2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（北京B卷）（参考答案）

2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京B卷）

数学·参考答案

11．         12．          13．            14．          2022

15．         

16．（13分）【详解】（1）在中，，，，

由正弦定理可得，故，

因为是锐角三角形，所以 ……………………………………6分

（2）由（1）得，所以.

在中，，，，

所以.

所以的周长为.……………………………………13分

17．(14分)【详解】（1）由甲班的统计数据知：甲班学生每天学习时间在5小时以上的频率为，

由此估计高三年级学生每天学习时间达到5小时以上的频率为，人数为人，

所以估计该校高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数480.……………………………………3分

（2）依题意，甲班自主学习时长不足4小时的人数为：人，

乙班自主学习时长不足4小时的人数为：人，

的可能值为：，

，，，……………………………………6分

所以的分布列为：

的数学期望为.……………………………………8分

（3）甲班学生每天学习时间的平均数为，

甲班学生每天学习时间的方差为，

乙班学生每天学习时间的平均数为，

甲班学生每天学习时间的方差为，

所以.……………………………………14分

18．(14分)【详解】（1）因为，，所以二面角的平面角为．

因为，，所以，．

因为，所以．

因为，

所以，故二面角余弦值为．………………………6分

（2）因为是三棱台，所以直线、、共点，设其交点为O，

因为E、F分别是棱、的中点，所以直线经过点O．

因为，，且面，所以面，

又面，所以．

因为，，所以．

因为平面，平面，所以，………………………10分

所以，，故F为的中点．

三棱台的体积．………………………14分

19．(14分)【详解】（1）根据题意，有，且在处的切线的斜率存在，

设切线方程为，由可得，

由解得，故切线的方程为：．……………………………………5分

（2）设，同（1）可得，

进而，从而，因此．

设，由可得，

故即

因此设，显然，则，

解得，……………………………………10分

且由点到直线的距离公式，

因此，

其中，等号当即时取得，因此所求最小值为8．……………………………………14分

20．(15分)【详解】（1）时，，

∴，

∵当，，为单调减函数．

当，，为单调增函数．

∴的单调减区间为，单调增区间为；…………………………4分

（2）∵，在区间上是减函数，

∴对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在上单调递减，∴，

∴；……………………………………8分

（3）设切点为，

由题意得，

∴,

∴曲线在点切线方程为，

即．……………………………………10分

又切线过原点，

∴，

整理得，

设，

则恒成立，在上单调递增，

又，

∴在上只有一个零点，即，

∴切点的横坐标为，

∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为.……………………………………15分

21．(15分)【详解】（1）……………………………………2分

（2）.

考察，由操作规则，下标k输出了总值为，收入了

因此，由，

∴.

.……………………………………5分

方法一：极端原理：

设，∴，且，

∴，因此等号成立，有，

即的后一项也是最大值，重复n次这个过程，则所有数都是最大值，

即，∴.……………………………………8分

方法二：考虑整体或者局部：

由，得到，

遍历所有k有，

从而有，

而，从而有，

∴，

即，即∴.……………………………………8分

（3）X各项和为，每次运算都不会改变总和，

由抽屉原理，至少有一项，因此可以进行无数次P运算.

，因此各项值最多有种可能.

从而存在不同的正整数，满足，

将数列看作起点，，相当于次P运算回到原始状态，……………………………………10分

由（2）的结论，每个下标都输出过.

取，当时，任取i，两个相邻下标，考察项的和：

存在，第t次P运算在下标i输出，

则.

现证明：当时，即第h次P运算，恒有.

当时，已证；

设时成立，即，

当时

1）若第h次P运算不在下标输出，由规则，

∴；……………………………………13分

（2）若第h次P运算在i或下标输出，则与第t次运算同理可得

因此总有，

因此，当后，每个下标都有输出，其任何相邻的两个至少有一个是非零，从而中至少一半的项非零.……………………………………15分