2022-2023学年陕西省西安市多校八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市多校八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  下列变形正确的是(    )

A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得

3.  如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若的长为，的长为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若是关于的一元一次不等式则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5.  已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6.  如图，在中，，，，是边上的动点，则的长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，的角平分线，交于点，，的面积为，四边形的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  由得到，则的取值范围是        ．

10.  如图，，，垂足分别是、，若要用“”得到≌，则你添加的条件是______写一种即可
 

11.  如图，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中如图，结果水没有满设每颗玻璃球的体积为请列出不等式：        ．

12.  命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是______ ．

13.  如图，，平分，于点，，已知，则        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．

15.  本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，求的度数．

16.  本小题分
如图，已知，，垂足是的中点求证：．

17.  本小题分
如图，已知线段，请用尺规作图法，求作线段的垂直平分线保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，已知是直线上一点，是从点引出的一条射线且若是的平分线，且满足，求的度数．

19.  本小题分
已知等腰三角形的三边长分别为，，，求等腰三角形的周长．

20.  本小题分
在元旦前夕，某商场为儿童推出一款特价商品，某超市为了促销这种定价为元件的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过件，按原价付款；若一次性购买超过件，则超过的部分按原价八折付款如果小明有元钱，那么他最多可以购买多少件这种商品？

21.  本小题分
如图，，为边上一点且，．
求证：≌．
．

22.  本小题分
定义新运算：对于任意实数，，都有比如：．
求的值．
若的值小于，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在中，，于点，是的外角的平分线．
求证：．
若平分交于点，判断的形状并说明理由．

24.  本小题分
【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若，则；
若，则；
若，则．
反之也成立．
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．
【理解】若，则        填“”、“”或“”
【运用】若，，试比较，的大小．
【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题制作某产品有两种用料方案，
方案一：用块型钢板，块型钢板．
方案二：用块型钢板块型钢板每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．

25.  本小题分
如图，在四边形中，已知，，，，．
求证：是直角三角形；
求四边形的面积．

26.  本小题分
如图，，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点．
求的度数．
当为何值时，是直角三角形？
如图，若点，在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，．
故选：．
根据不等式的定义解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，符合题意；
B、当时，变形错误，不符合题意；
C、，，，原变形错误，不符合题意；
D、当时，，，原变形错误，不符合题意．
故选：．
根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是边上的垂直平分线，，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是关于的一元一次不等式，
且，
．
故选：．
根据一元一次不等式的定义解答即可．
本题考查的是一元一次不等式的定义，熟知含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
，．
当为底时，腰长为，，，能组成三角形，故周长为．
当为底时，腰长为，，，不能组成三角形．
所以等腰三角形的周长为．
故选：．
先根据非负数的性质得出、的值，再根据等腰三角形的性质解答．由于没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系定理以及周长的求法．注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据垂线段最短，可知的最小值为．
中，，，，
，
的最大值为，
长不可能是，
故选：．
利用垂线段最短分析可知：的最小值为；根据含度角的直角三角形的性质得出，可知的最大值为，由此即可得到答案．
本题主要考查了垂线段最短的性质和含度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是利用含度角的直角三角形的性质得出．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
将折叠，使边落在边上，
，，，
，，
设，
，
，
，
，
的长度为，
故选：．
根据勾股定理得到逆定理得到，根据折叠的性质得到，，，求得，，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
的角平分线，交于点，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，
，
≌，
，，
≌，≌，
的面积为，四边形的面积为，
的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积，
，
，
，
，
的面积，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，利用角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，从而利用角平分线的定义可得，进而利用三角形的外角性质可得，然后三角形的外角性质可得，从而利用可证≌，再利用证明≌，≌，最后利用图形的面积和差关系可得的面积的面积，从而可得，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据不等式的基本性质进行解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：可添加，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．
根据直角三角形全等的判定即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为，
根据题意得到：．
故答案是：．
水的体积个玻璃球的体积．
本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
 

12.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 

【解析】解：逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
将命题的条件和结论相互转换，可得到互逆命题．
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

平分，，，
，
，，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，，
≌，
．
故答案为：．
过点作于点，先根据角平分线的定义得出，再证明，易得，再结合角平分线的定义可得，可推导，由三角形外角的性质可得；根据直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半可知，在中由勾股定理可求得，即可求得；证明≌，由全等三角形的性质可得．
本题主要考查了角平分线的性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题关键是熟练运用角平分线的性质、直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半．
 

14.【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为，得，
解集在数轴上表示：
 

【解析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为求解，然后再把解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

15.【答案】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

16.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据垂直的定义得出，利用证明≌，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明≌是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，直线为所作．
 

【解析】利用基本作图作已知线段的垂直平分线作直线垂直平分．
本题考查了作图基本作图，掌握作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键．
 

18.【答案】解：设，
是的平分线，
．
．
，
．
．
．
的度数为． 

【解析】设，利用角平分线的定义和平角的意义用的代数式分别表示出的大小，列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，平角的意义，结合图形利用平角的意义解答是解题的关键．
 

19.【答案】解：分三种情况：
当时，
解得：，
舍去；
当时，
解得：，
，
三边长分别为：，，，
，
不能组成三角形；
当时，
解得：，
，
三边长分别为：，，，
等腰三角形的周长，
综上所述：等腰三角形的周长为． 

【解析】分三种情况：当时，当时，当时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元一次方程，分三种情况讨论是解题的关键．
 

20.【答案】解：设小明可以买件该商品，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为，
答：小明最多可以购买件这种商品． 

【解析】设小明可以买件该商品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
．
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，即． 

【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．
 

22.【答案】解：；
的值小于，
，
解得：． 

【解析】利用新定义的规定计算即可；
利用新定义的规定得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了一元一次不等式的解法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
，
．
平分，
．
．



．
解：是等腰直角三角形，
理由是：，
，
平分，
．
，
是等腰直角三角形． 

【解析】根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：；
，，


，
，
；
设型钢板的面积为，型钢板的面积为，
方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，
，，


，
每块型钢板的面积比每块型钢板的面积小，即，
，
．
根据不等式的基本性质解答即可；
利用作差法比较大小即可；
设型钢板的面积为，型钢板的面积为，用，表示出，的值，再比较大小即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：在中，，，，
，
在中，，，，
，即，
，即是直角三角形；
解：在中，，，，
，
的面积为，
又的面积为，
四边形的面积为：． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

26.【答案】证明：等边三角形中，，
又由条件得，
≌，
，
；
解：由题意时间为秒，则，，
当时，
，
，得，
；
当时，
，
，得，
；
当第秒或第秒时，为直角三角形；
解：在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
≌，
，
又，
． 

【解析】先证明≌，从而得到，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
由题意时间为秒，则，，当时，当时，列方程得到结果；
先证明≌，从而得到然后依据求解即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．