2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（新高考Ⅱ卷B卷）（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·全解全析

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A．          B．  C．   D．

【答案】A

【详解】由题意可得即解得

即集合．

又集合，

所以集合，

所以，

故选：A

2．若复数（为复数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（    ）

A． B．           C．            D． 

【答案】B

【详解】，

由复数在复平面内对应的点在第三象限，

得，解得，即，

故选：B.

3．已知向量，满足，，，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】因为，，

所以，即，

故.

故选：D.

4．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：由题意可知，每天走的里数是以为公比的等比数列，

由题意可得，，故，

∴.

故选：C.

5．某单位有6名员工，2020年国庆节期间，决定从6人中留2人值班，另外4人分别去张家界､南岳衡山､凤凰古城､岳阳楼旅游.要求每个景点有1人游览，每个人只游览一个景点，且这6个人中甲､乙不去衡山，则不同的选择方案共有（    ）

A．120种 B．180种 C．240种 D．320种

【答案】C

【详解】以人为对象，分类讨论：

甲不值班乙值班：；甲值班乙不值班：；

甲乙都不值班；；甲乙都值班；.

故不同的选择方案.

故选：C

6．已知函数（）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有 ，则实数m的取值范围为（　　）

A． B．[1，2]

C． D．

【答案】B

【详解】∵函数（）的图象在y轴上的截距为1，

∴，即．

∵函数的图象关于直线对称，∴，，由于，∴，

∴=，∴A=，∴．

对于任意的，都有，

∵， 所以，进而，

因此，

∴ ，求得 ，

故选：B．

7．在四面体中，，E为的中点，，且，则四面体的外接球的半径为（    ）

A．               B． C． D．

【答案】A

【详解】根据题意，和均为正三角形，为等腰直角三角形，

为的角平分线，

设，的中心分别为，

则分别是四面体的外接球球心O在平面和平面上的投影，

进而所求半径为．

故选:A.

8．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令，则，

当，，此时单调递增，

当，，此时单调递减，

所以，

所以，即，

所以；

又设，恒成立，

∴当， 单调递减，

当时，有，则，

所以，

综上可得．

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．若实数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；

B：由，因此本选项正确；

C：由，因此本选项不正确；

D：因为，所以

，因此本选项正确，

故选：ABD

10．在正方体中,,G为CD的中点,点P在线段上运动,点Q在棱BC上运动,则(    )

A． B．平面

C．异面直线与DP所成角的最大值为 D．的最小值为

【答案】BCD

【详解】

因为CD与PG不垂直,而,所以AB与PG不垂直,故错.

因为平面平面平面,所以平面,故B对

因为是等边三角形,所以当为的中点,,又,所以当为的中点,,即异面直线与DP所成角的最大值为,故对.

在延长线上取一点,使得,则,所以.

所以,最小值为点到直线的距离.

由等面积法有,.

即,所以,所以的最小值为,故D对.

故选：BCD

11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最小值为5

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．若，则直线的斜率为

【答案】AC

【详解】解：抛物线的准线方程为，

对于A，由，得，故A正确；

对于B，过点作准线的垂线，垂足为，

则，

当且仅当三点共线时，取等号，

所以的最小值为4，故B错误；

对于C，设点的坐标分别为，直线的方程为，

联立方程，消去得，

则，

则，线段的中点为，

点到直线的距离为，

所以以为直径的圆与直线相切，故C正确；

对于D，因为，所以，可得，

由，

得，解得，故D错误.

故选：AC.

12．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【详解】由题意，因为的图象关于直线对称，故，

又为奇函数，所以有， 所以，

故，所以，故的周期为8.

因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，，结合奇函数的性质与直线对称以及函数的周期性作图，且是的图象往左平移2个单位所得，作图如下.

又不等式成立，即在的函数图象下方，

由对称性得，当时，与的交点的横坐标为，结合图象可得与的交点的横坐标满足，所以在这个周期内，满足题意的解为，则所有符合题意的解为.

当时，解为；当时，解为；当时，解为；当时解为，

故选：CD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知A、B是独立事件，，，则______.

【答案】

【详解】∵为两个独立事件，∴，

∵

∴

∴．

故答案为：．

14．已知圆，过原点的直线与圆C有公共点，则直线斜率的范围为______．

【答案】

【分析】根据直线与圆的位置关系列不等式即得.

【详解】由圆，可得，圆C的圆心为，半径，

设直线l的方程为，则，

即，解得，

即直线斜率的范围为.

故答案为：.

15．已知，则___________.

【答案】

【详解】令，则，

所以，

因为，

所以，整理得，

则，解得或（舍去），

所以，即.

故答案为：.

16．已知曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为________________．

【答案】

【详解】设切线方程为，切线与相切于点，

则，，

切线与相切于点，

则，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

由已知方程有非负实数解，

设，

则方程有非负实数解等价于函数的图象和

函数的图象有交点，

因为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

，，又时，，

所以，

所以a的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．已知数列中，，且满足．

(1)求的值；

(2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(3)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见解析；

(3)

【详解】

（1）解：由题意得：

（2）为常数

数列是首项为2，公差为1的等差数列

（3）

令，

当时，，递增

当时，，递减

当或n=3时，有最大值

18．在中，，，为内的一点，满足，.

(1)若，求的面积；

(2)若，求.

【答案】(1)   (2)

【详解】（1）解：在中，因为，且，所以.

由，可得.

又，则.

在中，因为，，所以，

则，解得，

从而.

（2）解：在中，由，

解得或（舍去）.令，则在中.

在中，，所以，

则，即，得.

因为，所以，

从而.

19．如图,在四棱锥中,底面,是直角梯形,,,,是的中点．

(1)求证:平面平面;

(2)若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析   (2)

【详解】（1）平面,平面,

,

,,,

,

,

,

,,平面,

平面,

平面,

平面平面.

（2）如图,以为原点,取中点,、、分别为x轴、y轴、z轴正向,建立空间直角坐标系,

则,,

设,则,

设为平面的法向量,,,

,即,

令,则.

设为平面的法向量,

则,即,

令,则.

，,

解得

,

设直线与平面所成角为,

则,

即直线与平面所成角的正弦值为.

20．京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.年月日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区年到月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：

(1)如果用回归方程进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程；

，，.

参考公式：若，则

(2)已知某收件人一天内收到件快递，其中京东快递件，菜鸟包裹件，邮政快递件，现从这些快递中任取件，表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量的分布列以及随机变量的数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析；数学期望

【详解】

(1)由题意得：；

设，则，，，

，，

回归方程为：.

(2)由题意知：所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

21．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，，动点A为C右支上一点，右准线与轴交点为．过点A作直线l的垂线交l于B，直线交y轴于P，．

（1）求C的方程；

（2）证明：

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【详解】解：（1）由题意，右准线，，即

因为，所以．

解得，

从而，

所以C的方程为

（2）设，则 不妨设

当轴时，，，

此时

当时，

因此，．

由正切函数单调性知，．

22．已知函数.

(1)若，讨论的导函数的零点个数；

(2)若有两个不同的零点，且满足，求证：.（参考数据）

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【详解】（1）的定义域为，则.

设，则，

由得：，

①当时，则当时，无零点..

②当时，则当时，，即在区间上递减，

取满足且，则，又，

所以，

而，根据函数零点存在性定理知存在使得，

此时恰有一个零点.

③当时，则当时，；当时，，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

此时，此时无零点.

（2）（i）由得，即.

设，则.

由可得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

有极大值也是最大值，

当时，，当时，.

因为有两个不同的零点，则，即；

（ii），故，

，

则，即，

故.

设，由可得，

设函数，则，

设，则，

在区间上单调递增，

故，故，

在区间上单调递增，故，

.

综上，.