2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（新高考Ⅱ卷A卷）（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，所以.故选：C

2．已知复数，则的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】依题意，，所以．故选：D

3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（    ）

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时

【答案】B

【详解】如图，

依题意可知，

，所以，1小时小时．故选：B．

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，得.

故选：A.

5．二项式展开式中的系数为（    ）

A．120 B．135 C．140 D．100

【答案】B

【详解】的展开式通项公式为，

其中，，，

故二项式中的四次方项为，

即展开式中的系数为.

故选：B

6．已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为函数（且）图像恒过的定点，

又因为定点在直线上，所以，

，

当且仅当，即时，取等号，

所以最小值为，

因为关于的不等式恒成立，所以，

所以，即得，，解得，

所以，实数的取值范围为.

故选：A.

7．已知是双曲线：的右焦点，为坐标原点，是的右支上一点，若，，则的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】如图所示：

其中为双曲线的左焦点，则有，，

，，且，

即，所以，

在中，，

由双曲线定义知，，解得，

在中，，

则有，化简得，所以.

故选：D.

8．设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，的定义域为所以为奇函数，，

令，，

因为对任意，都有，所以，

所以在上单调递增.

因为为偶函数，所以在上单调递减.

不等式等价于，因为，所以，

所以不等式等价于，

所以，即.

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下面命题中，正确的有（     ）

A．回归直线方程对应的回归直线必经过样本中心点

B．设两个变量x，y之间的线性相关系数为r，则 r越接近1，，的相关性越强

C．一列数据：7，6，5，4，3，2，这列数据的上四分位数为6

D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

【答案】ACD

【详解】对选项A：回归直线方程对应的回归直线必经过样本中心点，正确；

对选项B：，的相关性越强，则 r越接近1或，错误；

对选项C：7，6，5，4，3，2，，取第2个数据为，正确；

对选项D：残差分布的水平带状区域的宽度越窄，拟合精度越高，拟合效果越好，正确；

故选：ACD

10．函数，以下正确的是（     ）

A．若的最小正周期为，则

B．若，且，则

C．当时，在单调且在不单调，则.

D．当时，若对任意的有成立，则的最小值为

【答案】BCD

【详解】，，，故A错误；

，又，且，，，，故B正确；

当时，若在单调，则，

且，，又，，则，

由，得，此时在单调且在不单调，故C正确；

当时，，又因为对任意的有成立，则，即，当时，取最小值，故D正确．

故选：BCD.

11．在棱长为2的正方体中，点M，N，P分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（    ）

A．

B．直线MN与AP所成的最大角为90°

C．三棱锥的体积为定值

D．当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为

【答案】ABC

【详解】对于A，因为正方体是棱长为2的正方体，连接，

因为点M、N分别是线段、线段的动点，且，

所以，,所以,

又,所以，因此A正确；

对于B，又，因此，

因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角，

当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，因此B正确；

对于C，，因此C正确；

对于D，当P为点时，四棱锥体积最大，

该四棱锥的外接球即正方体的外接球，

直径为 ，故其表面积为，因此D不正确.

故选:ABC.

12．已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（    ）

A．四边形面积的最小值为4

B．线段的最小值为

C．当直线的方程为时，最小

D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为

【答案】ABD

【详解】圆的圆心，半径为，

可知，，，

，

当取最小值时，四边形面积取得最小值，

此时，

所以四边形面积的最小值为，故A正确；

又圆心到直线的距离，

所以当取得最小值时，，

可得，故最小值，故B正确；

当直线的方程为时，，，则，

所以直线与直线垂直，又是中点，，，

所以，则，

所以，

易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误；

设M到直线的距离为，因为，且，

所以，则，

设，所以，即，

解得，

所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．

故选：ABD．

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，则在方向上的投影向量为________________．

【答案】

【详解】由于，故在方向上的投影向量为，

故答案为：

14．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.

【答案】

【详解】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.

故答案为：

15．过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【详解】因为，则，

设切点为()，，

所以切线方程为，

代入，得，

即这个关于的方程有两个解，

令()，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数有最大值，，

且，，

所以.

故答案为：.

16．已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题意当时，有，即，

即，

故令，则当时，，

则在上单调递减，

由于，而，

即有，即，

所以 ，

即实数a的取值范围是，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

已知数列中，，前项和.

(1)求，，及的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见详解

【详解】（1）对于，则有：

令，则，解得；

令，则，解得；

当时，则，整理得，

则；

注意到也满足上式，故.

（2）由（1）可得，

则，

∵当时，恒成立，故.

18．（12分）

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积是，求AD的最小值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

解得．

因为，所以．

（2）因为△ABC的面积是，

所以，解得．

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以．

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

即当时，AD取得最小值．

19．（12分）

某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店．

(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；

(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据X的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；

(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y的概率分布列与数学期望.

参考数据：若，则，，．

【答案】(1)平均数为13.0百元，中位数为13百元

(2)14

(3)分布列见解析，1

【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，

的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，

∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：

（百元）．

∵，，

∴中位数在内，设中位数为x百元，

则，解得．

∴估计中位数为13百元．

（2）由（1）知，

∵，，

∴，

∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．

（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），

∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

．

∴Y的概率分布列为

∴．

20．（12分）

如图，直三棱柱的体积为的面积为

(1)求点到平面的距离；

(2)设为的中点，，平面平面，求二面角的正切值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设求到平面的距离为，矩形中对角线互相平分，到平面的距离也为，

因为直三棱柱的体积为2，即可得，故,

又，

解得，所以到平面的距离为；

（2）连接，因为直三棱柱中，，

故为正方形，即，

又平面平面，

平面平面平面，

故平面，平面, 所以，

又因为平面,平面,

所以平面，且，

故平面，平面, 则，

所以三条直线两两垂直，

故建立如图以为原点建立空间直角坐标系

设，则，

由条件可得 ，解得，

则的中点，

所以，设平面的一个法向量为， ，取，

同理可求得平面的一个法向量为

所以．

所以二面角的正弦值为

可以判断此二面角为钝角，所以二面角的正切值为．

21．（12分）

已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点E在x轴上且对任意直线l，直线OE都平分（O为坐标原点）．

①求点E的坐标；

②求的面积的最大值．

【答案】(1)

(2)①；②

【详解】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得，

所以，

又焦点F与短轴两端点构成等边三角形，

所以，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）①设，当l与x轴垂直时，恒成立；

当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，

所以，

设，，直线l的斜率为，

则直线l的方程为，

又，，

所以，

又，，

所以，即，

联立方程组消去y，得，，

所以，，

代入上式可得，即点．

②当l与x轴垂直时，；

当l与x轴不垂直时，，

令，则，

当时，即时，取到最大值，此时最大，最大为，

综上，的面积的最大值为．

22．（12分）

已知函数．

(1)若直线与曲线相切，求k的值；

(2)若，，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由题意，，设切点坐标为，则切线方程为．

因为直线l过点，所以把点的坐标代入切线方程，

得，整理得．

令，则，

当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，

又，，所以有唯一实数解，则，

所以．

（2），等价于，．

令，则，

令，则在上恒成立，所以在上单调递增．

因为，，所以在上存在唯一，使得，

即，则，所以．

令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，又由，，得，即．

当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，

得，

所以，即:,

则a的取值范围为．