广东省东莞市东莞中学2022-2023学年高一下学期3月检测数学试题及答案

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东莞中学2022~2023学年第二学期第一次月考高一数学（答案与解析）满分150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．【解答】解：选：C．2．【解答】解：一个八棱柱有10个面，正确；在四面体内部选一点，与四个顶点的连线，可以割成4个棱锥，所以B正确；棱台侧棱的延长线必相交于一点，满足棱台的定义，所以C正确；矩形绕一条直角边旋转一周一定形成一个圆柱，所以D不正确．故选：D．3．【解答】解：曲线C1：y＝2sin（2x+）上的点向右平移个单位长度，得到y＝2sin2x再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2的方程为y＝2sin4x．故选：A． 4．【解答】解：∵||＝2，||＝，与的夹角为，∴＝，∴＝＝＝＝．故选：B．5．【解答】解：如图，∵点D是线段BC上任意一点，∴存在k，使得，∵点M是线段AD的中点，∴，∴＝，又，∴，．故选：D．6．【解答】解：因为△ABC中，A＝60°，BC＝4，所以△ABC的外接圆半径＝＝，如图，顶点A到BC的距离的最大值为：2sin＝＞，满足条件的△ABC的个数为：2个．故选：C．7．【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，故弧长为AB×，故莱洛三角形的周长＝3×AB×，所以AB＝，＝＝，故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABC＝××﹣×××sin＝﹣，故莱洛三角形的面积为×××sin+3×（﹣）＝．故答案为：B．8．【解答】解：∵，ab≠0，其中，，∵函数的图象关于对称，∴，即，化简得，则，即，即，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【解答】解：故选：ABC．10．【解答】解：A，∵＝，∴﹣＝（﹣），∴＝+，∴A正确，B，∵＝2﹣3，2+（﹣3）≠1，∴M，B，C不共线，∴B错误，C，若点M是△ABC的重心，则＝﹣（+），＝﹣（+），＝﹣（+），∴++＝，∴C正确，D，若且，可得3＝3x+3y，，设＝3，则N，B，C三点共线，如图，由图可得MN＝AN，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．11．【解答】选：BC．12．【解答】解：因为3bcosC+3ccosB＝a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC+3sinCcosB＝asinA，即3sin（B+C）＝asinA，因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sinA，且sinA≠0，所以a＝3．选项A正确，选项B：∵△ABC有两解，则bsinA＜a＜b，则bsin＜3＜b，解得3＜b＜3，∴B错误，选项C：由正弦定理＝，得＝，即c＝2acosA＝6cosA，因为△ABC为锐角三角形，所以，所以＜A＜，所以c＝6cosA∈（3，3），故选项C正确，选项D：∵a＝3，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得b＝2c，由sin（π﹣3C）＝2sinC，可得：sinCcos2C+cosCsin2C＝2sinC，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C＝，故cosC＝，sinC＝，可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，由正弦定理＝，a＝3可得：c＝，b＝2，则a+b+c＝3+3，S△ABC＝bcsinA＝×2××＝，设△ABC的内切圆半径为r，则r＝＝＝，S△ABO＝cr＝××＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：易知，点A为MS的中点，点B为NS的中点，∴，∴，∴＝4×（4﹣2×2+4）＝16，∴．故答案为：4．14．【解答】解：因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，所以cosα＝，sinβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×+×＝，所以α+β＝或，因为α，β为锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，所以α，β∈（0，），所以α+β＝．故答案为：；．15．【解答】解：因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，所以cosα＝，sinβ＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×+×＝，所以α+β＝或，因为α，β为锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，所以α，β∈（0，），所以α+β＝．故答案为：；．16．【解答】解：已知平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，，设，0≤λ≤1，则＝＝＝＝＝，又0≤λ≤1，则的取值范围是，  四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），A（4，0），x1＝4+||cos（180°﹣∠OAB）＝4+||cos60°＝5，y1＝||sin（180°﹣∠OAB）＝，x2＝x1﹣||cos（∠OAB+∠ABC﹣180°）＝4，y2＝||sin（∠OAB+∠ABC﹣180°）+y1＝2，所以B（5，），C（4，2）．（2）＝（﹣1，），＝（4，0），所以在向量上的投影为 ＝＝﹣1，所以所求投影向量为（﹣1，0）． 18．【解答】解：（1）由表格可得最大值为3，最小值为﹣1，则A＝＝2，B＝＝1，又＝+，∴ω＝1．再根据五点法作图，可得1×+φ＝，∴φ＝﹣，故函数f（x）＝2sin（x﹣）+1．（2）根据（1）的结果，函数y＝f（nx）＝2sin（nx﹣）+1（n＞0）的最小正周期为 ＝，∴n＝3．在区间上，nx﹣＝3x﹣∈[﹣，]，故当3x﹣＝时，函数f（nx）取得最大值为1；当3x﹣＝﹣时，函数f（nx）取得最小值为﹣+1，故函数y＝f（nx）在区间上的值域为[﹣+1，2]． 19．【解答】【解答】解：（1）由题意可得，EH＝，FH＝，EF＝，∵BE＝20tanθ≤20，AF＝，∴，即，∴，，故L＝20×，．（2）设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，故L＝，∵，∴sinθ+cosθ＝t＝∈，∵L＝在 上是单调递减函数，故当，即或时，L取得最大值米．20．【解答】   21．【解答】解：（1）设外轮到我国海岸线的距离PQ为x海里，在△ABP中，sin∠APB＝sin（π﹣α﹣β）＝sin（α+β），由正弦定理得，所以BP＝，在Rt△BPQ中，x＝PQ＝BPsin（π﹣β）＝BPsinβ＝，当x≤d，即≤＝时，就该向外轮发出警告，今其退出我国海域．（2）当α+β＝时，＝sinαsin（﹣α）＝sinα（cos）＝（sinαcosα+sin2α）＝sinα（sin2α+）＝sin（2α﹣）+，要使不被警告，则＞＝，即sin（2α﹣）+＞，解得sin（2α﹣），所以2kπ+＜2α﹣＜2kπ+，k∈Z，即kπ+＜α＜kπ+，k∈Z，又因为，所以＜α＜．当α∈（，）时可以避免使外轮进入被警告区域． 22．【解答】解：（1）．（2）．