九年级数学下册人教版·山西省晋中市太谷区开学考试附答案解析

2020-2021学年山西省晋中市太谷区恒达中学九年级（下）开学数学试卷

一.选择题（每小题3分，共30分）

1．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（　　）

A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣ C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3

2．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．矩形 

B．菱形 

C．对角线相等的四边形 

D．对角线互相垂直的四边形

3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（2，10） B．（﹣2，0） 

C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）

5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，4），当x＞2时，所对应的函数值y的取值范围是（　　）

A．﹣2＜y＜0 B．﹣3＜y＜﹣1 C．﹣4＜y＜0 D．0＜y＜1

6．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3 

C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3

7．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）

A． B． C． D．

8．若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）

A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°

9．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）

A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7

10．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）

A．m＝﹣1 B．m＝3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1

二.填空题（ 共18分）

11．观察表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1＝0最精确的一个近似解是　   　（精确到0.1）．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，若S△ABO＝，则k的值为　   　．

13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为　   　．

14．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是　   　．

15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果C，D旋转后分别落在点E，F的位置，那么∠EFD的正切值是　   　．

三．解答题（共72分）

16.计算：

（1）sin30°﹣cos45°+tan60°．

（2）（x﹣1）2＝3x﹣3．

17.如图1，将一张△ABC纸片折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠加矩形．

（1）正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图2中画出折痕．

（2）如图3，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个三角形△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形．

18.为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整．

（2）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．

19.某一天，小明和小亮来到一河边，想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点C（点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸）．

小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A，小亮在点D放置平面镜，小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A，且F、D、H均在BC的延长线上，小明的眼睛距地面的高度EF＝1.5m，小亮的眼睛距地面的高度GH＝1.6m，测得CF＝1m，DH＝2m，CD＝8.4m，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BC是多少米？

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．

（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；

（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．

21.综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF．如图①：点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②

（一）填一填，做一做：

（1）图②中，∠CMD＝　　．

线段NF＝　　

（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．

剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，分别得到图③、图④．

（二）填一填

（3）图③中阴影部分的周长为　　．

（4）图③中，若∠A′GN＝80°，则∠A′HD＝　　°．

（5）图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有　　对；

（6）如图④点A′落在边ND上，若＝，则＝　　（用含m，n的代数式表示）．

22.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；

①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

参考答案

1-5   DDBCC          6-10   DABAD

11.1.7       12.﹣3      13.1           14.0＜x＜1或3＜x＜4    15.

16.【解答】（1）原式＝﹣×+×

＝﹣+

＝；

（2）（x﹣1）2＝3x﹣3，

（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，

（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，

解得，x1＝1，x2＝4．

17.【解答】解：（1）如图2中，矩形EFGH即为所求作．

（2）如图3中，△ABC即为所求作．

18.【解答】解：（1）被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），

本次调查中喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人），所占百分比为1﹣（10%+30%+20%）＝40%，

补全统计图如下：

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的有4种情况，

∴刚好抽到同性别学生的概率为＝．

19.【解答】解：由题意可得：∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH．

∵AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，

∴∠ABC＝∠EFC＝∠CHD＝90°，

∴△ABC∽△EFC，

∴＝，即＝．

∵∠ADB＝∠GDH，∠ABC＝∠GHD＝90°，

∴△ABD∽△GHD，

∴＝，即＝，

解得BC＝9.6m．

答：河宽BC是9.6m．

20.【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，

∵△BOC是等边三角形，

∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，

∴BD＝＝，

∴S△OBD＝OD×BD＝，

S△OBD＝|k|，

∴|k|＝，

∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，

∴k＝，

∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）∵S△OBC＝OC•BD＝＝，

∴S△AOC＝3﹣＝2，

∵S△AOC＝OC•yA＝2，

∴yA＝2，

把y＝2代入y＝，求得x＝，

∴点A的坐标为（，2）．

21.【解答】解：（1）由折叠的性质得，四边形CDEF是矩形，

∴EF＝CD，∠DEF＝90°，DE＝AE＝AD，

∵将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，

∴DN＝CD＝2DE，MN＝CM，

∴∠EDN＝60°，

∴∠CDM＝∠NDM＝15°，EN＝DN＝2，

∴∠CMD＝75°，NF＝EF﹣EN＝4﹣2；

故答案为：75°，4﹣2；

（2）△AND是等边三角形，理由如下：

在△AEN与△DEN中，，

∴△AEN≌△DEN（SAS），

∴AN＝DN，

∵∠EDN＝60°，

∴△AND是等边三角形；

（3）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，

∴A′G＝AG，A′H＝AH，

∴图③中阴影部分的周长＝△ADN的周长＝3×4＝12；

故答案为：12；

（4）∵将图②中的△AND沿直线GH折叠，使点A落在点A′处，

∴∠AGH＝∠A′GH，∠AHG＝∠A′HG，

∵∠A′GN＝80°，

∴∠AGH＝50°，

∴∠AHG＝∠A′HG＝70°，

∴∠A′HD＝180°﹣70°﹣70°＝40°；

故答案为：40；

（5）如图③，

∵∠A＝∠N＝∠D＝∠A′＝60°，

∠NMG＝∠A′MN，∠A′NM＝∠DNH，

∴△NGM∽△A′NM∽△DNH，

∵△AGH≌△A′GH

∴图③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对，

故答案为：4；

（6）∵＝，

设A'N＝am，则A'D＝an，

∵∠N＝∠D＝∠A＝∠A′＝60°，

∴∠NA′G+∠A′GN＝∠NA′G+∠DA′H＝120°，

∴∠A′GN＝∠DA′H，

∴△A′GN∽△HA′D，

∴＝＝，

设A'G＝AG＝x，A'H＝AH＝y，则GN＝4﹣x，DH＝4﹣y，

∴＝＝，

解得：x＝y，

∴＝＝＝；

故答案为：．

22.【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），

解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），

由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；

tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；

①当点P（P′）在点C的右侧时，

∵∠P'BC＝∠BCO，

故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；

当点P在点C的左侧时，

设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，

∵∠P'BC＝∠BCO，

∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，

解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），

由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，

联立①②并解得：，

故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；

②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，

故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，

故直线AP的表达式为：y＝x+1③，

联立①③并解得：，故点N（，）；

设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），

∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，

∴∠RMH＝∠GAR，

∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，

∴△AGR≌△RHM（AAS），

∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，

∴点M（m+n，n﹣m﹣3），

将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，

由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，

联立④⑤并解得：，

故点M（﹣，﹣）．