重庆市第八中学校2022-2023学年高三下学期高考适应性月考卷（六）数学试题

重庆市第八中学2023届高考适应性月考卷（六）

数学

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则下列关系中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．复数，则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…．小利是个数学迷，她在设置手机的数字密码时，打算将斐波那契数列的前5个数字1，1，2，3，5进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，那么小利可以设置的不同密码有（    ）

A．24个 B．36个 C．72个 D．60个

4．如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

5．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

6．在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

7．2022年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66个．已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态，且N是一个20位的数，则这样的M有（    ）个．（参考数据：）

A．2 B．3 C．4 D．5

8．已知函数，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为

C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18

10．已知函数，且，的最小正周期为，，则（    ）

A．  B．

C．为奇函数 D．关于对称

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

12．记表示与实数x最接近的整数，数列的通项公式为，其前n项和为．设，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．圆被直线截得的最短弦长为__________．

14．将数列与的公共项由小到大排列得到数列，则数列的前n项的和为__________．

15．设四棱锥的顶点P和底面ABCD的四个顶点都在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为__________．

16．已知抛物线的焦点为F，点P，Q在抛物线上，且满足，设弦PQ的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________．

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知等差数列的前n项和为，且，．

（1）求，并求的最大值；

（2）设数列的前n项和为，求．

18．（本小题满分12分）

如图所示，已知DOE是半径为，圆心角为的扇形，P为弧上—动点，四边形PQMN是矩形，．

（1）求矩形PQMN的面积的最大值及取得最大值时的x值；

（2）在中，，，其面积，求的周长．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱中，底面ABC是边长为2的正三角形，，侧棱AD与底面ABC所成角为60°．

（1）求证：四边形BCFE为矩形；

（2）求平面DBC与平面BCFE夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．

（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；

（2）若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值；

（3）在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・

21．（本小题满分12分）

已知双曲线的实轴长为，右焦点F到双曲线C的渐近线距离为1．

（1）求双曲线C的方程；

（2）点P在第一象限，P，Q在直线上，点P，A，B均在双曲线C上，且轴，M在直线AQ上，P，M，B三点共线．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立：①Q是AM的中点；②直线AB过定点．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）证明：．