2022-2023学年广东省梅州市五华县华东中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市五华县华东中学九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 正五边形 C. 等边三角形 D. 矩形

2.  掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法正确的是(    )

A. 可能有次正面朝上 B. 必有次正面朝上
C. 掷次必有次正面朝上 D. 不可能次正面朝上

3.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币反面朝上的概率为”表示每抛次就有次反面朝上
C. “抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是”这一事件发生的频率稳定在左右
D. “彩票中奖的概率为”表示买张彩票肯定会中奖

5.  如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点当点在线段上移动时，点之间的距离最短为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，抛物线的顶点为下列结论：
；
；
若关于的方程有两个不相等的实数根，则；
若，且，则．
其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

7.  下列命题正确的是(    )

A. 每个内角都相等的多边形是正多边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D. 三角形的中位线将三角形的面积分成：两部分

8.  在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则弧的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，中，，，点是斜边上一点．过点作，垂足为，交边或边于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  想说明命题“任何数的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是______．

12.  已知抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，则该抛物线与轴的另一个交点坐标是______．

13.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则        ．

14.  如图，抛物线过点，，与轴相交于点若点为线段上的动点，连结，过点作垂直于直线，垂足为，当点从点运动到点时，点运动路径的长为        ．

15.  已知抛物线与轴的交点坐标分别是和，那么关于的一元二次方程的根是______ ．

16.  若方程的两个根分别为、，则的值为______ ．

17.  如图，中，，，为边上一动点不与、重合，与切于点，点关于的对称点在的一边上，则        ．

三、解答题（本大题共8小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
中心对称图形和旋转对称图形的区别是什么呢？

19.  本小题分
已知，是关于的方程的两个根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20.  本小题分
已知抛物线的最高点为，且经过点，求的解析式．

21.  本小题分
如图，一块矩形草地的长为，宽为，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为的小路，这时草坪的面积为求与的函数关系式，并求出的取值范围．

22.  本小题分
计算：如图，半径为的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，求的值．

23.  本小题分
已知二次函数为常数．
Ⅰ当，时，求二次函数的最小值；
Ⅱ当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
Ⅲ当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求此时二次函数的解析式．

24.  本小题分
如图，的半径，为上一点，，，垂足分别为、，，求直径的长．

25.  本小题分
某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为元千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元千克，市场调查发现，该产品每天的销售量千克与销售价元千克之间的函数关系如图所示：
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
求每天的销售利润元与销售价元千克之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
该经销商想要每天获得元的销售利润，销售价应定为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：可能有次正面朝上，是随机事件，故A正确；
B.不一定有次正面朝上，故B错误；
C.掷次不一定有次正面朝上，故C错误；
D.可能次正面朝上，故D错误．
故选A．
根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】A、是二元二次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是无理方程，故D错误；
故选：．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
 

4.【答案】 

【解析】解：、“明天降雨的概率是”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；
B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B不符合题意；
C、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为”这一事件发生的概率稳定在附近，故C符合题意；
D、“彩票中奖的概率为”表示买张彩票有可能中奖．故D不符合题意；
故选：．
根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，连接，连接，

，，
点在线段上，点在线段上，
四边形，四边形是菱形，
点是中点，点是中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，
的最小值为垂直时，
，
的最小值为，
的最小值为．
故选：．
连接，连接，连接，证明，求出的最小值，可得结论．
本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以不正确；
顶点，
抛物线的对称轴为直线，
，所以不正确；
抛物线的顶点的坐标为，
，
又，
，即，，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，即，
得，
，
，所以正确；
，
则，
当与时，值相同，
，关于对称轴对称，
则，即，所以正确．
故选：．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，决定抛物线的开口方向和大小；和共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于以及判别式判断根的情况．
由抛物线开口向上得，由抛物线与轴的交点在轴上方得，则可对进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可对进行判断；由顶点的坐标为得到，然后把代入得到，再由判别式，则可对进行判断；由得出，关于对称轴对称，则可对进行判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；
C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；
D、三角形的中位线将三角形的面积分成：两部分，故错误，是假命题．

是的中位线，
，，
∽，相似比为，
：，
：：
故选：．
利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即可选出正确答案．
本题考查正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握这些定理、定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：，选项中，抛物线开口向上，与轴交于正半轴，
，，
，
双曲线在一、三象限．
不合题意，合题意．
选项中，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
，，
，
双曲线在第二、四象限，
不合题意．
在选项中，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，．
．
双曲线在第二、四象限．
不合题意．
故选：．
先确定，的符号，再判断反比例函数的图象位置．
本题考查二次函数和反比例函数的图象，掌握字母系数对二次函数和反比例函数图象的作用是求解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，
度．



故选：．
首先根据直角三角形的两个锐角互余，得到再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到的度数，进一步得到其所对的弧的度数．
本题考查了圆的认识，知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数．综合运用了三角形的内角和定理及其推论，根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在上时，
，，
，
；
当点在上时，如下图所示：

，，，
，，
．
．
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：．
分点在上和上两种情况进行讨论即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况．
 

11.【答案】 

【解析】解：当时，，能说明命题“任何数的平方都是正数”是假命题，
故答案为：．
根据实数的性质举出反例即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解证明一个命题是假命题的方法是举出反例，难度不大．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，
该抛物线与轴的另一个交点坐标是，
故答案为：．
利用配方法找出抛物线的对称轴，结合抛物线与轴的一个交点横坐标可求出另一交点的横坐标，此题得解．
本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性找出另一交点的横坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
，
点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，
连接，
，
，
，
，
，
的长为：，
故答案为
连接，可得点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，求出的长度即可．
本题考查了二次函数解析式及点的运动轨迹，难点在第二问，判断出点的运动路径是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：抛物线与轴的交点坐标分别是和，
一元二次方程的根是或，
故答案：或．
抛物线与轴的交点坐标分别是和，则一元二次方程的根是或，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求确实理解函数与轴交点与一元二次方程根之间对应的关系．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系有关知识，先利用根与系数的关系求得，，再整体代入所求的代数式通分后的式子即可求解．
【解答】
解：方程的两个根分别为、，
，
．
故答案为．  

17.【答案】或 

【解析】解：当点关于的对称点在上，连接、，如图，
与切于点，
，
，，
，
，
设，则，，，
点与点关于对称，
，，平分，
，
，
，即，
解得，
；
当点关于的对称点在上，连接，如图，
平分，
，
，
综上所述，的长为或．
或．
当点关于的对称点在上，连接、，如图，先根据切线的性质得到，再利用等腰直角三角形的性质得到，设，则，，，利用对称的性质得到，，平分，接着利用角平分线的性质得到，即，求出，从而得到此时的长；当点关于的对称点在上，连接，如图，先利用对称的性质得到平分，再利用等腰直角三角形的性质得到，从而可确定此时的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了对称的性质和等腰直角三角形的性质．
 

18.【答案】解：中心对称是把一个图形绕其几何中心旋转度后能够和原来的图形互相重合的图形叫中心对称图形；
旋转对称不是旋转一定的角度，而是旋转非周角的角度．就是说不能是旋转度的整数倍后与自身重合了．
例如电扇的叶片转动与自身重合，当然菱形也是旋转对称，但并不是所有的旋转对称都是中心对称． 

【解析】直接利用中心对称图形以及旋转对称图形的定义分析得出答案．
此题主要考查了中心对称图形以及旋转对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
 

19.【答案】解：存在．
，
，
根据根与系数的关系得，，
，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
． 

【解析】先利用判别式的值得到，再利用根与系数的关系得到，，则利用完全平方公式和整体代入的方法由得到，解此方程得，，然后根据的取值范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，计算出的的值满足判别式的值大于或等于．
 

20.【答案】解：抛物线的最高点为，
设抛物线的解析式为，
把点代入得，
，
解得，，
抛物线的解析式为． 

【解析】物线的顶点式解析式，代入顶点坐标另一点求出的值即可．
此题考查待定系数法求函数解析式，根据题目中的已知条件，灵活选用二次函数解析式的形式解决问题．
 

21.【答案】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为的小路，草坪的面积为，
根据题意得出：． 

【解析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据面积关系得出等式是解题关键．
 

22.【答案】解：连接，如图，
点，
，
，
为的直径，
在中，，，
，
，
，
． 

【解析】连接，如图，根据圆周角定理得到为的直径，，在中利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求出即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
 

23.【答案】解：Ⅰ当，时，二次函数的解析式为，
当时，二次函数取得最小值；
Ⅱ当时，二次函数的解析式为，
由题意得，有两个相等是实数根，
，
解得，，，
二次函数的解析式，；
Ⅲ当时，二次函数解析式为，
图象开口向上，对称轴为直线，
当，即时，
在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大，
当时，为最小值，
，解得，舍去，；
当时，即，
，为最小值，
，解得，舍去，舍去；
当，即，
在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小，
故当时，为最小值，
解得，舍去，；
时，解析式为：
时，解析式为：．
综上可得，此时二次函数的解析式为或． 

【解析】Ⅰ把，代入函数解析式，求二次函数的最小值；
Ⅱ根据当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，得到有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
Ⅲ当时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
本题考查了二次函数的最值：当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而减少；在对称轴右侧，随的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当时，；当时，抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴右侧，随的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当时，；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
 

24.【答案】解：，，，
四边形是矩形，
，
． 

【解析】判断出四边形是矩形，然后根据矩形的对角线相等求出圆的半径，再解答即可．
本题考查了矩形的判定与性质，圆的认识，考虑利用矩形的对角线相等把转化为是解题的关键．
 

25.【答案】解：设与之间的函数关系式，把，代入得
，
解得，
与之间的函数关系式；



，
对称轴，在对称轴的左侧随着的增大而增大，
，
当时，最大，最大为．
即当销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．

由，
解得，不合题意，舍去
答：该经销商想要每天获得元的销售利润，销售价应定为元． 

【解析】设函数关系式，把，代入求出和即可，由成本价为元千克，销售价不高于元千克，得出自变量的取值范围；
根据销售利润销售量每一件的销售利润得到和的关系，利用二次函数的性质得最值即可；
先把代入的函数关系式中，解一元二次方程求出，再根据的取值范围即可确定的值．
本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．