2023年中考九年级数学高频考点 专题训练 切线的证明

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2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--切线的证明

1．已知点P（m，n）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离可用公式d＝ |km−n+b|1+k2 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离．
解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．
所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为d＝ |km−n+b|1+k2=|3×(−1)−2+7|1+32=210=105 ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）直接写出点P（1，1）到直线y＝﹣2x+4的距离d＝　 　；
（2）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣5平行，求这两条直线之间的距离．
（3）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线 y=3x+9 的位置关系并说明理由．
2．如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交AB于P，CP＝BC，点Q是AmB上的一点．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠BAO＝25°，求∠AQB的度数；
（3）在（2）的条件下，若OA＝18，求AmB的长．
3．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为 AMFM=AEFO=153=35 的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6 3 ，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
4．如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O ， P 是圆外一点， PA 为 ⊙O 的切线，且 PA=PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点 D .

（1）求证： PB 为 ⊙O 的切线；
（2）若 tan∠BCA=43 ， ⊙O 的半径为5，求线段 PD 的长.
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．
6．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．

（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠P= 34 ，AD=6，求线段AE的长．
7．如图，在 △ABC 中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，∠A＝30°，求 DC 的长．（结果保留π）
8．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；
（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE= 12 AB，连接DE．
①求证：DE是⊙O的切线；
9．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6 3 ，连接OD，求扇形BOD的面积．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD＝∠DEB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝EP；
（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
11．如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， D 是 AC 的中点， E 为 OD 延长线上一点，且 ∠CAE=2∠C ， AC 与 BD 交于点 H ，与 OE 交于点 F ．

（1）求证： AE 是 ⊙O 的切线；
（2）若 DH=9 ， tanC=34 ，求直径 AB 的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F。

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=6，BC=3，求 DF 的长。
13．如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．

（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
14．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长.
15．如图，在 △ABC中，AB=AC ，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．

（1）求证： BD=CD；
（2）若⊙O 与AC 相切，求∠B的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 AD 的中点 E．（不写作法，保留作图痕迹）
16．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在⊙O上．
求作：⊙O的切线AB．

作法： ①作射线OA；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线AB．
则直线AB即为所求作的⊙O的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC=AD，BC= ▲ ．
∴BA ▲ OA．
∵ 点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线( ) (填写推理依据) ．

答案解析部分
1．【答案】（1）55
（2）解：当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，即点（0，4）在直线y＝﹣2x+4上，
因为点（0，4）到直线y＝﹣2x﹣5的距离为：d＝ |0×(−2)−4−5|1+4 ＝ 955 ，
因为直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，
所以这两条直线之间的距离为 955
（3）解：⊙Q与直线y＝ 3 x+9的位置关系为相切． 理由如下：
圆心Q（0，5）到直线y＝ 3 x+9的距离为：d＝ |3×0−5+9|1+(3)2 ＝ 42 ＝2，
而⊙O的半径r为2，即d＝r，
所以⊙Q与直线y＝ 3 x+9相切
2．【答案】（1）证明：连接OB，

∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PC＝CB，
∴∠CPB＝∠PBC，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠AOP＝90°，
∴∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CBP+∠ABO＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAO＝25°，
∴∠ABO＝25°，∠APO＝65°，
∴∠POB＝∠APO﹣∠ABO＝40°，
∴∠AQB＝12（∠AOP+∠POB）＝12×130°＝65°；
（3）解：由（2）得，∠AQB＝65°，
∴∠AOB＝130°，
∴AmB的长＝AQB的长＝230⋅π×18180＝23π．
3．【答案】（1）证明：连接OD， ∵D为弧BC的中点， ∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD， ∵DA＝DF， ∴∠BAD＝∠F，
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
在Rt△ODF中，DF＝6 3 ，
∴OD＝DF•tan30°＝6，
在Rt△AED中，DA＝6 3 ，∠CAD＝30°，
∴DE＝DA•sin30°＝3 3 ，EA＝DA•cos30°＝9，
∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，
由CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠DCO＝∠AOC＝60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝ 12×9×33−60360π×62 ＝ 2732−6π ．
4．【答案】（1）证明：如图，分别连接OA、OB，

∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB为⊙O的切线.
（2）解：由（1）可得△OAP≌△OBP，
∴∠AOP=∠BOP，
∴OD⊥AB，
∵∠AOB=2∠BCA=∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA=∠AOP，
∵tan∠BCA= 43，⊙O的半径5，∠PAO=90°，
∴tan∠AOP=43=APOA=AP5，
∴AP=203，
∴OP=OA2+AP2=52+（203）2=253，
∵12OA·AP=12OP·AD，即5×203=253AD，
∴AD=4，
∴OD=ADtan∠AOD=443=3，
∴PD=OP-OD=253-3=163.
5．【答案】（1）证明：如图，连接OE，

∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵ BE平分∠ABC．
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠OEB=∠EBC，
∴OE∥BC，
∵ ∠ACB=90° ，
∴∠OEA=∠ACB=90°，
∴ AC是⊙O的切线
（2）解：过O作OH⊥BF，
∴BH= 12 BF=3，四边形OHCE是矩形，
∴CE=OH，
在Rt△OBH中，BH=3，OB=5，
∴OH= OB2−OH2 =4，
∴CE=4.
6．【答案】（1）解：结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．
又∵∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AD．
∵AD⊥PD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴PC是⊙O的切线
（2）解：连接BE，在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P= 34 ，
∴PD=8，AP=10，设半径为r．
∵OC∥AD，∴△OPC∽△APD
∴OCAD=OPAP ，即 r6=10−r10 ，解得r= 154 ．
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠D=90°，
∴BE∥PD，∴∠EBA=∠P
∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P= 152 × 35 = 92 ．
7．【答案】（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AC ，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解： ∵∠A=30°，AC=BC,
∴∠B=∠A=30°，
∴∠DOC=60°，
∵BC=4，
∴OB=OC=2，
∴lDC=60π×2180=2π3.
8．【答案】（1）解：如图2，连接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，
∴∠POB=90°，
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△POB中，∠ABC=30°，
∴OP=OB•tan30°=6× 33 =2 3 ，
在Rt△POD中，
PD= OD2−OP2=62−(23)2=26
（2）证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵DC=AC ，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE= 12 AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线
②求PC的长．
解：由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6× 32 =3 3 ，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF= 12 DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），
∴CP=CF﹣PF=3 3 ﹣3．
9．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）证明：连接OD，

∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（3）解：∵AB＝12，AD＝6 3 ，
∴sinB＝ ADAB ＝ 6312 ＝ 32 ，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝ 60⋅π×62360 ＝6π．
10．【答案】（1）证明：连接OE，

∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）证明：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴AE为∠CAB的角平分线，
又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝EP；
（3）解：连接PF，

∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝ AC2−CG2 ＝ 225−144 ＝9，
∵∠CAE＝∠EAP，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∵CE＝EP，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CE＝PE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵∠CAE＝∠EAP，∠EPA＝∠ACE＝90°，CE＝EP，
∴△ACE≌△APE（AAS），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝ 152 ，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝ 152 ×6＝45．
11．【答案】（1）证明：∵D 是 AC 的中点，
∴OE⊥AC ，
∴∠AFE=90° ，
∴∠E+∠EAF=90° ，
∵∠AOE=2∠C ， ∠CAE=2∠C ，
∴∠CAE=∠AOE ，
∴∠E+∠AOE=90° ，
∴∠EAO=90° ，
∴AE 是 ⊙O 的切线
（2）解：∵∠C=∠B ，
∵OD=OB ，
∴∠B=∠ODB ，
∴∠ODB=∠C ，
∴tanC=tan∠ODB=HFDF=34 ，
∴设 HF=3x ， DF=4x ，
∴DH=5x=9 ，
∴x=95 ，
∴DF=365 ， HF=275 ，
∵∠C=∠FDH ， ∠DFH=∠CFD ，
∴△DFH∽△CFD ，
∴DFCF=FHDF ，
∴CF=365×365275=485 ，
∴AF=CF=485 ，
设 OA=OD=x ，
∴OF=x−365 ，
∵AF2+OF2=OA2 ，
∴(485)2+(x−365)2=x2 ，
解得： x=10 ，
∴OA=10 ，
∴直径 AB 的长为20．
12．【答案】（1）证明：连接OD

∵AC 平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵OD=OB
∴∠ABD=∠ODB
∴∠ODB=∠CBD
∴OD//BC
∵∠C=90°
∴∠ODA=∠C=90°
∵D在圆上
∴AC是⊙O的切线
（2）解：∵OD//BC
∴∠AOD=∠ABC
∵∠A=∠A
∴△AOD~△ABC
∴AOAB=ODBC
设半径为r，则AO=6-r
∴6−r6=r3
∴r=2
∵在Rt△AOD中，AD=AO2−OD2=42−22=23

在Rt△ABC中,AC=AB2−BC2=62−32=33
∴CD=AC-AD=33−23=3

∴在Rt△BDC中,BD=32+(3)2=23
∴AD=BD
∴∠ABD=∠A
∴∠ABD=∠CBD=∠A=30°
∴DF =30°×π×2180°=π3

13．【答案】（1）证明：连接OP，如图所示：
∵PA=PC，∠C=30°，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠APC=120°，
∵OA=OP，
∴∠OPA=∠A=30°，
∴∠OPC=120°﹣30°=90°，
即OP⊥CP，
∴CP是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，
∵OP=OB=4，
∴△OBP是等边三角形，
∴阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积= 60π⋅42360 ﹣ 12 ×4×2 3 = 83π ﹣4 3 ．
14．【答案】（1）解：连接OC.

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC.
在△OAP和△OCP中，∵OA=OCPA=PCOP=OP ，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP.
∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.
（2）解：∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°.
∵AB=10，∴OC=5.
由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB=5 3 .
15．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD
（2）∵ ⊙ O 与 AC 相切 ，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°.
∠B=45°
（3）如下图，点E就是所要做的AD的中点.

16．【答案】（1）解：补全图形如图所示，

（2）解：证明：连接BC，BD．
由作图可知，
AC=AD，BC=BD．
∴BA⊥OA，
∵ 点A在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，