数学（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）-2023年高考第二次模拟考试卷B（参考答案）

2023年高考数学第二次模拟考试卷B

（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）

高三数学·参考答案

13．         14．             15．            16．     

17．解:（1）当时，，所以，（1分）

整理得：，即（3分）

当时，（4分）

所以数列是以为首项，为公差的等差数列

所以，即（5分）

（2）由知，所以（6分）

所以，

所以，（7分）

由得，（9分）

所以（10分）

18．解：（1）由正弦定理得（1分，写出正弦定理公式可给1分）

即

又（2分）

所以

即

又，，（4分，直接消去sinB扣1分）

即，即（5分）

又，，即（6分，不写A的范围扣1分）

（2）由题意得：（7分）

由正弦定理得：（9分）

又 为锐角三角形，∴，（10分）

故，∴，∴，（11分）

从而.

所以面积的取值范围是（12分）

19.解：（1）在平面四边形中，

∵

∴四边形是等腰梯形

过点作于,因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以,（1分）

（2分）

所以，所以（3分）

又

BC，平面，

所以平面（4分，定理叙述不完整扣1分）

又平面，

所以，平面平面（5分，定理叙述不完整扣1分）

（2）以为原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，

则

因为平面，可设，则，

（8分，建系、求点、各1分）

设平面的法向量为，

则，取，则（10分）

设直线与平面所成的角为，

则（11分）

即直线与平面所成的角的正弦值为（12分）

20．解：（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；

把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．

记总样本数据的平均数为，方差为．

由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，

可得总样本平均数为（2分）

根据方差的定义，总样本方差为

由可得（3分）

同理，（4分）

因此，

所以（5分）

所以总样本的均值为17，方差为23（6分）

并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（7分）

（2）由（1）知，所以，又因为，

所以（9分）

（10分）

因为（不写不扣分）

所以

所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为（12分）

21．解：（1）∵△为等边三角形，且，

∴（1分）

又∵，∴（2分）

设椭圆的方程为，

将点代入椭圆方程得，解得（3分）

所以椭圆E的方程为（4分，通过联立解得亦给4分）

（2）由已知得，设，,

则直线的斜率为，直线的方程为

即点坐标为（5分）

直线的斜率为，直线的方程为

即点坐标为（6分）

∵,∴,∴，

又∵，，

∴，即，

整理得（7分）

①若直线的斜率存在时,设直线的方程为，

将直线方程与椭圆方程联立得，

其中，

，（8分）

即，，，

所以或（9分）

当时，直线的方程为，此时直线恒过点（10分）

当时，直线的方程为，此时直线恒过点（11分）

②若直线的斜率不存在时，

由得，

即，解得或，

此时直线的方程为或，

所以此时直线恒过点或，

综上所述，直线恒过点或.（12分）

22．解：（1）当时，，所以（1分）

因为，所以（2分）

则在上单调递增（3分）

所以（4分）

（2）证明：因为，所以，

当时，故在上单调递减，

从而，即在没有零点（6分）

当，令，即，所以，令，

下面先证有两个根、，

，令，

则，故在上单调递增，

又，，故存在，使得，从而在上单调递减，在上单调递增，

又可知当时，有两个不同实数根、，

且，即有两个不同的零点、（8分）

（i）因为，故等价于，等价于，即，

即，而，故成立（9分）

（ii）先分别证明及，

一方面由，故等价于，等价于，即，

即，而，故成立（10分）

另一方面，由

所以等价于，等价于，即

即，而，

下面证明，

令，则，所以在上单调递增，

故只需，由等价于，

令，，则，

即在上单调递增，所以

即当时，有成立，故且，所以成立，

所以成立（12分）

综上可得，得证（12分）