2023年高考政治第二次模拟考试卷—数学（全国乙卷理）（考试版）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

高三数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。

1．已知集合， ，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，且，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．4

3．已知向量，，，若，则（   ）

A．1 B．2 C．-2 D．-1

4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第层有个球,从上往下层球的总数为,则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（    ）

A． B．1 C． D．4

6．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数 (也称高斯函 数)，表示不超过的最大整数. 例如 :. 取整函数在科学和工程上有广泛应用. 下面的程序框图是与取整函数有关的求和问题， 若输入的的值为 64 ， 则输出的值是（    ）

A．21 B．76 C．264 D．642

7．在四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为，则四棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．在等差数列中，若，则的最小值是（    ）

A．2 B．8 C．15 D．19

9．已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ）

A．1为的周期 B．的图象关于点对称

C． D．的图象关于直线对称

10．12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

12．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

13．已知，且，则的最小值为___________.

14．经过点以及圆与交点的圆的方程为______．

15．的展开式中的系数为______（用数字作答）.

16．若函数与的图像有两个不同的公共点，则a的取值范围为____________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且满足．

(1)求△ABC的外接圆半径；

(2)若∠B的平分线BD交AC于点D，且，求△ABC的面积．

18．（12分）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.

(1)证明：.

(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

19．（12分）港珠澳大桥海底隧道是当今世界上埋深最大、综合技术难度最高的沉管隧道，建设过程中突破了许多世界级难题，其建成标志着我国在隧道建设领域已达到世界领先水平．在开挖隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数、某施工队对正在施工的隧道工程进行下沉量监控量测工作，通过对监控量测结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如下表所示：

研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：，，；，，．

(1)请判断是否可以用线性回归模型拟合u与t的关系；（通常时，认为可以用线性回归模型拟合变量间的关系）

(2)试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；

(3)已知当拱顶下沉速率超过9毫米/天，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险．若规定每天下午6点为调整支护参数的时间，试估计最迟在第几天需调整支护参数，才能避免塌方．

附：①相关系数；

②回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

③参考数据：，．

20．（12分）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

21．（12分）已知函数．

(1)讨论在上的单调性；

(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22. 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)已知函数的最小值为，且、、都是正数，，证明：．