数学（新高考Ⅰ卷B卷）2023年高考第二次模拟考试卷（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、单选题

1．已知集合则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为单调递增，所以，

所以,

又由解得，所以，

所以，

故选:C.

2．在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【详解】设（），由，得，

所以，即点到两点和的距离和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，故选C.

3．已知向量，，则“”是“与共线”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】向量，，则，解得或，

所以“”是“与共线”的充分不必要条件.

故选：A

4．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（    ）

A．11小时 B．14小时 C．17小时 D．20小时

【答案】C

【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.

设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，

令，即，解得，

所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.

故选：C.

5．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（    ）

A．2007 B．2008 C．2009 D．2010

【答案】B

【详解】数列为等差数列,若

所以与异号

首项,则公差

所以

则,所以

由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得

所以的最大值为,即

故选:B

6．函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】，是奇函数，故A错误；

，故BD错误.

故选：C.

7．如图，二次函数的图象为曲线，过上一点P（位于x轴下方）作的切线与的正半轴，的负半轴分别交于点，当轴及轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由于二次函数曲线和坐标轴围成的面积一定，阴影面积取到最小值，等效于求的最小值，设，由，，故切线的斜率为，所以切线方程为，令，解得，令，解得，由题意切点在轴下方，且，故，

所以，记，，令得，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，取得最小值，此时到轴的距离为.

故选：A

8．已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，则，

则由得，化简得，

令函数，即得，则得函数在上为单调减函数，

因为是定义在上的奇函数，

所以

因为,，即得，

所以，即.

故选：D

二、多选题

9．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ）

A．所有不同分派方案共种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种

D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

【答案】BCD

【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；

选项B：若每家企业至少分派1名医生，

先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，

则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,

则不同分派方案共（种）.判断正确.

故选：BCD

10．如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．的最小正周期为4

C．一个单调增区间为

D．图象的一个对称中心为

【答案】BCD

【详解】由，设 ，则，，

选项A中，点A处，，则 ，即，，解得 ，A错误；

选项B中，依题意，得 ，故，

最小正周期，B正确；

选项C中，由，得，结合最高点 ，知，即，当 时，，故 是的一个单调增区间，C正确；

选项D中，时，故 是图象的一个对称中心，D正确.

故选：BCD.

11．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，垂足为点O，，E为的中点，则下列结论错误的是（    ）

A． B．平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】ABD

【详解】解：因为，所以，

在上取点，使得，连接，

则，所以，

又，所以是异面直线，A错误；

因为，所以，

又，所以，

同理，

过点O作交于点G，则，

取的中点F，连接，

则，

所以，且，

所以四边形为梯形，

所以相交，而平面，

所以与平面相交，B错误；

又，所以，所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，C正确；

由，，得，

因为，所以，

又平面，所以平面，

又平面，且直线与平面交于点，

所以平面与平面不垂直，D错误.

故选：ABD．

12．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（   ）

A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称

B．g(2023)＝2

C．

D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点

【答案】ACD

【详解】因为f(1－x)是偶函数，

所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；

因为g(x＋2)为偶函数，所以有，

因此函数关于直线对称，

由，

因此函数关于点对称，由

，所以函数的周期为4，

在中，令，得，

在中，令，得，

所以，故选项B不正确；

由，令，得，因此选项C正确；

因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，

所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，

所以函数在上单调递增，且，

所以当时，函数有两个零点，

当时，由函数的周期为4，

可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，

故选：ACD

三、填空题

13．的展开式中的项的系数是________.

【答案】1560

【详解】由题意，，

因为的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的项的系数是.

故答案为：1560.

14．计算：_______.

【答案】

【详解】原式

15．函数的最大值为M，最小值为N，则_____．

【答案】6

【详解】由题意得，

，

∴函数关于点对称，

∴函数取得最大值与最小值的点关于对称，

∴.

故答案为：6．

16．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为___________.

【答案】

【详解】连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以.

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列和等比数列满足，.

(1)求数列，通项公式

(2)设数列中满足，求和

【答案】(1)，

(2)

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则，解得，

，

，解得，

，

即，；

（2）由（1）得，

.

18．在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．

(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；

(2)若，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）在中，由正弦定理得：①，

由已知得：②，

由①②联立得：，

因为，所以．

故AB，AD，AC成等比数列；

（2）在△ABC中，记A，B，C的对边分别为a，b，c，

故，由（1）知：③，

在△ABD中，设，由已知得，

由余弦定理得：，

即④，

在△ACD中，设，由已知得，

由余弦定理得：，

⑤，

由⑤＋④×2整理得：⑥，

由③⑥联立整理得：，

解得：或，

当时，由可求得，所以故舍去，

当时，由可求得，满足，

在△ABC中，由余弦定理得

综上：

19．希望种子公司销售一种新品种蔬菜种子，其说明书标明：此品种蔬菜果实的平均长度为11.5cm．某种植大户购买了这种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取了一个容量为20的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）

(1)估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差；

(2)判断说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法是否成立．

（记，其中为蔬菜果实长度的平均数，s为蔬菜果实长度的标准差，n是选取蔬菜果实的个数．当时，．若，则说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立）

参考数据：，，，．

【答案】(1)平均数和方差分别为12.5，0.43

(2)不成立，理由见解析

【详解】（1）由题意知，

，

所以，

．

所以估计该种植大户收获的蔬菜果实长度的平均数和方差分别为12.5，0.43．

（2）结合已知，由（1）得，，

所以说明书标明的“蔬菜果实的平均长度为11.5cm”的说法不成立．

20．如图，已知圆锥，AB是底面圆О的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，.设二面角与二面角的大小分别为与.

(1)求的值；

(2)若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）连结．

因为点为圆锥的顶点，所以平面．

分别取，的中点，，

连接，，，，则在圆中，．

由平面，得．

又，故平面，

所以．

所以．

同理，．

于是．

（2）因为，即所以即

．

在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系．

则，，．

又因为平面，所以轴，从而．

则，，．

设平面的法向量为，

则，即，

不妨取，则，，此时．

设平面的法向量为，

则，即

不妨取，则，，此时．

所以．

又二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

21．已知抛物线E：的焦点关于其准线的对称点为，椭圆C：的左，右焦点分别是，，且与E有一个共同的焦点，线段的中点是C的左顶点．过点的直线l交C于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．

(1)求C的方程；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）抛物线E的焦点关于其准线的对称点为，

所以，即．

因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以，，

所以线段的中点为，所以，．

故C的方程为．

（2）由题意知，直线l的斜率存在，设为k．

当时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，

，，，则．

当时，直线l的方程为，设，，线段AB的中点为，．

联立，消去y，得，

则，，

所以，

则．

由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为，

令，得，

则．

又，

所以．

综上，．

22．已知函数，.

(1)若直线是的切线，函数总存在，使得，求的取值范围；

(2)设，若恰有三个不等实根，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）由直线是的切线，可设切点为，则，解得，于是.

若，则，不符题意；

若，则，不符题意；

有一个取时均不成立，故只有才可以让成立.

于是，下设，则，故在上单调递增，故，于是，也即，

所以的取值范围为；

（2），在上单调递增，

当时，，，

下令，则，故为增函数，

于是，即，.

根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，即，此时不可能有三个根；

当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，由于，此时不可能有三个根；

当时，，在上递增，注意到，，，递减，当，，递增，故为极小值点，而，故不可能有三个根；

当时，，根据零点存在定理，，使得，当，，递减，当，，递增，故为极小值点，，

而，故. 由.

由有三个根，则，

即，由，结合对勾函数性质推出，故，即