2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（天津A卷）（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，2，，，5，，则　　

A． B．， C．，2，3， D．，3，4，5，

【答案】

【分析】求出，由此能求出．

【详解】全集，2，3，4，5，，集合，2，，，5，，

，3，，

，．

故选：．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】

【分析】根据题意，求出两个不等式的解集，由集合与充分必要条件的关系分析可得答案．

【详解】根据题意，，即，解可得，不等式的解集为，

对于，解可得，即不等式的解集为，

又由是的真子集，故“”是“”必要不充分条件，

故选：．

3．（5分）已知函数，其图象大致为　　

A．      B． 

C．      D．

【答案】

【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可判断．

【详解】函数的定义域为，，，

函数，

所以函数为奇函数，故排除，

因为（1），，

故排除，

故选：．

4．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，，，，，，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是　　

A．45 B．50 C．55 D．60

【答案】

【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数频率总体容量，即可得到总体容量．

【详解】成绩低于60分有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，

每组数据的组距为20

则成绩低于60分的频率，

又低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是．

故选：．

5．（5分）设，，若，则的最小值为　　

A．6 B．9 C． D．18

【答案】

【分析】根据题意，转化条件，利用基本不等式即可求出最小值．

【详解】因为，，，所以，

所以

，

当且仅当，即，时取“”，

所以的最小值为9．

故选：．

6．（5分）如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，则圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】由已知求出外接球的半径，利用勾股定理求得圆锥底面半径及高，再由圆锥体积公式求解．

【详解】设球的半径为，由，得．

圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，

球心在圆柱高的中点上，可得圆锥的高，

设圆柱的底面半径为，则，

．

故选：．

7．（5分）已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于，两点，且三角形为正三角形，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】由题意可得，由与抛物线焦点的连线构成等边三角形，可得，即求出双曲线的离心率．

【详解】抛物线的准线方程为，焦点坐标为

由，解得，则，

与抛物线焦点的连线构成等边三角形，

，

，

即，

解得．

故选：．

8．（5分）如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　

A．函数在上单调递减 

B．点为图象的一个对称中心 

C．函数在上单调递增 

D．为图象的一条对称轴

【答案】

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．

【详解】函数的部分图象，可得，

左边最高点的横坐标为，最低点的横坐标为，

，．

结合五点法作图，，，故．

将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，得到 的图象；

再把所得曲线向右平移个单位长度，得到 的图象，

在上，，，函数没有单调性，故错误；

令，求得，不是最值，故错误；

在上，，，函数单调递增，故正确；

令，求得，不是最值，故为图象不关于直线，对称，故错误，

故选：．

9．（5分）已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【分析】讨论当时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得，再由二次函数的最值求法，可得的范围；讨论当时，同样可得，再由基本不等式可得最值，可得的范围，求交集即可得到所求范围．

【详解】当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由的对称轴为，可得处取得最大值；

由的对称轴为，可得处取得最小值，

则①

当时，关于的不等式在上恒成立，

即为，

即有，

由（当且仅当取得最大值；

由（当且仅当取得最小值2．

则②

由①②可得，．

另解1：作出的图象和折线

当时，的导数为，

由，可得，

切点为，代入，解得；

当时，的导数为，

由，可得舍去），

切点为，代入，解得．

由图象平移可得，．

故选：．

第Ⅱ卷

二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）

10．（5分）是虚数单位，复数　　．

【答案】

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【详解】复数，

故答案为：．

11．（5分）展开式中的系数为 　30　．

【答案】30

【分析】分析展开式中的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．

【详解】当选择1时，展开式选择的项为；当选择时，展开式选择为，

所以展开式；

故答案为：30．

12．（5分）经过点且斜率为的直线与圆相交于，两点，若，则的值为 　　．

【答案】或0

【分析】利用勾股定理求出圆心到直线的距离，设出直线的方程利用点到直线的距离公式求出值．

【详解】设直线的方程为，

圆的圆心为，半径为，

由勾股定理得圆心到直线的距离为，

即圆心为到直线的距离为，

解得或．

故答案为：或0．

13．（5分）已知袋内有大小相同的1个红球和3个白球，袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从、两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为　　；记取出的4个球中红球的个数为随机变量，则的数学期望为　　．

【答案】，．

【分析】分1个红球来自袋与1个来自袋，利用古典概型的概率公式即可求出恰好有1个红球的概率，然后利用二项分布的数学期望公式求出的数学期望即可．

【详解】；

设从袋中取出红球的个数为，则，从袋中取出红球个数为，则，

所以．

故答案为：，．

14．（5分）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，点满足，则　　；若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是 　　．

【答案】；．

【分析】由平面向量数量积运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．

【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，

则，

则；

设，，

则，

则，

即当时，的最小值为，

故答案为：；．

15．（5分）已知定义在上的函数满足，且当，时，，若函数，在上有四个零点，则实数的取值范围为 　  　．

【答案】，．

【分析】先判断出的周期为4．把问题转化为函数与在上有四个交点．在同一个坐标系内作出与的图象，列不等式组，求出实数的取值范围．

【详解】因为，所以，记函数的周期为4，

，可化为，

若函数，在上有四个零点，等价于函数与在上有四个交点．

作出和的图象如图示：

（1）

只需满足：，解得；

（2）

只需满足：，解得：，

综上所述：实数的范围为，．

故答案为：，．

三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）

16．（14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）设，．

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）

【分析】（Ⅰ）利用余弦定理建立方程进行求解即可；

（Ⅱ）（ⅰ）利用余弦定理进行求解即可；

（ⅱ）利用两角和差的三角公式进行转化求解即可．

【详解】（Ⅰ）由．得．

即，

得，

则，

则．

（Ⅱ）（ⅰ）设，．则，

则．

（ⅱ），

．

则，

则．

17．（15分）如图，正四棱柱中，，点在上且．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【分析】（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．通过计算，，推出，结合，证明平面．

（Ⅱ）（方法一）通过平面，推出，说明异面直线与所成角为；

（方法二）计算，说明异面直线与所成角为；

（Ⅲ）求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值即可．

【详解】（Ⅰ）证明：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．

依题设，，2，，，2，，，2，，，0，．，，，

因为，，

故，，又，

所以平面．

（Ⅱ）解：（方法一）因为平面，

且平面，

则，

所以异面直线与所成角为；

（方法二），，，

则，

所以异面直线与所成角为；

（Ⅲ）解：设向量是平面的法向量，则，．

故，．

令，则，，．等于二面角的平面角，．

18．（15分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得，运用等差数列的定义和通项公式可得；

（2）求得，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．

【详解】（1）由已知，得，

即，也即，

解得，，

故；

，

可得是首项为1，公差为的等差数列，

，

当时，，

经检验时也符合上式，

则；

（2），

，

设，

所以，

两式相减得

，

所以，

所以．

19．（15分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆长轴是短轴的倍，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与圆相切，切点在第一象限，与椭圆相交于，两点．

①求证：以为直径的圆过原点；

②若的面积为，求直线的方程．

【答案】（1）（2）①见解析 ②或

【分析】（1）由题意可得，解得，，进而得到方程；

（2）①直线的方程为，联立方程，根据韦达定理，计算出，可得，即以为直径的圆过原点，

②根据弦长公式，三角形的面积公式可得，解得即可．

【详解】（1）由题意可得，解得，，则椭圆的方程为，

（2）证明：切点在第一象限，直线的斜率存在，

不妨设直线的方程为，即，且，，

直线与圆相切，，即，

联立，得，

设，，，，则有，，

，即，即以为直径的圆过原点，

②由①可得，，，

，

点到直线的距离为，

，

解得，或，

当时，，当时，，

，，或，

则直线方程为或

20．（16分）已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）若，且在区间，上恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若，判断函数的零点的个数．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）当时，函数恰有1个零点．

【分析】（Ⅰ）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；

（Ⅱ）若，且在区间，上恒成立，即在，上的最小值大于1，利用导数求判断函数的最小值．

（Ⅲ）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递增．再构造新函数（a），证明（a），进而判断函数是否穿过轴即可．

【详解】（Ⅰ）若，则，（1），

所以，所以（1），所以切线方程为．

（Ⅱ）依题意，在区间上，．

因为，．

令，得或．

若，则由，得；由，得．

所以（1），满足条件；

若，则由，得或；由，得．

，

依题意，可得，即，所以．

若，则．

所以在区间上单调递增，，不满足条件；

综上，的取值范围为．

（Ⅲ），．

所以．

设，．

令，得．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以的最小值为．

因为，所以．

所以的最小值．

从而，在区间上单调递增．

又，

设（a）．则．

令（a），得．由（a），得；

由（a），得．所以（a）在上单调递减，在上单调递增．

所以．

所以（a）恒成立．所以，．

所以．

又（1），所以当时，函数恰有1个零点．