专题1.37 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（培优篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题1.37 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（培优篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共59页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.37 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为　　

A． B．
C． D．以上都有可能
2．如图，在中，，是中线，是角平分线，点是上任意一点（不与，重合），连接、．给出以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
3．如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．

4．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则点A到直线CD的距离是_____．

6．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________
三、解答题
7．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．

【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．

【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．







8．在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．
（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）




9．已知：等腰和等腰中，，，．
（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．



10．在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．
（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．

（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．

（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．










11．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．
（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；
（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．




12．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．

13．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE ＝ AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN． 求证：BM＋CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝ 90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．



14．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．
（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；
（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　 　．
②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．


15．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．













16． 已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，．
（1）如图1，①若，请直接写出______；
②连接，若，求证：；
（2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由．









17．阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴
在和中
∴（依据一）∴
在中，（依据二）
∴．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

参考答案
1．C
【分析】
如图，延长ED到T，使得DT＝DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．
解：如图，延长到，使得，连接，．

，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．B
【分析】
①根据面积法可得，，从而可得①正确；②由是中线，无法得出，故可判断②错误；③运用SAS证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在上截取，连接，运用证明得，在中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．
解：①过作于，于，过作于，

是角平分线，，，
，

，
，


，故①正确；
②
，
平分，
，
是中线，
无法得出，故②错误；
③延长到使，连接，

是中线，
，
在和中，



在中，

，，

，故③正确；
④在上截取，连接，

是角平分线，
，
在和中，

，
，
在中，，

，
即，故④正确；
综上①③④正确．
故选B．
【点拨】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．
3．100°##100度
【分析】
延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，

在△BDM和△CDA中，
，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，
∵BF＝AC，
∴BF＝BM，
∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，
∵∠EBC＝32°，
∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，
故答案为：100°．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．180°﹣α．
【分析】
根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论．
解：延长AE至M，使EM＝AE，
连接AF，FM，DM，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AEC与△MED中，
，
∴△AEC≌△MED（SAS），
∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，
∵EF⊥AE，
∴AF＝FM，
∵点F在BD的垂直平分线上，
∴FB＝FD，
在△MDF与△ABF中，
，
∴△MDF≌△ABF（SSS），
∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，
∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，
∴∠BFD＝∠AFM
＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）
＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）
＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣α，
故答案为：180°﹣α．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．4
【分析】
根据垂直的定义得到∠BCD=，延长CD到H使DH=CD，由线段中点的定义得到 AD=BD ，根据全等三角形的性质得到 AH=BC=4．
解：∵ DC⊥BC，
∴ ∠BCD=，
∵ ∠ACB=，
∴ ∠ACD=，
如图，延长 CD 到 H 使 DH=CD ，

∵ D 为 AB 的中点，
∴ AD=BD，
在 ΔADH 与 ΔBCD 中，
，
∴ ΔADH≅ΔBCD(SAS)，
∴ AH=BC=4，∠AHD=∠BCD=90°，
∴点A到CD的距离为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考察全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．或19
【分析】
延长AE交BC的延长线于点G，分两种情况：点F在线段BC上和点F在线段BC的延长线上，分情况讨论即可．
解：延长AE交BC的延长线于点G，分两种情况：
①如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
，
，
．
点E为CD边的中点，
，
在和中，
，
，
，
；
②如图，

同理可得，，
，
，
；
综上所述，BF的长度为7或19，
故答案为：7或19．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键．
7．（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】
（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
解：（1）在和中，

∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，

∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，

∵，
，
在和中，

，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
8．（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2
【分析】
（1）根据SAS证明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的长；
（2）延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，证明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，从而证得结论；
（3）延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，证明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再证明∠AME＝∠1，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可推导出∠3＝2∠1+∠2．
解：（1）如图1，∵AM⊥BM，

∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∵AM＝BM，MD＝MC，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC＝BD＝17．
（2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，

∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
∵∠BFG＝∠CFE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，
又∵BD＝AC，EC＝AC，
∴BD＝EC，
∴BG＝BD，
∴∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF．
（3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F，
∵AM⊥BM，AE⊥BE，
∴∠BEC＝∠AMC＝90°，
∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，
∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，   
∴△BFM≌△AHM（AAS），
∴FM＝HM，
∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，
∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），
∵∠FEH＝90°，
∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，
∵∠AEB＝∠GEC＝90°，
∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，
∵AE＝EG，EM＝EM，
∴△AEM≌△GEM（SAS），
∴∠AME＝∠GME，
∵∠BEM＝∠BAM＝45°，
∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，
∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，
∵∠3＝∠AMG+∠2，
∴∠3＝2∠1+∠2．

【点拨】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明三角形全等．
9．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；
（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；
（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．
解：（1）设交于，如图1，

是等腰和是等腰





即




故答案为
（2）如图2，过点作的垂线交的延长线于,








是等腰和是等腰

又







又


即是的中点
（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图


即

是等腰和是等腰

在与中，

（SAS）
，
点是的中点

，
（SAS）







（SAS）
，


即
，




【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或
【分析】
（1）根据平行线的性质证得再根据，即可得到，得到．
（2）延长与的延长线相交于点．证明，推出，求出的面积即可解决问题．
（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线与线段交于一点时，当直线与线段交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证明即可解决问题．
解：（1）证明：如图1，

直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，

直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，，
∵，，
，
，
，
，
，
．
（3）位置关系：，
数量关系：分四种情况讨论
∵直线于点．直线于点，直线于点，
∴，
①如图3，当直线与线段交于一点时，

由（1）可知，
，
即，
，
，
，
∵，
．
②当直线与线段交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，
，
，
又为边中点，
，
在和中，
，
，
．
，
即，
，
，
，
∵，
．
③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．

由（2）得：，
，，
∴，
即，
．
④当直线与线段的延长线交于一点时，
如图，延长交的延长线于点．

直线于点，直线于点，
，
，
，
，
又为中点，
，
又，
∴在和中，
，
，
，，
∴，
即，
．
综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全等三角形的判定与性质．
11．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）连接AF，根据HL证Rt△ADF≌△APF即可证明DF=PF；
（2）延长AC、BF交于点G，根据AAS证△AOC≌△GBC，即可证明BE=DE，又因为AD=AO，所以可得AE=AO+BE；
（3）证△ACE是等腰直角三角形，结合（2）的结论证明： 即可得出△CDH的底和高，进而求出面积．
解：（1）如图1，连接AF，

∵四边形AOBP是正方形，△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD=AP，

在Rt△ADF和Rt△APF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），
∴DF=PF；
（2）AE=AO+BE，理由如下： 如图2，延长AC、BF交于点G，连接

∵C为OB中点， ∴OC=BC，
∵AO∥BP，
∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，
在△△AOC和△GBC中，
，
∴△AOC≌△GBC（AAS），
∴BG=AO，
∵△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，
∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，
∴AD=BG，∠CAE=∠G，
∴△AEG为等腰三角形，
∴AE=EG，


∵，
∴AE=AO+BE；
（3） ∵AO∥PB，
∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，
∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，
∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，
∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，
又∵∠OAC=∠CAE， 由（2）知∠AEC=∠CEB，
∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°， 即△ACE是等腰直角三角形，
CH平分∠ACE，

如图3，由（2）知：


∵OA=a，BE=b，



【点拨】本题主要考查平形线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练应用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】
（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
解：（1）如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
13．（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析
【分析】
（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．
解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE=AC=8，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，
∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，
∴＜AD＜，
故答案为：SAS，＜AD＜；
（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，

同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF=CN，
∵DM⊥DN，FD=ND，
∴MF=MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．
（3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN．
理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G．

由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD=∠E，AB=CE，
∵∠BAM=∠NAC=90°，
∴∠BAC+∠MAN=180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，
∴∠ACE=∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB=MA，AC=AN，
∴CE=MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，
∴2AD=MN．
∵∠NAC=90°，
∴∠EAC+∠NAG=90°，
∴∠MNA+∠NAG=90°，
∴∠AGN=90°，
∴AD⊥MN．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
14．（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△AEC≌△CDB，得到∠ACE＝∠CBD，根据三角形的内角和定理计算，得出结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝30°，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30°，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长PM＝MH，连接CH，由“SAS”可证△ACF≌△BCP，可得AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，由“SAS”可证△CMH≌△BMP，可得CH＝BP＝AF，∠HCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AFP≌△HCP，可得AP＝PN＝2PM．
解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE＝∠CBD，
∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，
∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；
（2）①解：AP＝2PM，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，
∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，
∴PB＝PC，
∵∠BPC＝120°，
∴∠PBC＝∠PCB＝30°，
∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，
∴∠PAC＝∠PCA，
∴PA＝PC，
∴AP＝2PM，
故答案为：AP＝2PM；
②解：①中的结论成立，
理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，
∵∠BPC＝120°，
∴∠CPF＝60°，
∵PF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，
∴∠BCP＝∠ACF，
在△BCP和△ACF中，
，
∴△BCP≌△ACF（SAS），
∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP＝60°，
在△CMH和△BMP中，
，
∴△CMH≌△BMP（SAS），
∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，
∴CH∥BP，
∴∠HCP+∠BPC＝180°，
∴∠HCP＝60°＝∠AFP，
在△AFP和△HCP中，
，
∴△AFP≌△HCP（SAS），
∴AP＝PH＝2PM．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】
（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中   
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
16．（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题．
②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论．
（2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论．
解：（1）①∵，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为．
②如图，延长至点，使得，连接，

∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）．
如图，延长至点，使得，连接，

∵，，
∴≌，
∴，，
∵．
∴≌，
∴．
【点拨】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键．
17．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，见解析
【分析】
任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；
依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系即可．
解：任务一：
依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
任务二：
任务三：EF=2AD．理由如下：
如图延长AD至G，使DG=AD，

∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△ABD和△CGD中
∴△ABD≌△CGD
∴AB=CG，∠ABD=∠GCD
又∵AB=AE
∴AE=CG
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠GCD+∠BAC+∠ACB=180°
又∵∠BAE=90°，∠CAF=90°
∴∠EAF+∠BAC=360°-（∠BAE+∠CAF）=180°
∴∠EAF=∠GCD
在△EAF和△GCA中

∴△EAF≌△GCA
∴EF=AG
∴EF=2AD．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．