2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（北京A卷）（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京A卷）

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意， ；

故选：C.

2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.

故选：A

3．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】由于半径为1的圆（设为圆）经过点，

所以圆的圆心的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

到直线距离为，

所以圆的圆心到直线距离的最大值为.

故选：C

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】A选项，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A错误；

B选项，的定义域为R，且，

故为奇函数，

且为增函数，为减函数，故为增函数，故B正确；

C选项，为减函数，C错误；

D选项，不是单调函数，在上单调递减，D错误.

故选：B

5．函数是（    ）

A．最小正周期为的偶函数

B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的奇函数

【答案】C

【详解】，

，

即函数为偶函数，

又，

故函数为最小正周期为的偶函数.

故选：C.

6．设等差数列的通项公式为，则“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】等差数列的通项公式为，因为函数满足对恒成立，

即对恒成立，因此对恒成立，为递增数列，

反之，为递增数列，即对恒成立，则对恒成立，

因此函数满足对恒成立，

所以“函数满足对恒成立”是“为递增数列”的充要条件.

故选：C

7．是无理数的近似值,被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…,那么依次类推，第个黄金三角形的周长大约为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；

以此类推，第个黄金三角形的底为，腰长为，

所以周长为

因为，所以，

所以原式

故选：C

8．若，则（    ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B

【详解】，则．

故选：B.

9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．已知鳖臑的四个顶点均在表面积为的球面上，则该鳖臑体积的最大值为（    ）．

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【详解】把鳖臑放到长方体中，如下图所示：

设该长方体的长、宽、高分别为，显然该长方体的对角线长为，

所以有，

显然该鳖臑体积为，

因为，当且仅当时取等号，

即，

当且仅当时取等号，

故选：B

10．已知是非零向量，且，设为任意实数，当与的夹角为时，的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】根据极化恒等式:

有．

以O为起点，设的终点分别为A，B，C，M为的中点，则点C在以点M为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线l上，如图，

因此的最小值为．

故选：C.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．函数的定义域为__________.

【答案】

【详解】由已知得，解得且，

即函数的定义域为.

故答案为：.

12．已知双曲线C的左焦点为F，过F且倾斜角为的直线与C的右支交于点P，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．

【答案】##

【详解】由题意可知，所以，，

因此由余弦定理可知：，

设该双曲线的另一个焦点坐标为，因为，所以三角形是等边三角形，

因此，

由双曲线的定义可知：，

所以C的离心率为，

故答案为：

13．对于数列，令，给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则；

③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；

④若对任意的，都有，则有.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①②④

【详解】对于①：

因为，

且因为，

所以，

所以，

故选项①正确；

对于②：若，则

所以，

所以两式相减得，

所以，

所以，

所以，

故选项②正确；

对于③：，

，

所以若对任意的都成立，

则有，

所以

，

因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；

对于④：

若对任意的，都有，

则有.

.

故选项④正确；

故答案为：①②④.

14．已知函数，则______；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为______.

【答案】          (答案不唯一)

【详解】，

所以，

将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，

则，

所以的对称中心为.

故的一个对称中心为.

故答案为：；(答案不唯一).

15．若函数存在最小值，则的一个取值为______；的最大值为______.

【答案】     0（答案不唯一）     4

【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0；

对于，开口向上且对称轴为，

所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为；

综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增，

此时恒成立，所以不存在最小值；

当时，在上递减，上递增，此时最小值为0；

当时，在上递减，,上递增，且，

又，

若时，，此时最小值为0；

若时，，此时最小值为0；

若时，，此时最小值为0；

若时，，此时最小值为0；

若时，，此时不存在最小值；

综上，，故m的最大值为4.

故答案为：0（答案不唯一），4

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．在中内角所对的边分别为，且，若．

(1)求角的大小

(2)若，求的值

【答案】(1)(2)

【详解】（1）由题意得，；

整理得，；

∴；

由得，，又；

∴；

∴；

∴；

（2）∵，

∴由正弦定理可得，可得为锐角，可得，

∴

．

17．如图在几何体中，是等边三角形，直线平面，平面平面，，．

(1)证明：；

(2)在“①平面；②平面”两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

点M为线段上的一点，满足__________，直线与平面所成角的大小为，求平面与平面的夹角的余弦值．

（请在答题纸上注明你选择的条件序号）

【答案】(1)证明见解析(2)

【详解】（1）由题知：直线平面，∵平面，∴

平面平面，平面平面，

 平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）若选择①:

因为平面，平面，平面平面

所以，又,因此四边形为平行四边形，即为中点

若选择②:

因为平面，平面，所以，又

所以四边形为平行四边形，即为中点，

（选择①和选择②都能证明为中点，以下的解析过程两种选择相同.）

所以 ，，

因为直线平面，所以直线与平面所成角为，有，

 则，，

如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，

设平面的一个法向量为 且 ，

  ，令，则，解得 ，

平面的一个法向量为，，，

，令，则，，

设平面与平面所成锐二面角为，

 .

所以平面与平面的夹角的余弦值为.

18．地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.

表1

假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.

(1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；

(2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；

(3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.

【答案】(1)(2)分布列答案见解析，

(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析

【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，

亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，

估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，

，，

，

，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

.

（3）解：建议农科所推广该项技术改良，

设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，

设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，

所以，增产的会产生增加的收益为，

故建议农科所推广该项技术改良.

19．已知椭圆C:的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于、两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点，如果，求的值.

【答案】(1)(2)

【详解】（1）由题设得，解得，，，

所以椭圆的方程为.

（2）由，得，

由，得.

设、，则，，

所以点的横坐标，纵坐标，

所以直线的方程为.

令，则点的纵坐标，则，

因为，所以点、点在原点两侧.

因为，所以，所以.

又因为，，

所以，解得，所以.

20．设函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)过坐标原点O作曲线的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为

(2)(3)证明见解析，切点的横坐标为

【详解】（1）时，，

∴，

∵当，，为单调减函数．

当，，为单调增函数．

∴的单调减区间为，单调增区间为；

（2）∵，在区间上是减函数，

∴对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在上单调递减，∴，

∴；

（3）设切点为，

由题意得，

∴,

∴曲线在点切线方程为，

即．

又切线过原点，

∴，

整理得，

设，

则恒成立，在上单调递增，

又，

∴在上只有一个零点，即，

∴切点的横坐标为，

∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为.

21．若无穷数列的各项均为整数.且对于，都存在，使得，则称数列满足性质.

(1)判断下列数列是否满足性质，并说明理由.

①；

②.

(2)若数列满足性质，且，求证：集合为无限集；

(3)若周期数列满足性质，求数列的通项公式.

【答案】(1)①不满足，②满足(2)证明见详解(3)或

【详解】（1）对①：取，对，则，可得，

显然不存在，使得，故数列不满足性质；

对②：对于，则，

故，

∵，则，且，

∴存在，使得，故数列满足性质.

（2）若数列满足性质，且，则有：

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

故数列中存在，使得，即，

反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

即这与假设相矛盾，故集合为无限集.

（3）设周期数列的周期为，则对，均有，

设周期数列的最大项为，最小项为，

即对，均有，

若数列满足性质：

反证：假设时，取，则，使得，

则，即，

这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；

反证：假设时，取，则，使得，

这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；

综上所述：对，均有，

反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，

∵，即为数列中的项，

这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，

∵，则，

当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，

使得，解得或，即或符合题意；

当时，即数列至少有两个不同项，则有：

①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

综上所述：或.