2023年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据国家医保局公布的年医疗保障事业发展统计快报显示，年全年医保基金支付核酸检测费用元数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱组成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后位，这是祖冲之最重要的数学贡献数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后位数字进行了统计：

那么，圆周率的小数点后位数字的众数与中位数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图是年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，中，，分别是，的中点，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我国古代数学名著四元玉鉴中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为和，则不等式的解为(    )

A.
B. 或
C. 或
D. 或

9.  以直角三角形的各边为边分别向外作正方形如图，再把较小的两个正方形按图的方式放置在最大正方形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(    )
 

A. 四边形的面积 B. 四边形的面积
C. 四边形的面积 D. 的面积

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  请写出一个小于的无理数        ．

11.  分解因式：        ．

12.  一个不透明的袋子里装有个黑球和个白球，它们除颜色外其余都相同从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为        ．

13.  如图，已知的直径为，点是外一点，若是的切线，为切点，且，为上一动点，则的最小值为______．

14.  定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”如图，在直角坐标系中，矩形是第一象限内的一个“奇特矩形”且点，，则矩形的面积为        ．

15.  如图，一张矩形纸片中，为常数将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点当点落在的中点时，且，则        ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
解不等式组：．

17.  本小题分
如图，在的方格纸中，点，是方格中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
在图中画出线段的中点；
在图中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形．

18.  本小题分
抛物线为常数经过点，．
求的值；
若，求的取值范围．

19.  本小题分
某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如两幅尚不完整的统计图．

请根据以上信息解答下列问题：
课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为        ；
请补全条形统计图；
该校共有名男生，小明认为“全校男生中，课外最喜欢参加的项目是乒乓球的人数约为”，请你判断这种说是否正确，并说明理由．

20.  本小题分
如图是钢琴缓降器，图和图是钢琴缓降器两个位置的示意图是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点、分别固定在压柄与底板上已知．
如图，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；
现将压柄从图的位置旋转到与底座成角即，如图所示，求此时液压伸缩连接杆的长结果保留根号参考数据：，，；，，

21.  本小题分
如图所示，在、两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图是甲、乙两车行驶时离站的路程，与行驶时间之间的函数图象．

填空：的值为______，的值为______，两地的距离为______．
求小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式．
请直接写出乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围．

22.  本小题分
新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
如图，等边边长为，垂直于边的等积垂分线段长度为        ；
如图，在中，，，，求垂直于边的等积垂分线段长度；
如图，在四边形中，，，，求出它的等积垂分线段长．
 

23.  本小题分
如图，内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知，．
求证：；
若，连接，求的最小值；
若，当为何值时，为等腰三角形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆周率的小数点后位数字中，出现的次数最多，故众数为，
第个和第个数字都是，故中位数是．
故选：．
直接根据众数和中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
根据，求解即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或其中为扇形的弧长．
 

6.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
．
，是的中点，
，
．
故选C．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据用文钱买得梨和果共个，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，，

所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，
直线向下平移个单位的图象如图所示，交点的横坐标为，交点的横坐标为，
当或时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式的解集是或．
故选：．
根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量的取值范围即可．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移个单位的直线的交点有关是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，
如图，四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为．
，，
，
，
，
，
知道图中阴影部分的面积，则一定能求出，
故选：．
如图，设大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，如图，设四边形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，，把代入即可得到结论．
本题考查了勾股定理，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：小于的无理数无限多个．例如：、、、、两个之间依次多一个等．
故答案为：．
符合题意的无理数既可以．
本题考查了无理数，掌握无理数的定义，会比较无理数的大小是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：摸出黑球的概率为．
故答案为：．
根据简单随机事件的概率计算方法进行求解即可得出答案．
本题考查了概率公式，掌握概率公式进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
的直径为，
，
连接交于，
则此时的值最小，
，
，
，
故的最小值为，
故答案为：．
根据切线的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当反比例函数的图象经过、上的点时，
设，
点，，
点和点在反比例函数的图象上，
，
解得；
当反比例函数的图象经过、上的点时，
设，
点，，
点和点在反比例函数的图象上，
，
解得，
的长为或，
点，，
，
矩形的面积为或．
故答案为：或．
根据题意分两种情况：设，当反比例函数的图象经过、上的点时，则点和点在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数得到，解得；当反比例函数的图象经过、上的点时，则点和点在反比例函数的图象上，则，解得，即可求得的长为或，进一步求得矩形的面积为或．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
设，则，
点是的中点，
，
∽，
，
即，
，
，，，
，
在中，，
，
解得，
，
，
．
故答案为：．
根据，设，则，根据∽，得到，在中，利用勾股定理得到，解即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：

．
由，得．
由，得．
这个不等式组的解集为． 

【解析】根据整式的混合运算法则，利用单项式乘多项式的乘法法则以及完全平方公式计算乘法，再计算加法．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查整式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：如图中，点即为所求；

如图中，平行四边形即为所求．
 

【解析】利用网格特征画矩形的中点即可；
利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，掌握勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：抛物线为常数经过点，
，
；
，
，
该抛物线的对称轴为，
由对称性得的取值范围为． 

【解析】把代入解析式即可求出的值；
根据解析式即可求出该抛物线的对称轴为，关于对称轴的对称点为，所以当时，的取值范围为．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：；
“经常参加”的人数为：人；
喜欢篮球的学生人数为：人；
补全统计图如图所示：

这个说法不正确．
理由如下：小明得到的人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，全校偶尔参加课外体育锻炼的男生也有最喜欢乒乓球的，因此应多于人．
用“经常参加”所占的百分比乘以计算即可得解；
先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可；
用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】解：在中，，，，
，
．
答：的长为；
在图中，过点作于点．
在中，，，，
，，
，．
在中，，，，
．
答：此时液压伸缩连接杆的长为． 

【解析】在中，由，结合的长及的度数，即可求出的长；
在图中，过点作于点，在中，通过解直角三角形，可求出，的长，再在中，利用勾股定理，即可求出的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：在中，通过解直角三角形求出的长；在中，利用勾股定理求出的长．
 

21.【答案】     

【解析】解：甲的速度，
的距离，
，
乙车速度，
，
故答案为：，，；
设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式，
，
解得：，
函数关系式为；
当时，，
，
当，两车与车站的路程之和不超过，
当时，，
，
当时，两车与车站的路程之和不超过，
综上所述：当，两车与车站的路程之和不超过．
先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离；
利用待定系数法可求解析式；
分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：过点作的垂线，为垂直于边的等积垂分线，

．
故答案为：；

作于，线段是垂直于边的等级垂分线，设，

在中，
，，，
，，
，
，
，
，
解得或舍弃，
边的等级垂分线段的长度为．

当线段是等积垂分线段时，作于，
设交于设，

在中，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
∽，
，，
．
四边形的面积四边形的面积，的面积的面积，
的面积的面积，
，
解得：负根已经舍弃，
．
作于，交于，当线段是等积垂分线段时，设，
，．

，
，
，
，
，
，
，
，
，，
．
由的面积的面积，
，
解得负根已经舍弃，
．
综上所述，四边形的一条等积垂分线段的长为．
过点作的垂线，求得的长度即可；
如图中，线段是垂直于边的等级垂分线段，设作于构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图中，当线段是等积垂分线段时，设交于作于设构建方程即可解决问题．如图中，当线段是等积垂分线段时，设交于作于设，则，构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】证明：如图中，连接．

点是的内心，
，，
，，，
，
．

解：，
，
点是的中点，点是一个定点，
，
点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
当，，三点共线时，的值最小，如图中，此时为的直径，且是的垂直平分线，

，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
的最小值．

解：，
，
，
连接，，设交于．

，，
，，，
是等边三角形，
，
如图中，当时，，，
，
而，矛盾，故此种情形不成立．
如图中，当时，作于，于．

此时，，∽，
，，
，
设，则，，
，
，
，
，，
，，
∽，
，即，解得，
．
如图中，当时，此时，

是等边三角形，，
，
点，，三点共线，
为直径，
，
，
综上所述，或时，是等腰三角形． 

【解析】欲证明，只要证明．
首先说明，当，，三点共线时，的值最小，如图中，此时为的直径，且是的垂直平分线，由此即可解决问题．
分三种情形分别求解即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．