山东省济南市天桥区2023年中考数学模拟试题

山东省济南市天桥区2023年中考数学模拟试题

一、单选题

1． 的相反数是（　　）  

A．2 B．-2 C． D．

2．如图所示的几何体的俯视图为（　　）

A． B．

C． D．

3．2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中7300万用科学记数法表示为（　　）  

A．73×106 B．7.3×103 C．7.3×107 D．0.73×108

4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，AB∥EF，则∠A、∠C、∠D、∠E满足的数量关系是(　　) 

A．∠A＋∠C＋∠D＋∠E＝360° B．∠A－∠C＋∠D＋∠E＝180°

C．∠E－∠C＋∠D－∠A＝90° D．∠A＋∠D＝∠C＋∠E

6．下列各数中，最大的数是(　　)

A．-1 B．0 C．1 D．

7．化简 ﹣（a+1）的结果是（　　） 

A． B． C． D．

8．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为(　　)  

A． B． C． D．

9．在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，有下列结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9．其中，正确结论的个数是（　　） 

A．1 B．2 C．3 D．4

10．如图，一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（　　）

A． B． C． D．

11．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米。若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） 

A．3sina米 B．3cosa米。 C． 米 D． 米

12．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

13．若a﹣b＝2，a+b＝3，则a2﹣b2＝　     　．

14．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是 　     　.

15．小明计算一个凸多边形的内角和时，误把一个外角加进去了，得其和为2620°，这个多边形的边数为 　     　．

16．已知a、b是一元二次方程 的两个根，则 的值为　     　． 

17．若圆O的直径AB为2，弦AC为 ，弦AD为 ，则 （其中 ） 为　               　。

18．菱形 的对角线 与 相交于点O，若 ，则菱形 的面积是　     　． 

三、解答题

19．计算： 

（1）计算： + ﹣| ﹣2|； 

（2）求式中x的值：25x2=36． 

20．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 

21．如图，点D，C分别在线段AB，AE上，ED与BC相交于O点，已知AB＝AE，请添加一个条件（不添加辅助线）使△ABC≌△AED，并说明理由.

22．为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）： 

（1）报名参加课外活动小组的学生共有　     　人，将条形图补充完整　           　； 

（2）扇形图中m=　     　，n=　     　； 

（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 

23．在平面直角坐标系中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．

（1）如图1，如果⊙O的半径为2 ， 

①判断M（2，0），N（﹣2，1）两个点的变换点M′、N′与⊙O的位置关系；

②若点P在直线y=x-2上，点P的变换点P′不在⊙O外，结合图形求点P横坐标x的取值范围．

（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+5上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．

24．小明购买A、B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如表，根据信息解答下列问题：

（1）求A，B两种商品的单价；

（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

25．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（﹣3，0），将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD.

（1）画出菱形ABCD，并直接写出n的值及点D的坐标；  

（2）已知反比例函数y＝ 的图象经过点D，▱ABMN的顶点M在y轴上，N在y＝ 的图象上，求点M的坐标；  

（3）若点A、C、D到某直线l的距离都相等，直接写出满足条件的直线解析式.  

26．

（1）问题发现：如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为　     　；②∠AMB的度数为　     　；

（2）类比探究 ：如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+  PC的最小值；  

（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+  PC取得最小值时，把点P向上平移 个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由.  

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】B

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】C

11．【答案】A

12．【答案】D

13．【答案】6

14．【答案】

15．【答案】16

16．【答案】-13

17．【答案】 或

18．【答案】120

19．【答案】（1）解：原式=﹣2+3﹣2+ =﹣1+

（2）解：方程整理得：x2= ， 

开方得：x=±

20．【答案】解： 解不等式 ①，得x≤2， 解不等式 ②，得x＞﹣3． 所以原不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 在数轴上表示为： ．

21．【答案】解：根据SAS可以条件AC＝AD， 

根据ASA可以条件∠B＝∠C，

根据AAS可以条件∠ACB＝∠ADC.

22．【答案】（1）100；统计图为：

（2）25；108

（3）树状图分析如下： 

∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种，

∴P（选中甲、乙）= =

23．【答案】（1）解：①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′= =2 ，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上； 

N（-2，1）的变换点N′的坐标为（-1，-3），则ON′= = ＞2 ，所以点N（-2，-1）的变换点在⊙O外；

②设P点坐标为（x，x-2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x-2，2），则OP′= ，

∵点P′不在⊙O外，

∴ ≤2 ，

∴（2x-2）2≤4，即（x-1）2≤1，

∴-1≤x-1≤1，解得0≤x≤2，

即点P横坐标的取值范围为0≤x≤2

（2）解：设点P′的坐标为（x，-2x+5），P（m，n），

根据题意得m+n=x，m-n=-2x+5，

∴3m+n=5，

即n=-3m+5，

∴P点坐标为（m，-3m+5），

∴点P在直线y=-3x+5上，

设直线y=-3x+5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图，

则A（ ，0），B（0，5），

∴AB= = ，

∵ OH•AB= OA•OB，

∴OH= = ，

∴CH= -1，

即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为 -1．

24．【答案】（1）解：设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，根据题意可得：

，解得： ，

答：A种商品的单价为20元，B种商品的单价为15元

（2）解：设第三次购买商品A种a件，则购买B种商品（12﹣a）件，根据题意可得：

a≥2（12﹣a），得：8≤a≤12，

∵m＝20a+15（12﹣a）＝5a+180

∴当a＝8时所花钱数最少，即购买A商品8件，B商品4件．

25．【答案】（1）解：如图， 

∵点A（0，4）、B（﹣3，0），

∴AO＝4，BO＝3

∴AB＝ ＝5

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5

∵将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD.

∴n＝5，点C坐标为（2，0），点D坐标为（5，4）

（2）解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点D  

∴k＝4×5＝20

∵N在y＝ 的图象上，

∴设点N（a， ）

如图，过点N作NH⊥OA于点H，

∵四边形ABMN是平行四边形

∴AN＝BM，AN∥BM

∴∠BMA＝∠NAM

∴∠BMO＝∠NAH，且AN＝BM，∠BOM＝∠NHA＝90°，

∴△ANH≌△MBO（AAS）

∴HN＝BO＝3，MO＝AH

∴HN＝a＝3，HO＝

∴OM＝AH＝HO﹣AO＝

∴点M（0， ）

（3）解：∵点A、C、D到某直线l的距离都相等， 

∴直线l是△ACD的中位线所在直线，

如图所示：

若直线l过线段AC，CD中点，

∴直线l的解析式为：y＝2

若直线l过线段AD，AC中点，即直线l过点（ ，4），点（1，2）

设直线l的解析式为：y＝mx+n

∴

解得：m＝ ，n＝

∴直线l的解析式为：y＝

若直线l过线段AD，CD中点，即直线l过点（ ，4），点（ ，2）

设直线l解析式为：y＝kx+b

∴

解得：k＝﹣2，b＝9

∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+9

26．【答案】（1）1；36°

（2）解：

在△OAB和△OCD中，

∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，

∴tan30°=，

∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，

即∠DOB=∠COA，

∴△DOB∽△COA，

∴，

∠DBO=∠CAO，

∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，

∴∠CAO+∠MEA=90°，

∴∠AMB=90°，

∴=，∠AMB=90°；

（3）3或4

27．【答案】（1）解：如图1 

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵点D为抛物线的顶点，且 ＝ ＝1， ＝ ＝﹣4

∴点D的坐标为D（1，﹣4）

∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，

由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴当m＝ ＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，

此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x轴上找一点K（ ，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，

∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：y＝ ，且点F（2，﹣2），

∴PJ＝ PC，直线FJ的解析式为：y＝

∴点J（ ， ）

∴FP+  PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝

∴|HF+FP+  PC|min＝

（2）解：由（1）知，点P（0， ），  

∵把点P向上平移 个单位得到点Q

∴点Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝ ，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝ AQ＝ ，此时，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣ ），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'

则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝ ＝ ＝

∴sin∠IOQ'＝ ＝ ＝ ，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝

∴点Q'的坐标为Q'（ ，﹣ ）；

②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（ ， ）

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣ ， ）

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣ ，﹣ ）

综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（ ，﹣ ），（ ， ），（﹣ ， ），（﹣ ，﹣ ）