2022-2023学年天津一中九年级（下）第三次调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津一中九年级（下）第三次调研数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日时分，神舟十五号载人飞船成功发射名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”下列航天图标是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，该几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某县推行“”课后服务以后，教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为小时，到第三周时，平均工作时长为小时，设这两周工作时长的平均增长率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知点，，是反比例函数图象上的三点，且，那么，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在盒子中，搅匀后从中随机取出张卡片，则取出的张卡片中，恰好组成“强国”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知正六边形的边心距为，则它的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，、分别是的直径，连接、，如果弦，且，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是图中的(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点若，，则的直径是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知抛物线为常数，经过点，，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
；
抛物线经过点；
方程有两个不相等的实数根；
．
其中，正确结论的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.         ；        ；        ．

14.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球和个蓝球．这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______．

15.  将直线向下平移个单位长度，平移后直线与轴交点坐标为______．

16.  如图，直线，直线、被直线、、所截，若，，，则的长为______．

17.  如图，在矩形中，，，点在线段上运动含、两点，连接，以点为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为        ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，在格点上，顶点在网格线上，其外接圆的圆心为．
Ⅰ的长等于______．
Ⅱ是上一点，当时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  已知抛物线经过点和点．
求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值或最小值．

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
关于的方程有两个实数根．
求实数的取值范围；
设该方程的两个实数根分别为，，若，求的值．

21.  本小题分
在中，弦与直径相交于点，．
Ⅰ如图，若，求和的大小；
Ⅱ如图，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．

22.  本小题分
如图，甲乙两楼的水平距离为，自乙楼楼顶处，测得甲楼顶端处的仰角为，测得甲楼底部处的俯角为，求甲楼的高度结果取整数参考数据：，取．

23.  本小题分
明明的家与超市、学校依次在同一直线上明明骑自行车从学校放学回到家后，发现忘了买水笔他立刻走出家门步行到超市，选购了一会儿后快速回到家下面的图象反映了明明从学校出发后离家的距离单位：与他离开学校的时间单位：之间的对应关系请根据相关信息，解决下列问题：

填空：
明明家与学校的距离是        ，他放学用了        骑车到家；
明明从家出发走了        到超市，他在超市停留的时间是        ；
明明从学校骑车回家的速度是        ，从家步行到超市的速度是        ；
明明与家距离时，他离开学校的时间是        ．
当时，请直接写出与的函数关系式．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直角三角形，在轴上，，，，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，记旋转角为．
Ⅰ如图，若，求点的坐标；
Ⅱ如图，若，求点的坐标；
Ⅲ如图，连接，，直线交于点，点为的中点，连接在旋转过程中，求的取值范围直接写出结果即可．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点点，不与点，，重合．
求此抛物线的表达式；
连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
连接．
如图，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
如图，连接，当时，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，掌握的值是正确计算的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可作答．
本题主要考查了中心对称图形的识别．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看下面是一个大矩形，上面是一个小矩形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
故选：．
利用第三周的平均工作时长第一周的平均工作时长这两周工作时长的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数，，，
，
故选：．
：在反比例函数中，，根据和反比例函数的性质和，即可得．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中取出的张卡片中，恰好组成“强国”的结果有种，
取出的张卡片中，恰好组成“强国”的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及取出的张卡片中，恰好组成“强国”的结果数，再利用概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：．
过点作于点，则边心距，先根据正六边形的性质、等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质、勾股定理可得，由此即可得．
本题考查了正多边形的边心距、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故选：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

分别是的直径，
，
，
故A正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，
故B正确，不符合题意；
，
，
，
，
，
，
故D正确，不符合题意；
根据题意得不出，
故C错误，符合题意；
故选：．
根据圆周角定理、平行线的性质求解判断即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，所以，与不一致，不符合题意；
B.由图象可知：，，所以，与一致，符合题意；
C.由图象可知：直线不经过原点，与已知正比例函数不一致，不符合题意；
D.由图象可知：，，所以，与不一致，不符合题意．
故选：．
根据函数图象逐项分析，判断出、的符号，与进行对比，问题得解．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的图象，正确根据正比例函数、反比例函数图象确定比例系数的取值范围是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，，

为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，
在中，，，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
．
故选：．
连接，，由勾股定理求得，然后通过证得∽，由比例线段求得直径即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知：时，，
时，，
，
对称轴在轴左侧，
，
，
，，
，故不符合题意．
由于不能判断对称轴的具体位置，
从而不能判断抛物线是否过点，故不符合题意．
，，
，，
抛物线的开口向下，且该二次函数的最大值必定大于，
直线与该抛物线有两个交点，
即有两个不相同的实数根，故符合题意．
由于，，
，
，
，故符合题意．
故选：．
由题意可知：时，，时，，所以，再由对称轴在轴左侧，可知，所以，，由于不能判断对称轴的具体位置，从而不能判断抛物线是否过点，且抛物线开口向下，由抛物线的图象性质可知其该二次函数的最大值必定大于．
本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是根据题意得出、、的关系，再由、、大致判断该抛物线的图象，本题属于中等题型．
 

13.【答案】   

【解析】解：，，．
故答案为：；；．
根据特殊角的三角函数值求解即可．
本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机取出个球，共有种等可能结果，其中摸到的是红球的有种结果，
所以从袋子中随机取出个球，它是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据平移的规则可知：
直线向下平移个单位长度后所得直线的解析式为：，
令，则，
解得，
所得直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的直线解析式，再让，得到关于的方程，解方程即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线，
，
，，，
，
，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列比例式，代入计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是关键：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于．

四边形是矩形，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
，，
，，
点在射线上运动，
，
，
，，
，，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
如图，以为边向右作等边，作射线交于点，过点作于利用全等三角形的性质证明，推出，推出点在射线上运动，求出，可得结论．
本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点的在射线上运动，属于中考填空题中的压轴题．
 

18.【答案】  作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求 

【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；

Ⅱ如图，点即为所求．

故答案为：作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：、代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
，
因为，
所以开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最小值为． 

【解析】把点和点坐标代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、即可；
把中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
 

20.【答案】解：关于的方程有两个实数根，
，
；
，关于的方程的两个根，
，，
，
，
解得：或者，
经检验不是原分式方程的解，因此原分式方程的解为，
即． 

【解析】利用判别式求出的取值范围；
根据一元二次方程根与系数关系即可求得的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的判别式，理解根与系数关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：Ⅰ，，
，
是的直径，
，
；
Ⅱ连接，，如图所示：
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
Ⅰ根据圆周角定理得到，，求得，根据是的直径，得到，于是得到结论；
Ⅱ连接，如图所示：根据垂径定理得到，求得，根据切线的性质得到，于是得到结论．
 

22.【答案】解：过点作于点．

则，，，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
．
答：甲楼的高度约为． 

【解析】过点作于点则，，，分别在和中，利用锐角三角函数求出和，再根据可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数是解答本题的关键．
 

23.【答案】            或或 

【解析】解：由图象可得，
明明家与学校的距离是，他放学用了骑车到家，
故答案为：，；
明明从家出发走了到超市，他在超市停留的时间是，
故答案为：，；
明明从学校骑车回家的速度是，从家步行到超市的速度是，
故答案为：，；
当时，
明明与家距离时，他离开学校的时间是分钟，
当时，他离开学校的时间是分钟，
当时，他离开学校的时间是分钟，
故答案为：或或；
当时，设与的函数关系式是，
，
解得，
即当时，设与的函数关系式是；
当时，与的函数关系式是；
当时，设与的函数关系式是，
，
解得，
即当时，与的函数关系式是；
由上可得，当时，与的函数关系式是．
根据函数图象中的数据，可以直接写出明明家与学校的距离和他放学骑车到家用的时间；
根据图象中的数据，可以计算出明明从家出发走了多长时间到超市，以及他在超市停留的时间；
根据图象中的数据，可以计算出明明从学校骑车回家的速度和从家步行到超市的速度；
根据图象中的数据，可以计算出明明与家距离时，他离开学校的时间；
根据函数图象中的数据，可以计算出当时，与的函数关系式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图，过作于点，

绕点顺时针旋转得到，
，
，
，，
，
；
Ⅱ如图，过作轴于点，过作轴于点，

，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，≌，
，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
；
Ⅲ由题意可知，，，，
，
即，
，，
，，
，
，
，
，，，四点共圆，
如图，连接，，

，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
为的中位线，
．
由旋转可知，轨迹为以为圆心，长为半径的圆，如图，

的最小值为，的最大值为，
． 

【解析】Ⅰ过作于点，，通过直角三角形的性质可求的长，即可求得点的坐标：
Ⅱ过作轴于点，过作轴于点，首先可证得≌，可得，，再通过三角形的面积及勾股定理即可求得；
Ⅲ由题意知，，，，可得，，可证得，，，，，共圆，连接，，由，可得，再根据等腰三角形的性质可得为的中点，可证得为的中位线，则由旋转知，轨迹为以为圆心，为半径的圆，知的最小值为，据此即可求解．
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位的判定与性质，四点共圆的判定与圆内接四边形的性质，画出辅助图形，确定的最小值是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，解得，
，
即抛物线的表达式为；
在中，令，得或，
，，
，
，
，
，
，
当时，，；
点，点，
轴，
．
如下图，连接交于点，

，
设点，
与关于轴对称，
点，
点在抛物线上，
，
化简得，即，
解得或舍去，
；
如下图，在的下方作，且，连接，，

，
≌，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，
过点作，垂足为，
，，
，，
，
，，
，
，
即的最小值为． 

【解析】本题主要是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．
用待定系数法求解析式即可；
根据，的坐标，求出，再根据，求出点，的横坐标，代入相应解析式中，求出点，的纵坐标，再根据，即可得出答案．
设出点的坐标，进而表示出点的坐标，再将其代入抛物线解析式中，即可求出点的坐标．
在的下方作，且，连接，，构造≌，得出当、、三点共线时，最小，最小为，求出的值即可．