数学（新高考Ⅰ卷A卷）2023年高考第二次模拟考试卷（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题知，，

在中，，解得，

所以，

在中，，解得，

所以，

所以.

故选：B

2．已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】，

故复数z在复平面内所对应的点位于第二象限,

故选：B

3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组的标准差最大.

故选：B.

4．命题：“是的充分不必要条件”，命题：“是的充分不必要条件”，下列为真命题的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】或，∴不一定成立，

反之若，则一定成立，

是的必要不充分条件

所以命题是假命题，

，故充分性成立，

反之，若，有可能，此时不成立，

所以命题：“是的充分不必要条件”为真命题，

据此可得： 是假命题，是假命题，是真命题，是假命题.

故选C.

5．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，

故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．

故选：A．

6．在中，，，，一只小蚂蚁从的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于1个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】的内切圆O与边分别切于点，连接，如图，

因，即有，圆O半径，

即，分别取的中点，连，

则，点O到三边的距离分别

等于，，，均为1，显然，

依题意，小蚂蚁在内（不含边界）爬行是安全的，其概率为.

故选：A

7．已知各项均为正数的数列满足，，则数列（    ）

A．无最小项，无最大项 B．无最小项，有最大项

C．有最小项，无最大项 D．有最小项，有最大项

【答案】D

【详解】数列各项均为正，

，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），

所以数列中，时，，是最小项．

又，，所以，，

记，则，两边求导得，即，

时，，是减函数，

所以时，是递减数列，因此有上界，时，，

即，

设，，时，，是增函数，

经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，

从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．

故选：D．

8．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：首先能够发现，下边需要考虑的就是时，上式可以转化为恒成立，之后转化为最值来处理，在解题的过程中，需要反复求导，化简式子，研究对应函数的单调性，得到时，单调递增，之后应用极限的思想，利用洛必达法则求得结果.

详解：由题意知满足条件，

当时，在恒成立可以转化为在时恒成立，

令，则，令，则，

因为，所以，所以函数在上单调递减，

所以，从而得到，

即函数在上单调递增，

而，故的取值范围是.

点睛：该题考查的是应用导数研究恒成立问题，在解题的过程中，需要构造新函数，将问题转化为求最值问题来解决，该题注意到，也可以通过让函数单调递减，导数小于等于零恒成立，求出结果，再验证其他范围时不成立，从而得到最后的答案.

二、多选题

9．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（    ）

A．  B．时，

C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小

【答案】ABC

【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，

故A正确，

对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，

则，

所以，

，

所以，故B正确，

对于C,D选项，，

当时，为正项且单调递增的数列，

故随着的增大而增大故选项C正确，

当时，为正负交替的摆动数列，

故选项D不正确.

故选：ABC.

10．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（    ）

A． B．

C．存在最大值 D．的最大值为

【答案】AC

【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，

所以，

则，故A正确；

，

则

，故B错误；

如图，以点为原点建立平面直角坐标系，

则，

因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，

所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，

设，

则，

所以，

因为，所以，

所以当时，取得最大值，故C正确；

因为，

所以，

即，

所以，

所以，

因为，所以当时，取得最大值，故D错误.

故选：AC.

11．下列结论中正确的是（    ）

A．已知，则

B．实数，，满足，的最小值为

C．的最小值为

D．已知，，，则的最大值为2

【答案】AB

【详解】对A，余弦函数在单调递减，因为，所以，A正确；

对B，因为，所以，

当且仅当时等号成立，，

得，B正确；

对C，，

当且仅当等号成立，因为，所以等号不成立，C错误；

对D，因为，，

当且仅当时等号成立，故的最小值为2，D错误.

故选：AB.

12．如图，在正方体中，E为棱上的一个动点，F为棱上的一个动点，则直线与平面EFB所成的角可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】

以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，设，，，其中m，，

则，，，，，，，，

设平面EFB的法向量为，则，即，

取，则．

设直线与平面EFB所成的角为θ，，

当时，，当时，，

该式随着m的增大而增大，随着n的增大而减小，当，时，取得最大值，所以，

综上，的取值范围是，所以，故CD错误.

故选：AB.

三、填空题

13．已知点，方向上的单位向量为，则向量在上的投影向量为________________.

【答案】

【详解】由已知得，

故在上的投影向量为.

故答案为：

14．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）．根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布．假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为__________．

附：若随机变量X服从正态分布，则．

【答案】

【详解】质量在之外的概率为，

所以，则，

则，又，故最小.

故答案为：

15．已知是R上的偶函数，满足，且对恒成立，则实数a的取值范围是_________.

【答案】

【详解】对两边求导得：，可得为奇函数.

与，

两式相减，可得，

因为当时，显然成立,

当时，设，则，即单调递增，，

所以时，，为增函数，又为偶函数，故，

恒成立.故.

故答案为：．

16．已知正项数列满足，则数列的前n项和为___________.

【答案】

【详解】由题意可知，因为正项数列，所以，

当时，，解得或（舍），

，

当时，，

由，得，解得或（舍）,

当时，此式也满足，故正项数列的通项公式为,

令，则

设数列的前n项和为，则

.

故答案为：.

四、解答题

17．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角C的值；

(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由，

，

，，，．

（2），，，

由余弦定理有：，，

所以，，

由正弦定理，，，，

，

，因为为锐角三角形，所以且，

则，,则，．

18．已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，

所以，

解得.

由得，

因为，所以.

（Ⅱ）设，数列前n项和为.

由解得.

由（Ⅰ）可知，

所以，

故，

                       .

设，

所以，

因此，

又，所以.

19．2016年9月15中秋节(农历八月十五)到来之际，某月饼销售企业进行了一项网上调查，得到如下数据：

为了进一步了解中秋节期间月饼的消费量，对参与调查的喜欢吃月饼的网友中秋节期间消费月饼的数量进行了抽样调查，得到如下数据：

已知该月饼厂所在销售范围内有30万人，并且该厂每年的销售份额约占市场总量的35%.

（1）若忽略不喜欢月饼者的消费量，请根据上述数据估计：该月饼厂恰好生产多少吨月饼恰好能满足市场需求？

（2）若月饼消费量不低于2500克者视为“月饼超级爱好者”，若按照分层抽样的方法抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人颁发奖品，用表示抽取的“月饼超级爱好者”的人数，求的分布列与期望值.

【答案】（1）（吨）（2）详见解析

【详解】解：（1）根据所给频率分布直方图可知，第三组数据和第四组数据的频率相同，都是：

，

则人均消费月饼的数量为：（克），

喜欢吃月饼的人数所占比例为：，

根据市场占有份额，恰好满足月饼销售，该厂生产的月饼数量为：

(克)(吨).

（2）由条件可知，“月饼超级爱好者”所占比例为0.2，故按照分层抽样抽取的10人中，“月饼超级爱好者”共2人.则的可能取值为0，1，2，

且，

则的分布列为

的期望值为：.

20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心.

（1）求证：平面；

（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

【详解】（1）证明：因为，所以，

因为为中点，所以，

连接并延长，交于，连接，

因为为的重心，

所以为的中点，且，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

因为，所以，

因为为的重心，所以

设平面的法向量，，，

则，所以，

取，则，，

所以.

设平面的法向量，，

则，所以，

则，取，则，

所以.

所以

由图可知，该二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

21．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，椭圆C的上顶点为M，右顶点为N，O为坐标原点，的面积为1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与曲线相切，与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为．

因为双曲线的离心率为，所以椭圆C的离心率为，即①．

因为的面积为1，所以②．

结合①、②与，解得，，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）由（1）知，曲线为圆．

当与圆D相切的直线l斜率不存在时，直线，

由解得，则．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

由消去y并整理得，

，即，

，．

又因为直线l与圆相切，

所以，即，显然，

则，

于是得．

令，则．

而，即，因此．

综上所述，的取值范围为．

22．已知函数，既存在极大值，又存在极小值．

(1)求实数的取值范围；

(2)当时，，分别为的极大值点和极小值点，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)且

(2)，-．

【详解】（1） ，，

当时，，

所以当，，单调递增，当，，单调递减，

所以只有极大值，不合题意，

当时，若时，即时，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，极小值为，符合题意，

若时，即时，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的极大值为，极小值为，符合题意，

若时，即时，

当时，，单调递增，

无极大值，也无极小值，不合题意，

综上所述，的取值范围为且，

（2） ， ，

所以 ，

由，得，由，得，

因为,当和时， ，此时在单调递增，当时，，此时在单调递减，

所以极大值点为，极小值点为 ，

此时， ，

由题意可得 ，对任意恒成立，

由此时，，

所以，

所以 ，

即，

设 ，，

，

令，则，

①当时，，

所以，在上单调递增，

所以 ，

即符合题意，

②当时，△，

设的两个根为，且，

则，，

所以，

则当时，，在，上单调递减，

所以当时， ，

即不合题意，

综上所述，的取值范围是，-．