数学（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）-2023年高考第二次模拟考试卷A（全解全析）

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2023年高考数学第二次模拟考试卷A

（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求集合，再求.

【详解】，所以，，所以.故选：B

2．若为虚数单位，已知复数，则表示复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据共轭复数概念，结合除法运算得，再根据复数的几何意义求解即可.

【详解】解：由题知，，

所以，在复平面上对应的点为，位于第四象限.

故选：D

3．在中，，．若点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件利用平面向量基本定理可求得结果

【详解】因为，，．

所以，

所以，

故选：C

4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到图象恰好与函数的图象重合，则（    ）

A． B．

C．直线是曲线的对称轴 D．点是曲线的对称中心

【答案】D

【分析】根据三角函数图像变化结合诱导公式得出，即可得出与，判断选项AB；

根据三角函数解析式求出其对称轴与对称中心得出，即可判断选项CD.

【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

则解析式变为，

则，即，故A错误；

而，故B错误；

，令，即为的对称轴，

令，解得，即直线不是曲线的对称轴，

故C错误；

令，即为的对称中心，

令，解得，故点是曲线的对称中心，

故D正确；

故选：D.

5．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物馆．有甲、乙、丙三人想根据该图编排一个舞蹈，首先由他们来选取该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶、摇中的五个动作，每人至少模仿一个动作，且爬、扶、捡、顶、摇都要被依序模仿到，则选择的方案共有（    ）

A．60种 B．90种 C．100种 D．150种

【答案】D

【分析】根据题意，分2步进行：第一步：将5个动作分为3组，第二步：将分好的三组交给甲、乙、丙三人进行模仿，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2步进行：

第一步：将5个动作分为3组，

若其中一组有3个动作，其他两组各1个动作，有种分法；

若其中一组有1个动作，其他两组各有2个动作，有种分法，

所以，将5个动作分成3组共有种分法；

第二步：将分好的三组交给甲、乙、丙三人进行模仿，有种情况，

则有种选择的方案.

故选：D.

6．设椭圆的左、右焦点为、，过作x轴的垂线与C交于A、B两点，与y轴交于点D，若，则椭圆C的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图中的几何特点和椭圆定义即可求解.

【详解】

根据题意，平行于轴，

又（坐标原点）是的中点，所以是三角形的中位线，

所以是的中点，所以，所以，

又，所以为等边三角形，所以，

所以,当时，所以   ，

所以，所以，所以，

所以，所以，故选：A.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解得，又利用对数运算可判断，结合基本不等式可判断与的大小，即可得的大小关系.

【详解】解：，

由于，

，取等条件应为，即，而，故，

，取等条件为，即，而，故，所以.

故选：A.

8．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是（    ）

A．直线与所成角的范围是

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】D

【分析】A在该空间几何体中建立空间直角坐标系,用向量法求出异面直线所成的角即可；B用面面垂直的判定证明平面平面；C用换底法得出体积为定值；D选项则直接观测即可判断.

【详解】

对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系， D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，

设,，，

，

令，则，上式化为，

根据二次函数的性质知：，

直线D1P与AC所成的角为 ，故A正确;

对于B，正方体中，且面，

∴平面，平面，

∴平面平面，故B正确;

对于C，，P到平面的距离BC=1，

∴三棱锥的体积:为定值，故C正确;

对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长，

若的延长线交于，如下图截面为四边形，

若的延长线交于，设交点为，如下图截面为，

设，则，，故，

故不为直角三角形，故D错误.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．如图所示是根据A，B两个城市2010~2016年GDP数据（单位：百亿元）作出的统计图（称为雷达图），根据图中信息，下列关于A，B两市GDP数据统计结论正确的是（    ）

A．在这七年中，A市GDP每年均高于B市

B．与2010年相比，2016年A市GDP增量高于B市

C．A市这七年GDP的平均值高于B市

D．在这七年中，A，B两市GDP在2013年差距最小

【答案】ABC

【分析】观察统计图逐一判断选项即可得出答案.

【详解】解：由图可知：在这七年中，A市GDP每年均高于B市，所以A市这七年GDP的平均值高于B市，则AC正确；2010年时，A市GDP增量小于5,2016年时，A市GDP增量大于5，故B正确；2013年，两市GDP差距为5，而2010年、2011年两市差距明显小于5，故D不正确.

故选：ABC

10．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．的单调递减区间为

C．的极大值为

D．方程有两个不同的解

【答案】ABC

【分析】对于A，利用导数的几何意义求解即可，对于B，对函数求导后，由导数小于零可求得结果，对于C，求导后求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值，对于D，画出的图象，利用图象求解.

【详解】因为，，

所以，

对于A，，则在处的切线方程为，所以A正确；

对于B，令，解得，所以的单调递减区间为，所以B正确；

对于C，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，所以C正确；

对于D，由D的解析知在上单调递增，在上单调递减，且，

当时，，当时，，

所以画出的图象，如图，

方程解的个数，即的图象与的交点个数，

由图知只有一个解，所以D错误．

故选：ABC．

11．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（    ）

A． B．

C．A，，三点共线 D．

【答案】AC

【分析】设直线方程联立抛物线方程消参，利用定义表示出，然后由韦达定理和解不等式可判断A；用坐标表示出，利用韦达定理表示后，由m的范围可判断B；设直线NF，借助韦达定理表示出P点坐标，同理可得Q点坐标，然后由斜率是否相等可判断C；根据M和P的横坐标关系，结合AN斜率可判断D.

【详解】因为抛物线过点，

所以，所以抛物线方程为

设

设过点的直线方程为，代入整理得：

则，，即或

又

由定义可知，，

所以，故A正确；

所以

又，故B错误；

记

设直线NF方程为，代入整理得：

则，，同理可得

因为，

，所以A，，三点共线，C正确；

因为，，所以

由上可知，直线AM的斜率，所以，所以，D错误.

故选：AC

12．已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（    ）

A．的周期 B．的最大值为4

C． D．为偶函数

【答案】ABD

【分析】由函数的图象关于直线对称，得，又，所以，，从而可得，进而根据周期性、对称性、时的解析式即可求解.

【详解】解：函数的图象关于直线对称，

函数的图象关于直线对称，

对有，函数的图象关于中心对称，

，即，

又，即，

，

，即，，

的周期，选项A正确；为偶函数，选项D正确；

当时，，，

当时，，，即，

当时，，

又函数的图象关于直线对称，在一个周期上，，

在上的最大值为4，选项B正确；

，选项C错误.

故选：ABD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．的展开式中的系数为________（用数字作答）．

【答案】

【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

因为，

所以，的展开式通项为，

由，可得，

而中不含项，故的展开式中的系数为.

故答案为：.

14．已知数列满足，则__________.

【答案】

【分析】由，可得当，时，，

及.据此可写出数列前5项，继而可得答案.

【详解】因.

则当，时，，与相减得：.又由，

则.故，则.

故答案为：.

15．已知圆为圆上两个动点，且为弦AB的中点，，，当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【分析】由题知的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，且是以为圆心的直径的两个端点，若始终有为锐角，只需要两圆相离即可，故得到圆心距和半径和的不等关系，求解即可.

【详解】

如图，连接，则 ，

所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，

设的中点为，则 ，且 ，

因为当A，B在圆上运动时，始终有为锐角，

所以以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相离，

故 ，解得 或 ，即

故答案为：

16．在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为___________.

【答案】##

【分析】根据给定条件，探讨三棱锥外接球球心O的位置，再借助锥体体积计算作答.

【详解】正中，为的中点，则，而平面，平面，即，

而，平面，则平面，平面，有，又，

因此，与的斜边中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，

从而，点O是三棱锥外接球球心，设球的半径为，有，

的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，

则有，即到平面的距离为，

因此到平面距离的最大值为，

又，即有，解得，，，

所以球的体积为.

故答案为：

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

问题：已知数列的前项和为，，___________.

(1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)记数列，数列的前项和为.证明：.

【答案】(1)证明见解析，     (2)证明见解析

【分析】（1）利用和的关系求出通项公式，并用等比数列的定义证明数列是等比数列即可.

（2）利用裂项法求出数列的前项和为，即可得证.

【详解】（1）选①

易知 ，两式相减得，

即，又，则，

故数列是首项，公比的等比数列，则

选②

当时，，

当时，，两式相减得，

令得，综上所知，

且，

故数列是首项，公比的等比数列，

选③

当时，，两式相减得，即

即，易求，又，

故，故数列是首项，公比的等比数列，

则

（2）由（1）知，则，

则，

所以，所以.

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求证：；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)证明见解析     (2)

【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及三角恒等变换等化简已知等式得到，再根据三角形内角的范围得到，再次利用正弦定理即可得证；

（2）利用已知及（1）中的结论得到的值，利用同角的三角函数关系得到，结合题目条件求出a的值，再由三角形的面积公式即可求解；

【详解】（1）由及正弦定理可得．

因为，

所以，即．

因为A，B为三角形的内角，所以或，

得（舍去）或．故．

由正弦定理可得，故．

（2）由（1）得：，又，

所以，，则．

因为，，所以，得，则，

所以△ABC的面积为．

19．9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.

(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；

(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.

（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.

【答案】(1)分布列见解析，数学期望

(2)该地区第11年的第三产业生产总值约为

【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；

（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.

【详解】（1）依题知，9个生产总值的平均数为：

，

由此可知，不低于平均值的有3个，

所以服从超几何分布，

，

所以，

，

，

分布列为：

所以；

（2）由后面四个数据得：

，，

，

，

所以，，

所以线性回归方程为，

当时，，所以该地区第11年的第三产业生产总值约为

20．如图，在多面体中，已知，，均为等边三角形，平面平面ABC，平面平面ABC，H为AB的中点．

(1)判断DE与平面ABC的位置关系，并加以证明；

(2)求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)平面，证明见解析；     (2)

【分析】（1）分别取的中点，连接，且，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；

（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量及平面的法向量，代入夹角公式，即可得到答案；

【详解】（1）平面，理由如下：

分别取的中点，连接，

因为，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面，

同理平面，所以，

又因为是全等的正三角形，所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，令.

则，

所以，

设平面的法向量为，

所以，所以

则，取，，则，

所以，

设直线与平面所成的角为，则．

21．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．

(1)求双曲线的方程；

(2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)     (2)存在，定值为1，

【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得的只，再根据焦距，求得即可求解；

(2)假设存在满足条件的点，先在直线垂直于轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于轴时，求得此定值的情况，从而得出结论.

【详解】（1）原点到直线的距离，

，，双曲线的方程为；

（2）假设存在点满足条件，

①当直线方程为时，则，

；

②当直线方程不是时，可设直线，代入

整理得，

由得，

设方程的两个根为，，满足，

，

当且仅当时，为定值1，

解得，

不满足对任意，，不合题意，舍去．

而且满足；

综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点，

使为定值1．

22．已知函数．

(1)若，当时，试比较与的大小；

(2)若的两个不同零点分别为、，求证：．

【答案】(1)     (2)证明见解析

【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，由可求得的取值范围，即可得出与的大小；

（2）先证明对数平均不等式，其中，由已知可得出，变形可得出，结合对数平均不等式可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为，，

当时，，且，

又当时，，即函数在上单调递减，所以．

（2）证明：先证明，其中，

即证，

令，，其中，

则，

所以，函数在上为增函数，当时，，

所以，当时，，

由题知，取对数有，即，

又，所以．