2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）（含答案）

这是一份2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
2．（4分）下列计算中正确的是（　　）
A．a3•a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a10÷（﹣a2）3＝a4 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
3．（4分）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.51×108 B．2.51×107 C．25.1×107 D．0.251×109
4．（4分）如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（　　）

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
5．（4分）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）

A．7h，7h B．8h，8h C．8h，7.5h D．7h，7.5h
6．（4分）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　）

A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
8．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝﹣（x﹣2022）2+2023的图象上，且2022≤a＜2023，则b与c的大小系为（　　）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
10．（4分）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　）

A．△AEH和△CFG的面积之差 B．△DHG和△BEF的面积之和
C．△BEF和△CFG的面积之和 D．△AEH和△BEF的面积之和
二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）写出一个大于﹣4的负数　 　．
12．（5分）分解因式：9x2+6x+1＝　 　．
13．（5分）一个不透明的袋子里装有6个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　 　．
14．（5分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　 　．
15．（5分）如图，在△ABC中，点O在BC上，BC＝3OB＝6，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　 　．

16．（5分）如图，矩形ABCD中，BC＝9，点E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，恰有∠FEC＝2∠FCE，且CF＝6，则EF的长为 　 　，cos∠FCB的值为 　 　．

三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）解不等式组：．
18．（8分）如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．
（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）；
（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．

19．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，c）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于等于3，请根据图象直接写出n的取值范围．

20．（10分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间x（小时）
0.5≤x＜1.5
1.5≤x＜2.5
2.5≤x＜3.5
3.5≤x＜4.5
4.5≤x＜5.5
组中值
1
2
3
4
5
人数（人）
21
30
19
18
12
（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
21．（10分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

22．（10分）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　 　km/h，乙车出发时速度是 　 　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

23．（12分）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（不与A，B重合），F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：△ACD∽△BDF．
（2）如图②，在（1）的条件下，已知，当△CDF为等腰三角形时，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在△ABC中，，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE＝，求sinC的值．

24．（14分）如图①，AB为⊙O的直径，弦CD交AO于E（点E不与点A，O重合），连结BD，BC．
（1）求证：∠C+∠ABD＝90°；
（2）如图②，若∠ABC＝2∠ABD，求证：CB＝BE；
（3）在（2）的条件下．
①如图②，若，求sin∠ABD的值；
②如图③，连结DA并延长与BC的延长线交于点F，设，△ACF与四边形ACBD的面积之比为y，求y关于x的函数表达式．


2023年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷）
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
2．（4分）下列计算中正确的是（　　）
A．a3•a3＝a9 B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a10÷（﹣a2）3＝a4 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4
【解答】解：A，原式＝a6，故该选项不符合题意；
B，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；
C，原式＝a10÷（﹣a6）＝﹣a4，故该选项不符合题意；
D，原式＝（﹣a）2﹣22＝a2﹣4，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（4分）根据有关部门测算，2022年春节假期7天，全国国内旅游出游251000000人次．数据251000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.51×108 B．2.51×107 C．25.1×107 D．0.251×109
【解答】解：251000000＝2.51×108．
故选：A．
4．（4分）如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（　　）

A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．三个视图均相同
【解答】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为半圆；俯视图是一个圆．
故选：A．
5．（4分）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（　　）

A．7h，7h B．8h，8h C．8h，7.5h D．7h，7.5h
【解答】解：∵7h出现了19次，出现的次数最多，
∴所调查学生睡眠时间的众数是7h；
∵共有50名学生，中位数是第25、26个数的平均数，
∴所调查学生睡眠时间的中位数是＝7.5（h）．
故选：D．
6．（4分）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（　　）
A．16π B．52π C．36π D．72π
【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，
所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8π，
由扇形面积的计算公式得，
圆锥侧面展开图的面积为×8π×9＝36π，
故选：C．

7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　）

A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9
【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；
∴CE＝＝4，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠EDF＝∠DFB＝90°，
∴∠CDE+∠FDB＝90°，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠FDB，
∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，
∴，
解得BF＝，故选项A错误；
故选：A．

8．（4分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 （　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故选：B．
9．（4分）若A（a，b），B（a﹣2，c）两点均在函数y＝﹣（x﹣2022）2+2023的图象上，且2022≤a＜2023，则b与c的大小系为（　　）
A．b＜c B．b≤c C．b＞c D．b≥c
【解答】解：∵函数y＝（x﹣1）2﹣2021，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2022，
∵2022≤a＜2023，
∴2020≤a﹣2＜2021．
∴A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，
∴b＞c．
故选：C．
10．（4分）如图所示，将两张相同的矩形纸片和三张不同的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（　　）

A．△AEH和△CFG的面积之差 B．△DHG和△BEF的面积之和
C．△BEF和△CFG的面积之和 D．△AEH和△BEF的面积之和
【解答】解：如图，设GH、HE、EF、FG分别交DA、AB、BC、CD于点I、J、K、L，
∵HI＝FK，GH＝EF，
∴HI+GH＝FK+EF，
∴GI＝EK，
设正方形IGLD和正方形KEJB的边长都是m，正方形EFGH的边长为n，
∵AJ＝HI＝FK＝m﹣n，
∴AB＝CD＝m+m﹣n＝2m﹣n，
∵AD＝BC＝2m+n，JE＝GL＝m，
∴S△ADH＝S△BCF＝（2m+n）（m﹣n），S△ABE＝S△CDG＝m（2m﹣n），
∴S阴影＝（2m﹣n）（2m+n）﹣2×（2m+n）（m﹣n）﹣2×m（2m﹣n），
整理得S阴影＝2mn，
∵S△AEH﹣S△CFG＝n（m﹣n）﹣n（m﹣n）＝0，
∴S△AEH﹣S△CFG的结果与S阴影值的大小无关，
故A不符合题意；
∵S△DHG+S△BEF＝mn+mn＝×2mn，
∴△DHG和△BEF的面积之和可由S阴影的值求得，
故B符合题意；
∵S△BEF+S△CFG＝mn+n（m﹣n）＝mn﹣n2，
∴△BEF和△CFG的面积之和不能由S阴影的值求得，
故C不符合题意；
∵S△AEH+S△BEF＝n（m﹣n）+mn＝mn﹣n2，
∴△AEH和△BEF的面积之和不能由S阴影的值求得，
故D不符合题意，
故选：B．

二.填空题（每小题5分，共30分）
11．（5分）写出一个大于﹣4的负数　﹣3　．
【解答】解：大于﹣4的负数有﹣3，﹣2，﹣1等，
故答案为：﹣3．
12．（5分）分解因式：9x2+6x+1＝　（3x+1）2　．
【解答】解：原式＝（3x+1）2，
故答案为：（3x+1）2
13．（5分）一个不透明的袋子里装有6个红球和5个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 　　．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为＝，
故答案为：．
14．（5分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 　﹣　．
【解答】解：根据题意得：+＝，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（5分）如图，在△ABC中，点O在BC上，BC＝3OB＝6，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 　2或　．

【解答】解：∵CA为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵BC＝3OB＝6，
∴OC＝4，OB＝OA＝2，
在Rt△OAC中，∵sinC＝＝＝，
∴∠C＝30°，
∴AC＝OA＝2，
当∠ADC＝90°时，AD＝AC＝，
当∠CAD＝90°时，AD＝AO＝2，
综上所述，AD的长为2或．
故答案为：2或．
16．（5分）如图，矩形ABCD中，BC＝9，点E为BC上一点，将△ABE沿着AE翻折得到△AFE，恰有∠FEC＝2∠FCE，且CF＝6，则EF的长为 　4　，cos∠FCB的值为 　　．

【解答】解：连接BF，过点F作FG⊥BC于点G，如图，

根据折叠的性质可知，BE＝EF，
∴∠FBE＝∠BFE，
∵∠FEC＝∠FBE+∠BFE＝2∠FBE，
又∵∠FEC＝2∠FCE，
∴∠FBE＝FCE，即△FBC为等腰三角形，
∵FG⊥BC，BC＝9，
∴BG＝CG＝＝，
在Rt△FCG中，CF＝6，
cos∠FCB＝，
由勾股定理得FG2＝CF2﹣CG2，
∴，
设BE＝EF＝x，则EG＝BG﹣BE＝，
在Rt△FEG中，由勾股定理得EF2＝EG2+FG2，
即，
解得：x＝4，
∴EF＝4．
故答案为：4，．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17．（8分）（1）计算：（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）（x+2）2+x（x﹣4）
＝x2+4x+4+x2﹣4x
＝2x2+4．
（2）解不等式①，得x≥﹣3．
解不等式②，得x＜1．
∴这个不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
18．（8分）如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．
（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的涂法）；
（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．

【解答】（1）见下图：
（2）见下图：

19．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，c）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于等于3，请根据图象直接写出n的取值范围．

【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（3，1），B（﹣1，c）两点，
∴a＝3×1＝3，﹣c＝3，
∴c＝﹣3，
∴点B坐标为（﹣1，﹣3），
将点A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数表达式为y＝x﹣2，
∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式y＝x﹣2；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于等于3，
∴|m|≤3且m≠0，
∴由图象可知，n≤﹣1或n≥1．
20．（10分）某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成下表．
学生目前每周劳动时间统计表
每周劳动时间x（小时）
0.5≤x＜1.5
1.5≤x＜2.5
2.5≤x＜3.5
3.5≤x＜4.5
4.5≤x＜5.5
组中值
1
2
3
4
5
人数（人）
21
30
19
18
12
（1）画扇形图描述数据时，1.5≤x＜2.5这组数据对应的扇形圆心角是多少度？
（2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数．
（3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性．
【解答】解：（1）×100%＝30%，
360°×30%＝108°；
（2）＝＝2.7（小时），
答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时．
（3）（以下两种方案选一即可）
①从平均数看，标准可以定为3小时，
理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．
②从中位数的范围或频数看，标准可以定位2小时，
理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数在1.5≤x＜2.5范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前能达标，同时至少有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性．
21．（10分）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）
如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．
（1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；
（2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

【解答】解：（1）53°≤α≤72°，当α＝72°时，AO取最大值，
在Rt△AOB中，sin∠ABO＝，
∴AO＝AB•sin∠ABO＝4×sin72°＝4×0.95＝3.8（米），
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米；
（2）在Rt△AOB中，cos∠ABO＝＝1.64÷4＝0.41，
∵cos66°≈0.41，
∴∠ABO＝66°，
∵53°≤α≤72°，
∴人能安全使用这架梯子．
22．（10分）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）甲车速度是 　100　km/h，乙车出发时速度是 　60　km/h；
（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．

【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：500÷5＝100（km/h），
乙车出发时速度是：300÷5＝60（km/h），
故答案为：100，60；
（2）乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝kx+b，
∵点（9，300），（12，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式是y＝﹣100x+1200；
（3）设乙车出发m小时，两车之间的距离是120km，
当0＜m＜5时，
100m﹣60m＝120，
解得m＝3；
当5.5＜m＜8时，
100（m﹣5.5）+120+300＝500，
解得m＝6.3；
当9＜m＜12时，
乙车返回的速度为：300÷（12﹣9）＝100（km/h），
100（m﹣8）+100（m﹣9）＝120，
解得m＝9.1；
答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km．
23．（12分）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（不与A，B重合），F是BC边上一点，∠CDF＝45°．求证：△ACD∽△BDF．
（2）如图②，在（1）的条件下，已知，当△CDF为等腰三角形时，求CF的长．
【拓展提高】
（3）如图③，在△ABC中，，∠B＝45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上．若CE＝，求sinC的值．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠ACD+∠ADC＝135°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠ADC+∠BDF＝135°，
∴∠ACD＝∠BDF，
∴△ACD∽△BDF；
（2）解：如图1，

当CF＝DF时，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∠DFC＝90°，
∵AC＝CB，
∴CD⊥AB，
∴CF＝BF＝BC＝AC＝，
如图2，

当CD＝DF时，∠BCD＝∠DFC，
∵△ACD∽△BDF，
∴△ACD≌△BDF，
∴AD＝BF，
∵∠CDF＝∠B＝45°，
∴∠BDC＝∠DFC，
∴∠BDC＝∠BCD，
∴BD＝BC＝AC＝2，
∵AB＝AC＝4，
∴BF＝AD＝AB﹣BD＝4﹣2，
∴CF＝CB﹣BF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4；
（3）解：如图3，

作∠DEF＝∠ADB，交BC于F，
由（1）可知：∠BAD＝∠EDF，
∴△ABD∽△DFE，∠EFD＝∠B＝45°，
∴，
∴DE＝AB＝4，
∵∠EDC＝∠AED﹣∠C＝45°﹣∠C，∠CEF＝∠EFD﹣∠C＝45°﹣∠C，
∴∠CEF＝∠EDC，
∵∠C＝∠C，
∴△CEF∽△CDE，
∴，
∴，
∴CF＝1，
设AD＝AE＝x，
在Rt△ADC中，AD＝x，AC＝AE+CE＝x+，CD＝5，
∴x2+（x+）2＝52，
∴x1＝2，x2＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∴sinC＝．
24．（14分）如图①，AB为⊙O的直径，弦CD交AO于E（点E不与点A，O重合），连结BD，BC．
（1）求证：∠C+∠ABD＝90°；
（2）如图②，若∠ABC＝2∠ABD，求证：CB＝BE；
（3）在（2）的条件下．
①如图②，若，求sin∠ABD的值；
②如图③，连结DA并延长与BC的延长线交于点F，设，△ACF与四边形ACBD的面积之比为y，求y关于x的函数表达式．

【解答】（1）证明：连接AD，如图，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ADB＝90°．
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠ABD＝90°；
（2）证明：连接AD，OD，如图，

∵∠AOD＝2∠ABD，∠ABC＝2∠ABD，
∴∠AOD＝∠ABC．
∵∠A＝∠C，
∴△OAD∽△BCE，
∴，
∵OA＝OD，
∴BE＝BC；
（3）解：①∵，
∴设AE＝2k，则BE＝7k，
∴BE＝BC＝7k，AB＝AE+BE＝9k，
∴OA＝OD＝AB＝k．
∵△OAD∽△BCE，
∴，
∴．
∵CB＝BE，
∴∠C＝∠BEC．
∵∠A＝∠C，∠AED＝∠BEC，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝ED．
∴．
设DE＝9a，则EC＝14a，
∵∠A＝∠C，∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△EBC，
∴，
∴，
∵a＞0，k＞0，
∴a＝k．
∴AD＝9×k＝3k．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴sin∠ABD＝．
②连接OD，如图，

∵四边形ACBD为⊙O的内接四边形，
∴∠FAC＝∠FBD．
∵∠F＝∠F，
∴△FAC∽△FBD，
∴．
∵，
∴设BE＝m，则AE＝mx，
∴AB＝AE+BE＝（1+x）m，
∴OA＝OD＝（1+x）m．
由（3）①知：AD＝DE，∠AOD＝∠ABC．
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠AOD，
∵∠DAE＝∠OAD，
∴△ADE∽△AOD，
∴，
∴AD2＝AE•OA，
∴AD＝m．
∴DE＝AD＝m．
∵∠DAB＝∠DCB，∠AED＝∠BEC，
∴△AEC∽△DEB，
∴．
∴＝＝，
∴，
∴y关于x的函数表达式为y＝．