2023届宁夏回族自治区银川市高三学科教学质量检测（一模）数学（理）试题

银川市2023年普通高中学科教学质量检测

理科数学

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．在复平面内，已知复数对应的向量为，现将向量绕点O逆时针旋转90°，并将其长度变为原来的2倍得到向量，设对应的复数为，则（    ）

A．     B．    C．2     D．

3．的一个充要条件是（    ）

A．          B．

C．        D．

4．已知函数，则（    ）

A．是偶函数且是增函数      B．是偶函数且是减函数

C．是奇函数且是增函数      D．是奇函数且是减函数

5．在正方体中，E为中点，O是AC与BD的交点，以下命题中正确的是（    ）

A．平面AEC        B．平面AEC

C．平面AEC        D．直线与直线AE所成的角是60°

6．在△ABC中，，，D是AC边的中点，点E满足，则与的夹角为（    ）

A．60°     B．75°     C．90°     D．120°

7．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，现将角的终边绕原点O逆时针方向旋转与单位圆交点的纵坐标为，则（    ）

A．    B．     C．    D．

8．已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为（    ）

A．     B．     C．     D．

9．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于直线对称

C．在区间上单调递增

D．在区间上的最小值为

11．已知抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C于点A，取OA的中点B，过点B作斜率为的直线l交x轴于点D，则（    ）

A．1     B．2     C．4     D．与k值有关

12．已知函数的定义域为R，且，，在单调递减，则不等式在区间所有整数解的和为（    ）

A．10     B．12     C．14     D．16

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．点是双曲线的右焦点，圆与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为________．

14．在△ABC中，，，，D为BC边上一点，且，则△ABD的面积等于________．

15．某校在“校园艺术周”活动中，安排了同时进行的演讲、唱歌、跳舞三项比赛，现准备从包括甲在内的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛，则甲不能参加演讲比赛的概率为________．

16．关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年．“三农”工作重心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程．国务院印发《“十四五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到2025年全国水产品年产量达到6900万吨．2018年至2021年全国水产品年产量y（单位：千万吨）的数据如下表：

（1）求y关于x的线性回归方程，并预测2025年水产品年产量能否实现目标；

（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了2019年全国32个地区（含中农发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过90万吨的地区有14个，有渔业科技推广人员高配比（配比渔业科技推广人员总数渔业从业人员总数）的地区有16个，其中年产量超过90万吨且高配比的地区有4个，能否有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，

参考数据  

18．（本小题满分12分）

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式及前n项和；

（2）若________，求数列的前n项和．

在①，②，③这三个条件中任是一个补充在第（2）问中，并求解．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，已知，．

（1）求证：；

（2）若平面平面，，且，，二面角大小为45°，点E是线段AP上的动点，求直线EB与平面PAD所成角的正弦值的最小值，并说明此时点E的位置．

20．（本小题满分12分）

．

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求a的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过，直线与椭园E交于A、B．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线TA、TB的斜率分别为，，证明：；

（3）直线是过点T的椭圆E的切线，且与直线l交于点P，定义为椭圆E的弦切角，为弦TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角的关系，并证明你的论．

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C是以为圆心，且过点的圆．

（1）求曲线C的极坐标方程与直线l的普通方程；

（2）直线l过点且与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若且满足，记c是的最大值，证明：．

银川市2023年普通高中学科教学质量检测

理科数学参考答案

选择题答案

填空题答案

13．   14．   15．   16．

17．（1）解：由题意知：，

所以，

故y关于x的线性回归方程为．

当时，          6分

所以根据线性回归模型预测2025年水产品年产量可以实现目标．

（2）列联表

故有95%的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系．     12分

18．解：因为

当时

相减得

得                3分

当时，满足上式             4分

综上：

                 6分

（2）选①

解：由（1）可知：  

∴

∵

∴        12分

选②

解：由（1）可知：

∴

∵

          12分

选③

解：由（1）可知：

∴

∵

则

于是得

两式相减得，

所以．               12分

19．（1）证明：取AC的中点O，连接OB，OP

∴    ①

同理可得，  ②

∵平面，

∴平面POB，

∵平面POB

∴                  5分

（2）以C为原点，以CD为x轴，以CB为y轴，建立如图所示的坐标系

平面平面ABCD，交线为CD，又，，

所以，所以面PCD，所以

二面角的平面角，，，

所以P（2，0，2），A（2，2，0），B（0，2，0），D（1，0，0）

设，，，设

解得，所以

设平面PAD的一个法向量为

，

 令，∴，

直线EB与平面PAD所成角的正弦值，

，此时，E与P重合．           12分

20．解析：

当时，

所以

解得

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减

所以在处取得极大值，无极小值．         5分

有两个极值点，

所以有两个不等正根

所以有两个不等正根．

  解得

所以在上单调递减，在上单调递增

当，即，解得        10分

当时，令，易知，当，

当

又因为，

所以

令，

当，恒成立

所以存在，当，

当，有根，

所以存在时，当，

由零点存在定理，有两个不等正根．

综上                 12分

21．解析：

（1）由题意知

所以

又椭圆经过T（2，1），所以

解得，，所以椭圆方程为         2分

（2）联立直线与椭圆方程得

 ∴，∴

又因为有两个交点，所以，解得

又，

 得证   8分

（3）椭圆E的弦切角与弦TB对应的椭圆周角相等

设切线方程为

 ∴

∴

∴

设切线与x轴交点为Q，TA、TB分别与x交于C，D

，所以，又，

，

所以  证毕．            12分

22．（1）解：∵直线l的参数方程（t为参数）

∴直线l的普通方程为

由，得，C（0，2），，半径

∴曲线C的普通方程为，即

故曲线C的极坐标方程为           5分

（2）由（1）可知：曲线C的普通方程为，

将直线l的参数方程（t为参数） 代入曲线C的的普通方程为

整理得

设A，B两点对应的参数分别为，，则有，

由参数t的几何意义可得：

    10分

23．（1）解：由题意知：

作出函数的图象，它与直线的交点为和．

由图象可知：不等式的解集．        5分

（2）由（1）可知：

当时，取得最大值3，即

∵在上单调递增，且

∴，即

∵

（当且仅当时取等号）

∴即证之           10分