专题1.39 证明三角形全等作辅助法-截长补短（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

这是一份专题1.39 证明三角形全等作辅助法-截长补短（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共62页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.39 证明三角形全等作辅助法-截长补短（基础篇）
（专项练习）
“截长补短”是处理线段间数量关系的一种重要的解题方法.当题目中出现三条线段间的和差关系时(如a=b+c),常考虑用此法解决.所谓"截",就是将最长的线段a截成两段,使其中一段等于较短的一条线段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知识证另一段等于线段c;所谓"补",就是将较短的线段6延长,使延长的线段长度为c,相当于将线段b,c拼成一条线段,再证明此线段的长等于a.用截长补短法解决问题的关键,是用"截"或"补"的手段去构造线段.
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（　　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）

A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．无法确定
3．如图，在中，，，平分，、分别是、上的动点，当最小时，的度数为(　　)

A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C．3 D．
5．如图，在中，AD平分，，，，则AC的长为（       ）

A．3 B．9 C．11 D．15
二、填空题
6．如图，，平分，，，则_____．

7．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）

8．如图，是等边三角形，，，，则________．

9．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________．

11．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．

12．（1）如图（1），在四边形中，,，E，F分别是上的动点，且，求证：．
（2）如图（2），在（1）的条件下，当点E，F分别运动到的延长线上时，之间的数量关系是______．

13．如图，中，平分，，，则的度数为_______．

三、解答题
14．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．
（1）探究、、之间的关系，并说明理由；
（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．





15．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．






16．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．







17．已知：如图所示，四边形中，是上一点，且平分平分，若 ，求四边形的面积．






18．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．








19．阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．







20．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　．





21．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．











22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．



23．在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F．
（1）如图1，若．
①直接写出的大小；
②求证：．
（2）若图2，若，求证：．







24．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．









25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADB的度数；
（2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由．






26．如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．



27．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．





参考答案
1．B
【分析】
如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
解：如图，在上截取 连接
平分













故选：
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
【分析】
在AB上截取AF＝AD，连接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再证明△BCE≌△BFE，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.
解：如图所示，在AB上截取AF＝AD，连接EF，

∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，
又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB
∴∠ABE+∠EAB==90°，
∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，
在△ADE和△AFE中，

∴△ADE≌△AFE（SAS），
所以∠1＝∠2，
又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，
所以∠3＝∠4，
在△BCE和△BFE中，

∴△BCE≌△BFE（ASA），
所以BC＝BF，
所以AB＝AF+BF＝AD+BC；
故选C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.
3．B
【分析】
在AC上截取AE=AN，先证明△AME≌△AMN（SAS），推出ME=MN．当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，可求出∠NME的度数，从而求出∠BMN的度数．
解：如图，在AC上截取AE=AN，

∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中，
，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME，
当B、M、E共线，BE⊥AC时，BM+ME最小，
∴MN⊥AB
∵∠BAC=68°
∴∠NME=360°-∠BAC-∠MEA-∠MNA=360°-68°-90°-90°=112°，
∴∠BMN=180°-112°=68°．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，利用垂线段最短解决问题．
4．D
【分析】
利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4
∴AB=5，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴FE＝GE，
∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，
故当C、E、G三点共线时，符合要求，
此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，
此时，，
∴CH==，
即：CE+EF的最小值为，

故选：D．
【点拨】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．
5．C
【分析】
在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再证明CD=CE，进而代入数值解答即可．
解：在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，∠ADB =∠ADE， AB=AE，
又∠B=2∠ADB
∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，
∴∠DEC =∠EDC，
∴CD=CE，
∵，，
∴AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
6．4
【分析】
在BC上截取BE＝AB，利用“边角边”证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应边相等可得DE＝AD，由全等三角形对应角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，等量代换得到EC＝AD，则BC＝BE+EC＝AB+AD即可求出AD长．
解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△BED中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴DE＝AD，∠BED＝∠A，
又∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴EC＝AD，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD，
∵BC＝10，AB＝6，
∴AD＝10﹣6＝4；
故答案为：4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
7．180°-2x
【分析】
在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．
解：在CD上截取CE=CB，如图所示，

在△ABC和△AEC中，

∴△ABC≌△AEC(SAS)
∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，
∴AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x
∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x
故答案为：180°-2x
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
8．6
【分析】
在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，由四点共圆得∠，再证明，△是等边三角形，得，再由线段的和差关系可得结论．
解：在线段BD上取一点E，使得BE=CD，连接AE，

∵
∴四点共圆，
∴∠
∴∠
∵△是等边三角形，
∴，，
∴△，∠，
∴，
∴∠，即，
∴△是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠是解答此题的关键．
9．##
【分析】
在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解．
解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，

∵为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．40°
【分析】
在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，易得△ABD≌△FBD，进而可得DF=AD=DE，由此可证△DEC≌△DFC，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解．
解：在BC上截取BF=AB，连接DF，

∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分线，
∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，
∠ADB=60°，∠BDC=120°，
BD=BD，
△ABD≌△FBD，
DE=DA，
DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，
DC=DC，
△DEC≌△DFC，
；
故答案为40°．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定条件及外角性质是解题的关键．
11．6
【分析】
在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．
解：
在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：
AB=AC，∠FAB=∠EAC，
，
BF=EC，∠BFA=∠E，
∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，
∠DFB=∠D，
BF=BD，
BD=6，
CE=6．
故答案为6．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（1）详见分析；（2）
【分析】
（1）延长到点G，使，连接，先证明，得到，然后证明，得到，根据，可得；
（2）在上截取，连接，先证明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．
解：（1）如图，延长到点G，使，连接．

，
，
又，，
∴，
，
， ．
，
∴，
．
，
；
（2）．
如图，在上截取，连接，

，
，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∠BAD=2∠EAF，
∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，
∴∠GAE=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
∵BG=DF，
∴EF=BE-BG=BE-DF．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．
13．
【分析】
如图（见分析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出，最后根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．
解：如图，在线段AC上取点E，使得
平分

在和中，

，
又





故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
14．（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可；
（2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可．
解：（1）和是等腰三角形，







延长AB至G，使得BG=CF，连接DG


在和中，
BG=CF，
，





在和中，
DE=DE，
，

（2）在CA上截取CG=BE,连接DG

是等腰三角形，





在和中，
CG=BE，


在和中，
FD=FD，


【点拨】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15．
【分析】
在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．
解：如图，在上截取，连接．
∵平分，
．
∵，
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则．
∵在中，，
解得，
∴．

【点拨】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．CN=MN+BM，见分析
【分析】
采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.
解：CN=MN+BM．证明：
如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°．
又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．
∴∠MDN=∠EDN．
在△MND与△END中，

∴△MND≌△END（SAS）．
∴MN=NE．
∴CN=NE+CE=MN+BM．
【点拨】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键.
17．12.
【分析】
在AB上截，根据SAS易证，∠AOD=∠AOE，根据平行线和角平分线的性质可得出∠AOB=90°，则 ，可得 ，继而证明△BOE≌△BOC，可得S四ABCD =2S△AOB，即可得出答案．
解：在AB上截，

∵AO平分∠BAD，
∴∠DAO=∠EAO，
在△AOD和△AOE中,
∴，
，
，平分，平分，
∴∠AOB=90°，

，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO，
在△BOC和△BOE中,   
∴，
四边形ABCD的面积的面积= =12.
故答案为12.
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，由全等三角形的性质得出S四ABCD =2S△AOB是解题的关键．
18．详见分析
【分析】
根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
解：证明：延长ED至G，使，连结GC，

∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，

∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形．
19．（1）5.8；（2）4.3
【分析】
（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，

在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．
20．（1）见分析；（2）见分析；（3）CF=EF-BD．
【分析】
（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）在直线l上位于C点左侧去一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∵∠BDC=60°，
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，
∴∠ACE=∠CBD，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（AAS）

（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，
由（1）可知△AEC≌△CDB，
∴CE=BD，
∵∠ACE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEF=∠AFH=120°，
∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，
∴∠FAE=∠HFG，
在△FAE和△HFG中，
，
∴△FAE≌△HFG（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；

（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N
∵∠BDC=60°，BM=BD，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM=∠DMB=60°，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC
∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBM，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，
∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，
∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，
∴∠CMB=∠AEC，
在△AEC和△CMB中，
，
∴△AEC≌△CMB（AAS），
∴CE=BM=BD；
∵∠AFH=120°，
∴∠AFC+∠GFH=60°，
∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，
∴∠AFC=∠FHG，
在△AEF和△FGH中，
，
∴△AEF≌△FGH（AAS），
∴HG=EF，
∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．
故答案为：CF=EF-BD．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
21．证明见分析
【分析】
如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.
解：如图，在上截取
平分









平分






【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.
22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】
（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
解：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，

∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，

∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
23．（1）①120°；②见分析；（2）见分析
【分析】
（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；
（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．
解：（1）①∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠BCA)= ×120°=60°，
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；
②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，
在△ADF和△AHF中，

∴△ADF≌△AHF(SAS)，
∴∠AFD=∠AFH，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFH=∠CFE，
由①可知，∠AFC=120°，
∴∠CFE=180°-120°=60°，
∴AFH=∠CFE=60°，
∴∠CFH=60°，
即：∠CFH=∠CFE，
在△CFH和△CFE中，

∴△CFH≌△CFE(ASA)，
∴CE=CH，
∵AC=AH+CH，
∴AC=AD+CE；

（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAF=∠SAF，
在△ADF和△ASF中，

∴△ADF≌△ASF(SAS)，
同理可证△AED≌△AES，△CEF≌△CTF，
∴DF=SF，DE=SE，FT=FE，
∴△DEF≌△SEF，
∴，，，
且∠AFD=∠AFS，∠CFE=∠CFT，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT，
由（1）可得：∠AFC=90°+∠B=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∴∠AFD=∠AFS=∠CFE=∠CFT=45°，
∴∠CFT=135°-∠AFS =90°，
∴CF⊥SF，
又∵FT=FE，CT=CE，
∴CF垂直平分EF，
即：CF⊥ET，
∴SF∥ET，
∴，
∴
∵，
∴．

【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
24．见分析
【分析】
在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证．
解：如图，在上取一点H，使，连接．

∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25．（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见分析
【分析】
（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD （SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°；
（2）DE＝AD+CD，
理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°．
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME．
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（1）见分析；（2）见分析；（3）4
【分析】
（1）利用所在直线是的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论．
（2）由是等边三角形，得AC=AE=AB推得．易证≌（SSS），即可，
（3）延长至点处，使，连接．先证直角三角形≌（SAS），推出，．再证．求出，．用表示．而，得．可证≌（SAS），可推得即可．
解：（1）证明：∵，是边的中点，
∴所在直线是的垂直平分线，
又∵点F在直线AD上
∴．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，，
又∵，，
∴≌（SSS），
∴，
∴．
（3）解：如图，延长至点处，使，连接．

∵，是边的中点，
∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴≌（SAS），
∴，．
由（2）可知，，
∵，
∴．
由（1）可知，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴≌（SAS），
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题．
27．（1）4；（2）FG=BF+EG，见分析；（3）FG=BF-EG
【分析】
（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∵∠BDE=120°，
∴∠ABC=60°，
∵DF⊥BF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=BF•tan60°，
∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，
∴CF=DF•tan60°，
∴BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．
理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∵∠FDG∠BDE，
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=EG+HE=EG+BF，
∴FG=BF+EG；
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．
理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，
∵∠FDG∠BDE∠FDH，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=HE-GE=BF-EG，
∴FG=BF=-EG．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．