第27章相似培优练习-2022—2023学年人教版九年级数学下册

这是一份第27章相似培优练习-2022—2023学年人教版九年级数学下册，共18页。试卷主要包含了，y与t的函数图象如图2所示等内容，欢迎下载使用。
第27章相似培优练习-2022—2023学年人教版九年级数学下册
一．选择题（共5小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
2．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
3．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　）

A．4 B．6 C．16 D．18
4．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）

A． B． C． D．
5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　）

A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
二．填空题（共3小题）
6．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　 　．

7．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 　 　米．

8．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 　 　．


三．解答题（共5小题）
9．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，CG＝2，求阴影部分的面积．

10．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．

11．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．

12．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

13．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．


第27章相似培优练习-2022—2023学年人教版九年级数学下册
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9．
故选：C．
2．（2022•哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（　　）

A． B．4 C． D．6
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故选：C．
3．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（　　）

A．4 B．6 C．16 D．18
【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
4．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
5．（2022•十堰）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，则零件的厚度x为（　　）

A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm D．1cm
【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝3cm，
∴AB＝9cm，
∵某零件的外径为10cm，
∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），
故选：B．
二．填空题（共3小题）
6．（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　5　．

【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．

∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM＝FN，
∴＝＝＝3，
∴AB＝3AD，
设AD＝DC＝a，则AB＝3a，
∵AD＝DC，DT∥AE，
∴ET＝CT，
∴＝＝3，
设ET＝CT＝b，则BE＝3b，
∵AB+BE＝3，
∴3a+3b＝3，
∴a+b＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，
故答案为：5．
7．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 　134　米．

【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
经检验，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案为：134．
8．（2022•湖北）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时t的值为 　2+2　．


【解答】解：如图，连接AP，

由图2可得AB＝BC＝4cm，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），
∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），
∴t＝＝2+2，
故答案为：2+2．
三．解答题（共5小题）
9．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，CG＝2，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，

∵点D为的中点，
∴OD⊥BC
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，如图所示，

∵＝，
∴BD＝AC
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∴的度数＝的度数＝的度数＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACG中，tan∠CAD＝，sin
∴CA＝，AG＝
∵CG＝2，
∴CA＝2×＝6，AG＝4．
∴BD＝CA＝6，
∴S△ACG＝CG•AC＝6．
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝，
∴AD＝＝＝6．
∵DE∥BC，
∴△CAG∽△EAD，
∴，
即，
∴S△EAD＝．
∴S阴影部分＝S△EAD﹣S△ACG＝．
10．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；

11．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．

【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，

∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵∠FAC＝，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴r＝3，
∴AE＝4，
又∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．
12．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，

∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
13．（2022•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC与过点A的切线EF平行，BC，AD相交于点G．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若DG＝BC＝16，求AB的长．

【解答】（1）证明：∵EF是⊙O的切线，
∴DA⊥EF，
∵BC∥EF，
∴DA⊥BC，
∵DA是直径，
∴，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC．
（2）解：连接DB，
∵BG⊥AD，
∴∠BGD＝∠BGA，
∵∠ABG+∠DBG＝90°，∠DBG+∠BDG＝90°，
∴∠ABG＝∠BDG，
∴△ABG∽△BDG，
∴＝，
即BG2＝AG×DG，
∵BC＝16，BG＝GC，
∴BG＝8，
∴82＝16×AG，
解得：AG＝4，
在Rt△ABG中，BG＝8，AG＝4，
∴AB＝4．
故答案为：4．