2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（全国乙卷理）（全解全析）

这是一份2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（全国乙卷理）（全解全析），共19页。试卷主要包含了设F为抛物线C等内容，欢迎下载使用。

2023年高考数学第二次模拟考试卷
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1．已知集合A=x∈Rx2−2x−3≤0，B=x∈Rx−2≥1 ，则A∩(∁RB)=（    ）
A．(1,3] B．[1,3] C．[1,3) D．(1,3)
【答案】D
【分析】解不等式求得集合A，求出集合B的补集，根据集合的交集运算，可得答案.
【详解】因为集合A=x∈Rx2−2x−3≤0=x∈R−1≤x≤3，B=x∈Rx−2≥1 ，
所以∁RB=x∈Rx−2<1=x∈R1 所以A∩∁RB=x∈R1 故选：D．
2．已知复数z=1−2i，且z+az+b=2i，其中a,b为实数，则a+bi=（    ）
A．7 B．11 C．13 D．4
【答案】C
【分析】根据复数的运算，结合复数相等得a=2b=−3，进而再求复数模即可.
【详解】解；因为复数z=1−2i， a,b为实数，
所以z+az+b=1−2i+a1+2i+b=1+a+b+2a−2i=2i，
所以1+a+b=02a−2=2，解得a=2b=−3，
所以a+bi=2−3i=4+9=13.
故选：C
3．已知向量a=1,1，b=1,−2，c=x,−1，若c⊥a+2b，则x=（   ）
A．1 B．2 C．-2 D．-1
【答案】D
【分析】因为向量c⊥a+2b，所以c⋅a+2b=0，代入坐标运算即可．
【详解】因为向量a=1,1，b=1,−2，所以a+2b=3,−3，
因为c⊥a+2b，所以c⋅a+2b=3x+−1×−3=0，可得x=−1，
故选：D．
4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则下列结论正确的是（    ）

A．1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a2023=20231012 B．S7=85
C．a98=99×1002 D．an−an−1=n+1n≥2
【答案】A
【分析】先根据规律写出递推关系式,即可判断选项D的正误;再利用累加法即可求得通项公式,即选项C正误,求出前7项,即可得选项B正误,求出1an通项公式,利用裂项相消即可得选项A的正误.
【详解】解:由题知,第一层有1个球,
第二层有3个球,即1+2=3,
第三层有6个球,即3+3=6,
则第四层的球数为6+4=10,
当第n层有an个球时,
第n+1层有an+1=an+n+1个球,
所以an−an−1=n,n≥2,
故选项D错误;
因为an=an−1+n,
an−1=an−2+n−1,
⋯,
a3=a2+3,
a2=a1+2,
将上述式子相加可得:
an=a1+2+3+⋯+n
=1+2+3+⋯+n
=n1+n2,
故1an=2n1+n=21n−1n+1,
所以1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a2023=21−12+12−13+⋯+12023−12024=20231012,
故选项A正确;
因为an=n1+n2,
S7=a1+a2+⋯+a7
=22+62+122+⋯+562=1682
=84≠85,
故选项B错误;
因为a98=98×992,
故选项C错误.
故选:A
5．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若NF=MN，则MF=（    ）
A．33 B．1 C．433 D．4
【答案】D
【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l与x轴交点为E，画出图象，由抛物线定义及NF=MN可知△MNF是正三角形，结合平行关系可判断∠EFN=60°，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题可知，p=2，抛物线焦点F为1,0，准线l为x=−1，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，

由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知MN=MF，
因为NF=MN，所以△MNF是正三角形，则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，
所以∠EFN=∠MNF=60°，所以MF=NF=2EF=2p=4．
故选：D
6．在计算机的算法语言中有一种函数x叫做取整函数 (也称高斯函 数)，x表示不超过x的最大整数. 例如 :1.5=1,2=2,−3.5=−4. 取整函数在科学和工程上有广泛应用. 下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题， 若输入的k的值为 64 ， 则输出S的值是（    ）

A．21 B．76 C．264 D．642
【答案】C
【分析】根据给定的程序框图，分析i的最大取值，再利用高斯函数的意义计算作答.
【详解】初始值S=0，i=0，输入k=64，当i<64时，总是执行“是”，并且当i=63时，进入循环体，i=64，
计算并进入判断框，不等式不成立，退出循环，输出S=[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log264]，
而[log21]=0，[log22]=[log23]=1，即1有2个；[log24]=⋯=[log27]=2，即2有4个；
log28=⋯=log215=3，即3有8个；log216=⋯=log231=4，即4有16个；
log232=⋯=log263=5，即5有32个；log264=6，6有1个，
所以S=log21+log22+log23+⋯+log264=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264.
故选：C
7．在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线AA1与直线BB1的交点为P，则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为（    ）
A．82π3 B．642π3 C．8π D．32π
【答案】A
【分析】先确定四棱锥P−ABCD为正四棱锥，从而得出外接球的球心O在直线PO1上，再由勾股定理确定半径，进而得出四棱锥P−ABCD的外接球的体积.
【详解】设AC与BD相交于点O1因为四棱台ABCD−A1B1C1D1为正四棱台，直线AA1与直线
BB1的交点为P，所以四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以PO1⊥平面ABCD.
四棱锥P−ABCD的外接球的球心O在直线PO1上，连接BO，设该外接球的半径为R.
因为AB=12=2,AB平行于A1B1，所以PB=BB1=2，BO1=2，PO1=2.
所以BO2=O1O2+BO12，即R2=22+2−R2，解得R=2，
则四棱锥P−ABCD的外接球的体积为4π3R3=82π3.
故选：A

8．在等差数列an中，若a1=1923,am=1953,an=2023，则m+n的最小值是（    ）
A．2 B．8 C．15 D．19
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式可得d=30m−1=100n−1，再根据m,n都为大于1的正整数，即可得出m+n的最小值是15.
【详解】由题意可知，设等差数列an的公差为d，
则am=a1+(m−1)d=1923+(m−1)d=1953，an=a1+(n−1)d=1923+(n−1)d=2023
解得d=30m−1=100n−1，即m=3n+710；
易知m,n>1且m,n∈N+，
即3n+7是10的整数倍，易得m=2,3时，n不是整数，
所以m=4时，n的最小值为n=11，满足题意；
所以m+n的最小值为4+11=15.
故选：C
9．已知函数f2x+1是定义在R上的奇函数，且f2x+1的一个周期为2，则（    ）
A．1为fx的周期 B．fx的图象关于点12,0对称
C．f2023=0 D．fx的图象关于直线x=2对称
【答案】C
【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确.
【详解】因为y=tanπx2,x≠2k+1,k∈Z0,x=2k+1,k∈Z为定义域为R奇函数，周期为2，
故函数f2x+1=tanπx2,x≠2k+1,k∈Z0,x=2k+1,k∈Z满足条件，
令2x+1=t可得，ft=tantπ−π4,t≠4k+3,k∈Z0,t=4k+3,k∈Z，
函数y=ft的最小正周期为4，对称中心为2k+1,0，k∈Z，
函数y=ft没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数f2x+1是定义在R上的奇函数，
所以f−2x+1=−f2x+1，
取x=0可得，f1=0，
因为f2x+1的一个周期为2，
所以f2x+4+1=f2x+1，
取x=μ−12可得，fμ+4=fμ，
由fμ+4=fμ可得，函数fx为周期为4的函数，
所以f2023=f505×4+3=f3=0，C正确；
故选：C.
10．12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ）
A．110 B．15 C．310 D．25
【答案】D
【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【详解】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为a,b,c,d,e，
则共有：a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e10种情况，
满足条件的有4种情况，则p=410=25.
故选：D
11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线C的左顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且AP⋅AQ=−4a2，则双曲线C的离心率为（    ）
A．2 B．3 C．5 D．2
【答案】C
【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入AP⋅AQ=−4a2可得b与a的关系式，再由a2+b2=c2及离心率公式可求得结果.
方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.
【详解】方法一：依题意，易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2.
又由双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，易得双曲线C的渐近线方程为y=±bax.

当y=bax时，如图，设P(x0,y0)，则Q−x0,−y0.
联立y=baxx2+y2=c2，解得x=ay=b或x=−ay=−b，所以P(a,b)，Q(−a,−b).
又因为A(−a,0)，所以AQ⊥x轴.
所以AP=(2a,b)，AQ=(0,−b).所以AP⋅AQ=−b2=−4a2，所以b=2a.
因为a2+b2=c2，所以5a2=c2.
同理，当y=−bax时，亦可得5a2=c2.
故双曲线C的离心率为e=ca=5.
故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且|PQ|=2c，
所以AP⋅AQ=14(AP+AQ)2−(AP−AQ)2=14|2AO|2−|QP|2=a2−c2=−4a2，所以5a2=c2，所以e=ca=5.
故选：C.
12．已知函数fx=log33x−1+3−12x，若fa−1≥f2a+1成立，则实数a的取值范围为（    ）
A．−∞,−2 B．−∞,−2∪0,+∞
C．−2,43 D．−∞,−2∪43,+∞
【答案】C
【分析】构造函数gx=log33x+1−12x，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在0,+∞单调递增，进而fx关于直线x=2对称，且在2,+∞单调递增，结合条件可得a−1−2≥2a+1−2，解不等式即得.
【详解】因为gx=log33x+1−12x=log33x2+3−x2的定义域为R，又g−x=log33−x2+3x2=gx，故函数gx为偶函数，
又x∈0,+∞时， 3x2≥1，y=3x2单调递增，故由复合函数单调性可得函数y=3x2+3−x2在0,+∞单调递增，函数y=log3x在定义域上单调递增，
所以gx在0,+∞单调递增，
所以fx=log33x−1+3−12x=1+log33x−2+1−12x =log33x−2+1−12x−2=gx−2，
所以fx关于直线x=2对称，且在2,+∞单调递增．
所以fa−1≥f2a+1⇔a−1−2≥2a+1−2，
两边平方，化简得a+23a−4≤0，解得−2≤a≤43．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数gx=log33x+1−12x，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。
13．已知a>0,b>0，且ab=a−b+3，则a+b的最小值为___________.
【答案】22
【分析】利用等式ab=a−b+3求解b，代入a+b计算，结合基本不等式，即可求得a+b的最小值.
【详解】因为ab=a−b+3，解得：b=a+3a+1=1+2a+1，
则a+b=a+1+2a+1≥22
当且仅当a=2−1，b=2+1时，“=”成立
故答案为：22.
14．经过点P1,1以及圆x2+y2−4=0与x2+y2−4x+4y−12=0交点的圆的方程为______．
【答案】x2+y2+x−y−2=0
【分析】求出两圆的交点坐标，设出所求圆的一般方程，将三点坐标代入，解出参数，可得答案.
【详解】联立x2+y2−4=0x2+y2−4x+4y−12=0，整理得y=x+2，
代入x2+y2−4=0，得x2+2x=0，解得x=0或x=−2，
则圆x2+y2−4=0与x2+y2−4x+4y−12=0交点坐标为(0,2),(−2,0)，
设经过点P1,1以及(0,2),(−2,0)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则2+D+E+F=04+2E+F=04−2D+F=0，解得D=1E=−1F=−2，
故经过点P1,1以及圆x2+y2−4=0与x2+y2−4x+4y−12=0交点的圆的方程为x2+y2+x−y−2=0，
故答案为：x2+y2+x−y−2=0
15．x+1x+11−x6的展开式中x3的系数为______（用数字作答）.
【答案】10
【分析】确定x+1x+11−x6=x1−x6+1x1−x6+1−x6，1−x6展开式的通项为Tr+1=C6r−1r⋅xr，取r=2，r=3，r=4计算得到答案.
【详解】x+1x+11−x6=x1−x6+1x1−x6+1−x6，
1−x6展开式的通项为Tr+1=C6r−xr=C6r−1r⋅xr，
取r=2得到T3=C62−12⋅x2=15x2；
取r=3得到T4=C63−13⋅x3=−20x3；
取r=4得到T5=C64−14⋅x4=15x4；
故x3的系数为15−20+15=10.
故答案为：10
16．若函数y=ex与y=ea(lnx+a)的图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.
【答案】(1,+∞)
【分析】令fx=ex−ea(lnx+a),x>0,根据题意fx在0,+∞有两个零点，求导借助导数研究单调性分析得，fx的极小值fx0<0，其中x0ex0=ea，进而转化为能成立问题，借助基本不等式求解即可.
【详解】令fx=ex−ea(lnx+a),x>0，
函数y=ex与y=ea(lnx+a)的图像有两个不同的公共点，
等价于fx在0,+∞有两个零点，
f'x=ex−eax,x>0，
令f'x=0，则xex−ea=0，
令gx=xex−ea,x>0，g'x=ex+xex,x>0，易得g'x>0恒成立，
故gx在0,+∞单调递增，易得limx→0gx<0,limx→+∞gx>0，
故存在x0∈0,+∞，使得gx0=0，即f'x0=0，即x0ex0=ea，
当x∈0,x0时，gx<0，等价于f'x<0，则fx在0,x0上单调递减，
当x∈x0,+∞时，gx>0，等价于f'x>0，则fx在x0,+∞上单调递减，
故fx0为极小值，因为fx在0,+∞有两个零点，
则fx0<0，即ex0−ea(lnx0+a)<0，
因为x0ex0=ea，则x0=ea−x0,lnx0=a−x0，
则ex0−x0ex0(2a−x0)<0，即1x0+x0<2a，解得1 故答案为：(1,+∞).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=32，且满足csinCsinA−c=bsinBsinA−a．
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且BD=3，求△ABC的面积．
【答案】(1)6
(2)332

【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；
（2）根据角平分线利用三角形面积间的关系得ac=a+c，再由余弦定理，求出ac即可得解.
【详解】（1）csinCsinA−c=bsinBsinA−a，
由正弦定理，得c2a−c=b2a−a，则a2+c2−b2=ac，
即cosB=a2+c2−b22ac=12，
因为0 设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知2R=bsinB=3232=26，
所以△ABC的外接圆半径为6．
（2）由BD平分∠ABC，得S△ABC=S△ABD+S△BCD，
则12acsinπ3=12×3×csinπ6+12×3×asinπ6，即ac=a+c．
在△ABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosπ3，
又b=32，则a2+c2−ac=18，
联立ac=a+ca2+c2−ac=18，可得a2c2−3ac−18=0，
解得ac=6（ac=−3舍去）．
故S△ABC=12acsinπ3=12×6×32=332．
18．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2π3，E为BC的中点，F为AB上一点，且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到△B'EF，如图2.

(1)证明：EF⊥AB'.
(2)已知二面角B'−EF−A为π3，在棱AC上是否存在点M，使得直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为55？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，AM=156AC

【分析】（1）翻折前，在△ABC中，EF⊥AB，翻折后，有EF⊥AF，EF⊥FB'，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；
（2）由二面角的定义可得∠B'FA=π3，然后以点F为坐标原点，FE、FA所在直线为x、y轴，过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，设AM=λAC，其中0≤λ≤1，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解出λ的值，即可得出结论.
【详解】（1）证明：翻折前，在△ABC中，EF⊥AB，翻折后，有EF⊥AF，EF⊥FB'，
又AF∩FB'=F，AF、FB'⊂平面AFB'，所以EF⊥平面AFB'，
因为AB'⊂平面AFB'，所以EF⊥AB'.
（2）解：因为二面角B'−EF−A为π3，EF⊥AF，EF⊥FB'，
所以，二面角B'−EF−A的平面角为∠B'FA=π3，
以点F为坐标原点，FE、FA所在直线为x、y轴，过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

不妨设AB=4，则F0,0,0、A0,1,0、C23,3,0、E3,0,0、B'0,32,332.
AC=23,2,0，FA=0,1,0，FB'=0,32,332，EC=3,3,0.
设AM=λAC=23λ,2λ,0，FM=FA+AM=23λ,2λ+1,0，其中0≤λ≤1，
设平面B'MF的法向量为u=a,b,c，
由u⋅FB'=0u⋅FM=0得32b+332c=023λa+2λ+1b=0，
取c=2λ，可得u=2λ+1,−23λ,2λ，
cosu,EC=u⋅ECu⋅EC=3−43λ23×2λ+12+12λ2+4λ2=55，解得λ=156，合乎题意，
故当AM=156AC时，直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为55.
19．港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
6
7
z
0.01
0.04
0.14
0.52
1.38
2.31
4.3

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数z=kebt进行拟合．令u=lnz，计算得：z=1.24，i=17ti−tzi−z=22.37，i=17zi−z2=27.5；u=−1.2，i=17ti−tui−u=25.2，i=17ui−u2=30．
(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常r>0.75时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系）
(2)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；
(3)已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．

附：①相关系数r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2；
②回归直线y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx
③参考数据：210≈14.5，ln10≈2.30．
【答案】(1)可以
(2)z=e0.9t−4.8，累加总下沉量为e2.4毫米.
(3)第7天

【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可.
（2）根据公式计算u与t的回归方程，然后转化为z与t的回归方程；
（3）注意下沉速率9毫米/天，指的是瞬时变化率，利用导数求解.
【详解】（1）t=1+2+3+4+5+6+77=4;
i=17ti−t2=32+22+12+0+12+22+32=28;
r=i=17ti−tui−ui=17ti−t2i=17ui−u2=25.228×30=25.22210≈25.22×14.5≈0.86.
∴|r|>0.75可以用线性回归模型拟合变量间的关系.
（2）设z=kebt，则u=lnz=bt+lnk.
b=i=17ti−tui−ui=17ti−t2=25.228=0.9；
lnk=u−bt=−1.2−0.9×4=−4.8;
∴k=e−4.8，
z=e0.9t−4.8,当t=8时，z=e0.9×8−4.8=e2.4.
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为e2.4毫米
（3）z=e0.9t−4.8，
下沉速率：z'=0.9e0.9t−4.8，
所以设第n天下沉速率超过9毫米/天，
则：0.9e0.9n−4.8>9，e0.9n−4.8>10，0.9n−4.8>ln10，0.9n>2.3+4.8，n>7.8，
所以第8天该隧道拱顶的下沉速率超过9毫米/天，
最迟在第7天需调整支护参数，才能避免塌方．
20．已知双曲线C:x2a2−y2b2=100的右顶点为A，左焦点F−c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)x29−y24=1
(2)以线段MN为直径的圆过定点6−23,0和6+23,0．

【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解b=2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a=3，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线C的左焦点F−c,0到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离为d=bca2+b2=b，而d=2，∴b=2．
∴双曲线C的方程为x2a2−y24=10 依题意直线l1的方程为y=13x−a．
由x2a2−y24=1,y=13x−a, 消去y整理得：36−a2x2+2a3x−a2a2+36=0，
依题意：36−a2≠0，Δ>0，点A，B的横坐标分别为xA,xB，
则xAxB=a2a2+36a2−36．
∵xA=a，∴xB=aa2+36a2−36．
∴AB=1+132xA−xB=103xA−xB=8103，∴xA−xB=8．
即a−aa2+36a2−36=8，解得a=3或a=12（舍去），且a=3时，Δ>0，
∴双曲线C的方程为x29−y24=1．
（2）依题意直线l2的斜率不等于0，设直线l2的方程为x=my+6．
由x=my+6,x29−y24=1,消去x整理得：4m2−9y2+48my+108=0，
∴4m2−9≠0，Δ1>0．
设Px1,y1，Qx2,y2，则y1+y2=−48m4m2−9，y1y2=1084m2−9．
直线AP的方程为y=y1x1−3x−3，令x=6得：y=3y1x1−3，∴M6,3y1x1−3．
同理可得N6,3y2x2−3．由对称性可知，若以线段MN为直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，
设该定点为Rt,0，则RM=6−t,3y1x1−3，RN=6−t,3y2x2−3，
故RM⋅RN=6−t2+9y1y2x1−3x2−3
=6−t2+9y1y2my1+3my2+3
=6−t2+9y1y2m2y1y2+3my1+y2+9
=6−t2+9×1084m2−9m2×1084m2−9−3m×48m4m2−9+9
=6−t2−12=0．
解得t=6−23或t=6+23．
故以线段MN为直径的圆过定点6−23,0和6+23,0．
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.
21．已知函数fx=axex−12x2−x．
(1)讨论fx在0,+∞上的单调性；
(2)若a>0时，方程fx=lnx−12x2有两个不等实根x1，x2，求证：x1x2>e2−x1−x2．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令t=xexx>0，原不等式即证lnt1+lnt2>2，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
【详解】（1）由题意得f'x=ax+1ex−x−1=x+1⋅aex−1．
因为x>0，所以x+1>0．
当a≤0时，aex−1<0，f'x<0，所以fx在0,+∞上单调递减．
当a>0时，令aex−1=0，则x=−lna．
①若a≥1，则x=−lna≤0，当x>0时，f'x>0，所以fx在0,+∞上单调递增；
②若00，当x∈0,−lna时，f'x<0，所以fx在0,−lna上单调递减；当x∈(−lna,+∞)时，f'x>0，所以fx在−lna,+∞上单调递增．
综上，
当a≤0时，fx在0,+∞上单调递减；
当a≥1时，fx在0,+∞上单调递增；
当0 （2）证明：方程fx=lnx−12x2，即axex−lnx−x=0，
因为axex−lnx+x=0，则axex−lnxex=0，
令t=xexx>0，t'=x+1ex>0，所以函数t=xex在0,+∞上单调递增，
因为方程axex−lnx+x=0有两个实根x1，x2，令t1=x1ex1，t2=x2ex2，则关于t的方程at−lnt=0也有两个实根t1，t2，且t1≠t2，
要证x1x2>e2−x1−x2，即证x1ex1⋅x2ex2>e2，即证t1t2>e2，即证lnt1+lnt2>2，
由已知at1=lnt1at2=lnt2，
所以at1−t2=lnt1−lnt2at1+t2=lnt1+lnt2，
整理可得t1+t2t1−t2=lnt1+lnt2lnt1−lnt2，
不妨设t1>t2>0，
即证lnt1+lnt2=t1+t2t1−t2lnt1t2>2，
即证lnt1t2>2t1−t2t1+t2=2t1t2−1t1t2+1，
令s=t1t2，即证lns>2s−1s+1，其中s>1，
构造函数gs=lns−2s−1s+1s>1，g's=1s−4s+12=s−12ss+12>0，
所以函数gs在1,+∞上单调递增，当s>1时，gs>g1=0，故原不等式成立．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.


（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x=2costy=sint（t为参数），曲线C2:ρ=r(r>0)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知A,B是曲线C1上的两个动点（异于原点），且∠AOB=90°，若曲线C2与直线AB有且仅有一个公共点，求r的值.
【答案】(1)ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2，x2+y2=r2(r>0)
(2)63

【分析】（1）先求曲线C1的直角坐标方程，再由x=ρcosθ,y=ρsinθ写成极坐标方程；由ρ2=x2+y2写出曲线C2的直角坐标方程；
（2）根据曲线C2与直线AB有且仅有一个公共点，得出r是直角三角形AOB斜边上的高，根据等面积法转化为r=OA×OBAB求解即可.
【详解】（1）由曲线C1:x=2costy=sint（t为参数），
消去参数t，得x22+y2=cos2t+sin2t=1，
所以曲线C1的直角坐标方程为x22+y2=1.
又由x=ρcosθ,y=ρsinθ，得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2，
所以曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2.
由曲线C2:ρ=r，得ρ2=r2，即x2+y2=r2，
所以曲线C2的普通方程为x2+y2=r2(r>0).
（2）由题意∠AOB=90°，设Aρ1,α，则Bρ2,α+90∘，
又曲线C2与直线AB有且仅有一个公共点，故r为点O到直线AB的距离，
由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2，得1ρ2=cos2θ+2sin2θ2，
所以1ρ12=cos2α+2sin2α2，1ρ22=cos2α+90∘+2sin2α+90∘2=sin2α+2cos2α2，
所以1ρ12+1ρ22=32，即ρ12+ρ22ρ1ρ22=32，所以ρ1ρ2ρ12+ρ22=23=63；
又OA×OB=AB×r，
所以r=OA×OBAB=ρ1ρ2ρ12+ρ22=23=63，
即所求实数r的值为63.





[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数fx=x．
(1)求不等式fx<2x−1的解集；
(2)已知函数gx=2fx+2x−1的最小值为m，且a、b、c都是正数，a+2b+c=m，证明：1a+b+1b+c≥4．
【答案】(1)1,+∞
(2)证明见解析

【分析】（1）分x≥0、x<0两种情况解不等式fx<2x−1，综合可得出原不等式的解集；
（2）由绝对值三角不等式可得出m=1，由此可得出a+b+b+c=1，将代数式1a+b+1b+c与a+b+b+c相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.
【详解】（1）解：由fx<2x−1可得x<2x−1，
当x≥0时，则有x<2x−1，解得x>1，此时x>1；
当x<0时，则有−x<2x−1，解得x>13，此时x∈∅.
综上所述，不等式fx<2x−1的解集为1,+∞.
（2）解：由绝对值三角不等式可得gx=2x+2x−1≥2x−2x−1=1，
当且仅当0≤2x≤1时，即当0≤x≤12时，等号成立，故m=1，
所以a+b+b+c=a+2b+c=1，
又因为a、b、c均为正数，
所以，1a+b+1b+c=1a+b+1b+ca+b+b+c=2+a+bb+c+b+ca+b
≥2+2a+bb+c⋅b+ca+b=4，
当且仅当a+b=b+c=12时，等号成立，故1a+b+1b+c≥4.