远，如图，当O'在⊙O上时，

设l与x轴交于点D，

依题意，OO'＝2，△DOO'是等腰直角三角形，

∴，

∴D的坐标为，代入y＝x+b

解得：，

当b＞0时，点A离对称轴直线y＝x+b较远，如图：当A'在⊙O上时，

同理可得DA＝DA'，

连接OA′，在Rt△DOA'中，设DO＝a，则D'O＝a，A'O'＝AO＝1，

∵A'O2＝DO2+A'D2，

∴22＝x2+（x+1）2，

解得：（舍去），

∴，

∴，

代入y＝x+b，

解得：，

综上所述：．

（2）解：∵C（a﹣2，a+2），

∴a+2＝a﹣2+4，

即C在直线y＝x+4上，

如图所示：过点O作OS⊥y＝x+4于点S，

由y＝x+4，令x＝0，y＝4，

令y＝0，x＝4，

∴，

依题意，点C在直线y＝x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，

∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，

∴r≥OP+2，

∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，

此时点P（2，﹣2），则，

又∵点C在直线y＝x+4上运动，CO不能与y＝x平行，

∴Q点只能接近点S，

∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于OP+2，

∴即r的最小值为：OP+2，

即．