2023届四川省南充市白塔中学高三上学期入学考试数学（文）试卷

白塔中学高2020级高三入学考试数学试题（文科）

时间：120分钟；

一．选择题；本小题共12题，每小题5分．

1. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为  （ ）

A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙

C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙

6. 一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面1时，水面宽4，若水面下降3，则水面宽为（    ）

A 6 B. 7 C. 8 D. 9

7. 曲线在横坐标为1的点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 函数在区间[－，]上的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

9. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题；本题共四小题，每小题5分，共20分．

13. 抛物线的准线方程是____________________．

14. 在极坐标系中，点到直线的距离为______．

15. 函数的单调递减区间是_______.

16. 丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数是上的“严格凸函数”，称区间为函数的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 ____________.

①函数在上为“严格凸函数”；

②函数的“严格凸区间”为；

③函数在为“严格凸函数”，则的取值范围为.

三、解答题．共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求普通方程和的极坐标方程；

（2）求曲线上的点到曲线距离的最小值．

18. 随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能.某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了150名学生进行问卷调查.经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占.

（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？

（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人使用手机的概率？

参考公式：，其中.

参考数据：

19. 函数f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)(a∈R)，已知x＝e是函数f(x)的一个极小值点．

（1）求实数a的值；

（2）求函数f(x)在区间[1，3]上的最值．(其中e为自然对数的底数)

20. 如图，已知抛物线:，其上一点到其焦点距离为5，过焦点的直线l与抛物线C交于左、右两点．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若，求直线l的方程．

21. 已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.

（1）求椭圆的方程和短轴长；

（2）已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.

22. 已知函数（e是自然对数的底数，）.

（1）设的导函数为，试讨论的单调性；

（2）当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.

1-12 CCCBA  CDBBC  CB

13. 【答案】

14. 【答案】

15. 【答案】

16. 【答案】①②.

17（1）由,所以，代入，整理化简得：，

因为中，所以，

即的普通方程为：.

由得：，

所以的普通方程为：，

把代入，整理化简得：，

所以的极坐标方程为：.

(2)设上任意一点坐标，设P到的距离d：

其中时，有， d取得最小值

18解：（1）列联表如下：

所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．

（2）从学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出6人，

其中在校期间使用手机的学生有人，记为Y1，Y2

在校期间不使用手机的学生有人．记为N1，N2，N3，N4

从这6人中选出2人的所有可能情况：

共15种，其中至少有一人在校使用手机情况有9种，(Y1N1，Y1N2，Y1N3，Y1N4，Y2N1，Y2N2，Y2N3，Y2N4，Y1Y2)

故至少有一人在校使用手机的概率

19. 【小问1解析】

∵f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)，∴＝lnx＋1﹣a，∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点，

∴＝2﹣a＝0，解得：a＝2；

当a＝2时，＝lnx－1，

当0＜x＜e时，＜0，f(x)单调递减，

当x＞e时，＞0，f(x)单调递增，∴x＝e时f(x)的极小值点.

∴a＝2.

【小问2解析】

由(1)得：f(x)＝xlnx﹣2x＋2，

且f(x)在[1，e)递减，在(e，3]递增，

而f(1)＝0，f(3)＝3ln3﹣4＜0，故＝f(1)＝0，＝f(e)＝2﹣e．

20. （1）由题意，，解得或，

由题意，所以，．所以抛物线标准方程为；

（2）设

解方程组，消去y，得，

显然，设，

则①，②

又，所以即③

由①②③消去，得，由题意，

故直线的方程为．

21. 【小问1解析】

由题意，则，故，则，

所以，短轴长.

【小问2解析】

要证平分，即，如下图示，

所以，只需证即可，，

由题意，设为，联立椭圆并整理得：，

所以，且，即，

而，

又，

所以，故平分，得证.

22. 【小问1解析】

∵，∴

令，则.

①若，则，所以单调递增；

②若，则当时，，所以所以单调递减；当时，，所以单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时在单调递减，在单调递增.

【小问2解析】

由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增；

∵，且

故存在两个零点且.

的符号及的单调性如下表所示：

由于是的一个零点，故，所以

于是，

∵，∴

所以.