2022-2023学年福建省福州市三校高一上学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州市三校高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即函数的定义域.

【详解】由题，，解得.

故选：    D.

2．已知幂函数的图象过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，由图象过求出函数的解析式，再代入求值即可.

【详解】设，因为幂函数图象过，

则 ，∴，即，

∴.

故选：B.

3．设为实数，则““是”“的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】分别举出反例否定充分性和必要性，得到答案.

【详解】取，，则，但，不具有充分性；

取，，则，但，不具有必要性；

故选：D.

4．设表格表示的函数为，关于此函数下列说法正确的是（    ）

A．的定义域是 B．

C．的值域是 D．的图象无对称轴

【答案】C

【分析】根据表格可判断各选项的正误.

【详解】函数的定义域是，A错误；

，B错误；

函数的值域是，C正确；

函数的图象关于直线对称，D错误.

故选：C.

5．已知定义在上的偶函数，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据偶函数的性质以及函数的单调性即可求得的取值范围.

【详解】解：是定义在上的偶函数，

，

即，

又在上是减函数，

，

解得：.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：偶函数的性质是解答本题的关键.

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

7．已知函数有最小值，则a的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.

【详解】当时， ，此时；

当时，.

①a=1时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，

②a≠1时，函数f（x）此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，

需 解得，

综上，满足题意的实数a的取值范围为： ，

故选：C．

8．函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则下列说法正确的是( )

A．关于中心对称

B．关于中心对称

C．函数的图象关于成轴对称的充要条件是为偶函数

D．，则为偶函数

【答案】C

【分析】对于选项AB：结合已知条件和奇函数的性质即可判断；对于选项C：根据函数的对称关系以及偶函数定义即可求解；对于选项D：结合已知条件求出的解析式即可判断.

【详解】对于选项A：因为不是奇函数，故A错误；

对于选项B：因为不是奇函数，故B错误；

对于选项C：由的图象关于成轴对称可知，，从而为偶函数；

由为偶函数，可得到，即的图象关于成轴对称，

从而函数的图象关于成轴对称的充要条件是为偶函数，故C正确；

对于选项D：因为，所以不是偶函数，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题正确的是（　　）

A．存在， B．对于一切实数，都有

C．， D．是充要条件

【答案】AB

【解析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识判断ABC选项的正确性，根据充要条件的知识判断D选项的正确性.

【详解】对于A选项，当时，，所以A选项正确，

对于B选项，当时，，故B选项正确，

对于C选项，当时，，故C选项错误，

对于D选项，时，，所以不是充要条件，故D选项错误.

故选：AB

【点睛】本小题主要考查全称量词命题、存在量词命题、充要条件.

10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据①②知“理想函数”是定义域上的奇函数且在定义域内单调递减，依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由①知：为定义域上的奇函数；由②知：在定义域内单调递减；

对于A，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，A正确；

对于B，为上的奇函数且在上单调递减，符合“理想函数”定义，B正确；

对于C，为上的奇函数且在上单调递增，不符合“理想函数”定义，C错误；

对于D，是上的非奇非偶函数，不符合“理想函数”定义，D错误.

故选：AB.

11．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超过0.25mg时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量（单位：mg）随时间（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），则下列说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，

C．教室内持续有效杀灭病毒时间为小时

D．喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒

【答案】ABD

【解析】A. 根据在药物释放过程中，与成正比,设,由过判断；B. 根据药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），由过判断；C. 由时，，当时，，分别计算出持续时间相加；D. 由时，计算判断.

【详解】A. 在药物释放过程中，与成正比,设,当， 时， ，所以，故正确；

B. 因为药物释放完毕后，与的函数关系式为：（为常数），当， ，所以，故正确；

C. 当时，，解得，持续时间为；

当时，，解得 ，持续时间为 ，所以总持续时间为，故错误；

D. 因为当时，，解得小时，即喷洒药物3分钟后开始进行有效灭杀病毒，故正确；

故选：ABD

12．已知，且，则下列所求各式的范围正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据基本不等式“一正、二定、三相等”，逐项判定，即可求解.

【详解】因为，且，

可得，即，

解得，当且仅当时等号成立，所以A正确；

由，可得，解得，

当且仅当时等号成立，所以B正确；

由，因为且，所以，

当且仅当时等号成立，所以C正确；

由，当且仅当时等号成立，所以D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知函数在区间上不单调，则的范围是________.

【答案】

【解析】首先求函数的对称轴，再根据条件列不等式求解.

【详解】函数的对称轴是，

因为函数在区间上不单调，

所以，解得：.

故答案为：

14．已知集合，集合，若，则的值为________.

【答案】2

【解析】首先根据题意得到，再分类讨论求的值即可.

【详解】因为，所以.

当时，解得，此时，舍去；

当时，解得或.

若，，舍去；

若，，，，符合题意；

故答案为：

15．关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.

【详解】在内有解，，其中；

设，则当时，，

，解得：，的取值范围为.

故答案为：.

16．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】考虑，，三种情况，结合均值不等式，可推出在时，要让元素最少需满足，即可求得答案.

【详解】当时，，元素有无穷多个；

当时，，

，时等号成立，故，

所以中元素有无穷多个；

当时，，

，时等号成立，

故，要让中元素最少，需要满足，解得.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）时，求出集合，由此能求出；

（2）由可得，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围．

【详解】（1）解：时，集合，，

．

（2）解：，，

当时，，解得，

当时，，解得，

实数的取值范围是．

18．命题关于的方程有两个相异负根；命题.

(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；

(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将问题转化为恒成立，由即可求得结果；

（2）由（1）可知为真时的范围；由一元二次方程根的分布可求得为真时的范围；根据两个命题一真一假可分类讨论得到结果.

【详解】（1）因为命题为假命题，所以恒成立，

则，即，解得；

（2）若命题为真命题，

因为关于的方程有两个相异负根，

所以，解得，

若命题为真命题，的取值范围为或，

若这两个命题有且仅有一个为真命题，

若真假，，解得，

若假真，，解得或，

则实数的取值范围是.

19．已知奇函数．

(1)求实数的值；

(2)作出的图象，并求出函数在上的最值；

(3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．

【答案】(1)2

(2)图象见解析，最小值，无最大值

(3)

【分析】（1）利用函数的奇偶性求出x＜0时函数的解析式，即可得m的值；

（2）利用函数的解析式画出函数的图象，然后求出函数的最值即可．

（3）结合函数的图象求b的取值范围．

【详解】（1）设，则，

函数是奇函数，

，则；

（2）函数图象如图所示：

由图象可知：在上，当时，函数取最小值，

函数在上无最大值，

（3）由图象可知，，．

故的取值范围是．

20．已知函数．

(1)求f(1)，f(2)的值；

(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；

(3)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)，理由见解析；

(3)的取值范围为.

【分析】（1）代值即可求解；

（2）采用作差法得，分析正负即可判断；

（3）将条件化简得对一切恒成立，即恒成立，解不等式即可

【详解】（1）因为，所以，；

（2），理由如下：.

因为，则，，所以，即，，

所以，即；

（3）因为函数，则不等式可化为，

化简可得对一切恒成立，

所以，解得

所以的取值范围为.

21．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)，

(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；

（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）由题意可得

当时，所以

解得

所以

（2）当时，，其对称轴为

所以当时取得最大值万元

当时，万元

当且仅当即时等号成立

因为

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

22．设函数是定义在上的减函数，并且满足，

（1）求和的值

（2）如果，求的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据对、进行赋值即可得到答案；

（2）利用赋值法得，然后结合转化已知不等式为，最后根据单调性求出所求.

【详解】解：（1）令，则，∴

又即：∴

（2）∴

∴，又由，又由是定义在上的减函数，得：

，解得：.

∴的取值范围为.

【点睛】本题主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题.