2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一上学期期中考试 数学试题 Word版含解析

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江苏省连云港市东海县2021-2022学年高一上学期期中数学试题
【参考答案】
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A，B和全集U＝{1，2，3，4}，且A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁UA）∩B＝（　　）
A．{4} B．∅ C．{3，4} D．{3}
【分析】由已知先求出集合A的补集，再根据交集的定义求解即可．
【解答】解：由已知可得∁UA＝{4}，
所以（∁UA）∩B＝{4}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合间的运算关系，考查了运算能力，属于基础题．
2．不等式（x+1）（2﹣x）＞0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|x＜﹣2或x＞1}
【分析】把不等式化为（x+1）（x﹣2）＜0，求出解集即可．
【解答】解：不等式（x+1）（2﹣x）＞0化为
（x+1）（x﹣2）＜0，
解得﹣1＜x＜2，
∴不等式的解集为{x|﹣1＜x＜2}．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，
所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝4+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为（　　）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：∵L＝4+lgV，某同学视力的五分记录法的数据为3.9，
∴lgV＝0.1，即，解得V＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
5．设a，b∈R，a＜b＜0，则（　　）
A．a2＜b2 B． C． D．ab＞b2
【分析】根据不等式的性质即可判断．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，选项A，B，C不正确，
根据不等式的性质可得选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．
6．已知，则a2+a﹣2的值是（　　）
A．47 B．45 C．50 D．35
【分析】根据指数幂的运算性质即可求出．
【解答】解：∵+＝3，
∴（+）2＝a+a﹣1+2＝9，
∴a+a﹣1＝7，
∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，
∴a2+a﹣2＝47．
故选：A．
【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
7．已知a∈R，函数，若，则a的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣4 D．2
【分析】推导出f（）＝5﹣4＝1，f[f（）]＝f（1）＝|1﹣3|+a＝4，由此能求出a的值．
【解答】解：∵a∈R，函数，若，
∴f（）＝5﹣4＝1，
f[f（）]＝f（1）＝|1﹣3|+a＝4，
解得a＝2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝mx+n．若f（2）+f（3）＝5，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由偶函数的定义和f（x+2）＝﹣f（x），推得f（x）为偶函数，且f（x）的最小正周期为4，推得f（3）＝f（1）＝0，结合已知f（2）+f（3）＝5，可得m，n，进而得到所求值．
【解答】解：由f（x+2）为偶函数，可得f（﹣x+2）＝f（x+2），
即为f（﹣x）＝f（x+4），
又f（x+2）＝﹣f（x），即有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，
当x∈[0，1]时，f（x）＝mx+n，
可得f（2）+f（3）＝﹣f（0）+f（1）＝﹣n+m+n＝m＝5，
由f（3）＝﹣f（1）＝﹣f（﹣3）＝﹣f（3），
可得f（3）＝f（1）＝0，所以m+n＝0，即n＝﹣5，
所以当x∈[0，1]时，f（x）＝5x﹣5，
f（）＝f（﹣）＝f（）＝5×﹣5＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，以及待定系数法的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
9．已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，则有（　　）
A．∅⊆A B．2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}
【分析】先求出集合A，然后分别判断各选项即可．
【解答】解：因为方程x2+2x＝0的解为0或﹣2，
所以A＝{0，﹣2}，所以A，D正确，BC错误，
故选：AD．
【点评】本题考查了集合与集合的关系，元素与集合的关系，涉及到求解一元二次方程的问题，属于基础题．
10．已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，则下列说法中正确的（　　）
A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2
C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4
【分析】由基本不等式及相关的结论分别检验各选项即可判断．
【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝2，
由基本不等式得，2＝2x+y，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，
解得，xy，此时xy取得最大值，A正确；
4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝4﹣4xy≥4﹣2＝2，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，
此时4x2+y2的最小值2，B错误；
4x+2y＝＝4，当且仅当2x＝y且2x+y＝2，即y＝1，x＝时取等号，此时4x+2y的最小值4，C正确；
＝＝2＝4，
当且仅当且2x+y＝2即x＝y＝时取等号，此时取得最小值4，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是基本不等式应用条件的配凑，属于中档题．
11．若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，a），值域为[﹣8，﹣4]，则正整数a的值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求出二次函数的对称轴方程，可知当a＝2时函数有最小值，再由f（0）＝﹣4结合二次函数的对称性可得a的可能取值．
【解答】解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤a≤2时，函数在[0，a）上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝a时有最小值a2﹣4a﹣4＝﹣8，解得a＝2，函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，a），值域为[﹣8，﹣4]，a＝2，舍去．
则当a＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，a≤4．
∴实数a的值可能为：3，4．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的定义域及其值域的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是基础题．
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则下列结论正确的是（　　）
A．f（0）＝﹣2
B．|f（x）|的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）
C．当x＜0时，
D．xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】由奇函数f（x）在x＝0处有定义，可得f（0）＝0，可判断A；由x＞0的函数的解析式，结合奇函数的定义可得x＜0时的函数解析式，可判断C；判断x＞0时的f（x）的单调性，可得x＜0时的f（x）的单调性，不等式xf（x）＜0等价为x＞0且f（x）＜0，x＜0且f（x）＞0，结合f（﹣1）＝f（1）＝0，解不等式可判断D；由y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象特点，结合单调性可判断B．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，故A错误；
当x＞0时，，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x﹣，
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x+，故C正确；
由x＞0时，，可得f（1）＝0，
又y＝x和y＝﹣在（0，+∞）递增，可得f（x）在（0，+∞）递增，
由奇函数的图象关于原点对称，可得f（x）在（﹣∞，0）递增，且f（﹣1）＝0，
所以xf（x）＜0等价为或，
解得0＜x＜1或﹣1＜x＜0，故D错误；
由y＝|f（x）|的图象可看做y＝f（x）的图象位于x轴上方的图象不变，将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，
所以y＝|f（x）|的递增区间为（﹣1，0），（1，+∞），故B正确．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的图象的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．化简（x＜0，y＜0）得 　﹣2x2y　．
【分析】根据指数幂的运算性质化简即可．
【解答】解：∵x＜0，y＜0，
∴＝2x2|y|＝﹣2x2y．
故答案为：﹣2x2y．
【点评】本题考查了根指数幂的化简，属于基础题．
14．若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数．若A是B的充分不必要条件，则b的取值可以是 　1　．（答案不唯一，写出一个即可）
【分析】直接利用不等式的解法和集合间的关系及充要条件的应用求出结果．
【解答】解：若A是B的充分不必要条件，则b＞0，且＜2，
整理得：b＞，b＝1符合题意，
故答案为：1．
【点评】本题考查的知识要点：集合间的关系，充分条件和必要条件，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．已知12a＝4，b＝log125，则log20100＝　　.（结果用a，b表达）
【分析】把12a＝4化为对数式求出a，再利用换底公式结合对数的运算性质求解．
【解答】解：∵12a＝4，∴a＝log124，
∴log20100＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了换底公式以及对数的运算性质，是基础题．
16．对∀x1∈R，∃x2∈[3，4]，使得不等式x12+x1x2+x22≥2x1+mx2+3成立，则实数m的取值范围是　（﹣∞，3]　．
【分析】根据二次函数的性质计算x12+（x2﹣2）x1的最小值，从而得出x2与m之间的关系，分类参数得出m≤x2﹣+1，求出右侧函数的最大值即可得出m的范围．
【解答】解：由得：x12+（x2﹣2）x1≥﹣x22+mx2+3，
∴当x1＝1﹣时，x12+（x2﹣2）x1取得最小值（1﹣）2+（x2﹣2）（1﹣）＝﹣+x2﹣1，
∴﹣+x2﹣1≥﹣x22+mx2+3，
∵x2＞0，∴m≤x2﹣+1，
∵x2∈[3，4]，∴x2﹣+1的最大值为3．
∴m≤3．
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．
四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣5）＜0}，B＝{y|y＝x2﹣4x+5}．
（1）求集合A、B；
（2）求A∩B，A∪B．
【分析】（1）通过解不等式求出A，根据二次函数配方求出B；
（2）由（1）求出其A与B的交集，A与B的并集．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，
因为y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1≥1，
所以集合B＝{y|y≥1}，
即A＝（﹣1，5），B＝[1，+∞）；
（2）因为A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{y|y≥1}，
所以A∩B＝[1，5），A∪B＝（﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了集合的混合运算，是一道基础题．
18．（12分）已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣2|（x∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）画出函数图象，写出函数f（x）的值域．

【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义证明即可．
（2）化简函数的解析式，作出函数的图象，即可求解函数的值域．
【解答】解：（1）函数f（x）为偶函数，
证明：因为x∈R，
所以f（﹣x）＝|﹣x+2|+|﹣x﹣2|＝|x﹣2|+|x+2|＝f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（2）函数f（x）＝|x+2|+|x﹣2|＝，
图象如图：
函数f（x）的值域为[4，+∞）．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的判断，函数值域的求法以及函数的图象的作法，是基础题．
19．（12分）已知正实数x，y满足x+2y﹣xy＝0．
（1）求xy的最小值；
（2）若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）直接根据基本不等式即可求出；
（2）利用乘“1”法可得x（y+1）﹣4的最小值，再得到关于m的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）因为x，y为正实数，x+2y﹣xy＝0，
所以，
解得：xy≥8，
当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，
则xy的最小值为8；
（2）由x+2y﹣xy＝0得：x+2y＝xy，则，
所以x（y+1）﹣4＝＝＝6（当且仅当，即，时，等号成立），
所以m2﹣m≥6，解得：m≥3或m≤﹣2，
故m的取值范围为{m|m≥3或m≤﹣2}．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[1，2]，a∈R．
（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）最小值为﹣4，求a的值．
【分析】（1）利用二次函数的性质，列出不等式组，求解即可；
（2）按照对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，利用函数的单调性确定函数的最值，求解即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣2ax+1开口向上，
由x∈[1，2]时，f（x）≤0恒成立，
所以，即，解得，
故实数a的取值范围为；
（2）函数f（x）＝x2﹣2ax+1的对称轴方程为x＝a，图象开口向上，
当a≤1时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝2﹣2a＝﹣4，解得a＝3（舍）；
当1＜a＜2时，函数f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，2]上单调递增，
所以，（舍）；
当a＞2时，函数f（x）在[1，2]上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝5﹣4a＝﹣4，解得．
综上所述，．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，二次函数最值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与分类讨论数学思想方法的运用，属于中档题．
21．（12分）2022年世界冬季奥运会在北京举行，为迎接这一盛会，我校预计在12月底举办冬季运动会．在会徽设计征集大赛中，高一（3）班的小北设计的会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要大批量生产．其中会徽的六个直角（阴影部分如图二）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图一所示，矩形ABCD周长为4cm，其中长边AD为xcm，将△BCD沿BD向△ABD折叠，BC折过去后交AD于点E．

（1）用x表示图一中△BAE面积；
（2）已知镀金工艺是2元/cm2，试求一个纪念章的镀金部分所需的最大费用．
【分析】（1）根据已知条件，可推得Rt△BAE≌Rt△DCE，再在Rt△BAE中，运用勾股定理得BA2+AE2＝BE2，解得解得，所以，再结合面积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得出AB＝（2﹣x）cm，
设ED＝acm，AE＝（x﹣a）cm，
∵∠AEB＝∠C′ED，∠EAB＝∠DC′E，AB＝DC′，
∴Rt△BAE≌Rt△DCE，
∴BE＝ED＝acm，
在Rt△BAE中，由勾股定理得BA2+AE2＝BE2，
即（2﹣x）2+（x﹣a）2＝a2，
解得，
所以，
所以Rt△BAE的面积为＝（1＜x＜2）．
（2）设一个纪念章的镀金费用为y元，
则y＝6×2×S△BAE＝，
当，x2＝2，
又因为1＜x＜2，
所以当时取到最大值．
故当AD为时，一个纪念章的镀金最大费用为元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）2，g（x）＝x2，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求函数（x＞1）的值域；
（2）若关于x的不等式f（x）＜（x）的解集中恰有两个整数，求a的取值范围．
【分析】（1）求出a＝1时的解析式，利用函数的单调性求解即可；
（2）先求解不等式的解集，然后分a＞1和a＜﹣1两种情况，分别分析求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1，＝，
因为x＞1，
所以，
因为﹣1＜0，
所以函数在（0，1）上单调递增，
所以函数的值域为（1，4）；
（2）由题意，（ax﹣1）2＜x2，
则（ax﹣1）2﹣x2＜0，即[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]＜0恰有2个整数解，
所以（a+1）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣1，
当a＞1时，不等式解为，
因为，恰有两个整数解，即1，2，
所以，2a﹣2＜1≤3a﹣3，
解得；
当a＜﹣1时，不等式解为，
因为，恰有两个整数解，即﹣1，﹣2，
所以，﹣2（a+1）＜1≤﹣3（a+1），
解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查了函数值域的求解，函数单调性的理解与应用，不等式的解集的理解与应用，属于中档题．