专题1.49 《全等三角形》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题1.49 《全等三角形》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）
【类型一】全等三角形➼➻判定★✭性质➻角度★✭线段★✭周长★✭面积
【类型①】全等三角形➼➻直接证明➻线段★✭角
1． （2022·浙江衢州·中考真题）已知：如图，．
求证：．





2．（2019·广西桂林·中考真题）如图，，点在上．
（1）求证：平分；（2）求证：．





【类型②】全等三角形➼➻判定★✭性质➻周长★✭面积
3．（2020·四川宜宾·中考真题）如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．





4．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1) 求证：；
(2) 若，，求的面积．



【类型③】全等三角形➼➻判定★✭性质➻尺规作图★✭证明
5．（2019·广西柳州·中考真题）已知：．
求作：，使得．
作法：
①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点；
②画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；
④过点画射线，则．
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出（请保留作图痕迹）．
（2）完成下面证明的过程（注：括号里填写推理的依据）．
证明：由作法可知，，　 　，
∴≌（　 　）
∴．（　 　）

6．（2019·河北张家口·二模）嘉淇同学要证，她先用下列尺规作图步骤作图：①；②以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接；③过点作，垂足为点．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．

【类型④】全等三角形➼➻条件开放性问题
7．（2022·江苏南通·二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：．





8．（2022·甘肃兰州·一模）如图，BD平分∠ABC，点E在BD上．从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由．
①；②；③．
你选择的已知条件是______，结论是______（填写序号）；该命题为______（填“真”或“假”）命题．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．



【类型⑤】全等三角形➼➻结论开放性问题
9．（2020·广西河池·中考真题）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．






10．（2022·北京石景山·一模）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：；
(3) 用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．


【类型二】全等三角形➼➻几何模型
【类型①】全等三角形➼➻几何模型➻一线三直角★✭旋转
11．（2019·湖北黄冈·中考真题）如图，是正方形，是边上任意一点，连接，作，，垂足分别为G．求证：．





12．（2019·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.
（1）求证：
（2）求证：






【类型②】全等三角形➼➻几何模型➻双垂线等角★✭手拉手
13． （2009·黑龙江鸡西·中考真题） 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．




14．（2017·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：和都是等腰直角三角形，，连接，交于点，与交于点，与交于点.
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形.


【类型三】全等三角形➼➻作辅助线➻截长补短★✭倍长中线
15．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．








16．（2022·福建·模拟预测）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6
（1）尺规作图：作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．






【类型四】全等三角形➼➻三角形内角和★✭角平分线性质
17．（2022·山东·济南育英中学模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．





18．（2021·江苏·沭阳县修远中学一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P．
（1）求的度数．
（2）求证：点在的平分线上．
（3）求证：①； ②．



【类型五】全等三角形➼➻拓展探究★✭能力提升
【类型①】全等三角形➼➻综合探究
19．（2022·江西抚州·七年级阶段练习）综合与探究：
如图1所示的是由两块三角板组成的图形，其中在中，，，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD并延长，交BA的延长线于点G．
(1) 当时，试用含的代数式表示∠BAE的度数．
(2) 当时，试探究BC与BG的数量关系，并说明理由．
(3) 过点C作，交BD的延长线于点H，如图2所示，在满足（2）的情况下，求∠DCH的度数，并直接写出与∠DCH相等的角（除∠G外，写两个即可）．












20．（2022·山东济南·七年级期末）（初步探索）（1）如图：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
(1)（1）小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________；
(2)（灵活运用）（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；













【类型②】全等三角形➼➻问题背景
21．（2022·河南漯河·八年级期末）
(1)【自主学习】填空：
如图1，点是的平分线上一点，点A在上，用圆规在上截取，连接，可得　　，其理由根据是　　；
(2)【理解运用】如图2，在中，，，平分，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长．
















22．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．









【类型六】全等三角形➼➻线段垂直平分线★✭作图
23．（2019·湖北省鹤峰县实验中学二模）已知：如图，在中，∠BAC=90°，，垂直平分AC，点D在BA的延长线上，.求证（1）△DAF≌△EFC；（2）DF=BE．





24．（2019·江苏无锡·一模）（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．
求证：．
（2）如图2，在中，，为的中点．
①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果，,P为MN中点,求MQ的长度.








参考答案
1．见分析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
解：∵，，，
∴，
∵ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
2． （1）见分析；（2）见分析.
【分析】（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD；
（2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出BE=DE．
解：（1）在与中，
∴
∴
即平分；
（2）由（1）
在与中，得
∴
∴
【点拨】熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．
3．（1）详见分析；（2）10．【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；
（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，

所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点
∴


∵
．
答：三角形ACE的面积为10．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．(1)证明过程见分析(2)16
【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
（1）证明：若①∵DE，DF分别是 ​和 ​
高∴在和中
∵
∴
若②∵DE，DF分别是 ​和 ​
高∴在和中
∵
∴
若③∵DE，DF分别是 ​和 ​
高∴在和中
∵
∴
（2） 解：∵
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
5． （1）详见分析；（2），，全等三角形的对应角相等．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）证明：由作法可知，，，
∴≌（）
∴．（全等三角形的对应角相等）
故答案为，，全等三角形的对应角相等．

【点拨】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
6． （1）BE；BF；（2）见分析
【分析】（1）以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧得到BC=BE，根据题目第一句话得AE=BF；
（2）根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC，然后根据AAS证明△ABE≌△FCB，然后利用全等三角形的性质即可证明．
解：（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在△ABE与△FCB中，

∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【点拨】本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．
7． 证明见分析
【分析】选②，根据角平分线的性质可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的内角和定理可得，，即可求解，若选③，证明，即可求解．
解：若选②；
证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
∵∠E＝∠C，
∴．
∵，．
∴∠ADE＝∠ABC．
若选③，
证明：∵AC平分∠BAE，∴．
在△ABC和△ADE中，

∴．
∴．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形求得的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
8． ①②，③，真，理由见分析．
【分析】以①②为条件，③为结论，结合全等三角形的判定方法及真假命题的定义解答．
解：条件是：①；②，结论是：③．
BD平分∠ABC，

又，

．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、命题的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
9． （1）证明见分析；（2）AE=BE；理由见分析
【分析】（1）根据SAS可得出答案；
（2）在CE上截取CF＝DE，证明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，则可得出BE＝BF．结论得证．
解：（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．(1)见分析(2)见分析(3)，证明见分析
【分析】（1）根据题目步骤作图即可；
（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；
（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．
解：（1）依题意补全图形如下：

（2）过E作EM⊥BC于M

在和中

∴(AAS)
∴
∵
∴
∵BE⊥BF
∴
在和中

∴ (ASA)，
∴
（3），证明如下：   
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．
11． 详见分析
【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG是解题的关键．
12．（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
解：（1）如图

∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
13．见分析解： 图2成立；图3不成立 2分
证明图2：

解：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC
则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°
再证∠MDE=∠NDF，DM=DN
有△DME≌△DNF
∴S△DME= S△DNF
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF
由信息可知S四边形DMCN=S△ABC
∴S△DEF+ S△CEF=S△ABC···························· 4分
图3不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：
S△DEFS△CEF=S△ ABC 2分
14． （1）证明见分析；（2）△ACB≌△DCE（SAS），△EMC≌△BCN（ASA），△AON≌△DOM（AAS），△AOB≌△DOE（HL）
试题分析：（1）根据全等三角形的判定（SAS）证明△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；
（2）根据条件判断出图中的全等直角三角形即可；
解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中， ,
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
（2） ∵AC=DC，
∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，
∴∠DOM=90°，
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM=CN，
∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），
∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等腰直角三角形．
15． 见分析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．
解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，

∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
16． （1）见分析；（2）1＜CD＜5．
【分析】（1）由题知CD为中线，只要使DE=CD，然后连接AE即可；
（2）根据三角形三边关系，先求出CE的取值范围，即可求出CD的取值范围.
解：（1）中点D如图所示，△ADE即为所求．

（2）由题意AE＝BC＝6，
∴6﹣4＜EC＜4+6，
∴2＜EC＜10，
∵EC＝2CD，
∴1＜CD＜5．
【点拨】本题是对尺规作图和三角形第三边取值范围的考查，熟练掌握尺规作图和三角形三边关系是解决本题的关键.
17．(1)见分析(2)AE+CD=AC，证明见分析
【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
(1)证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，

∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
18． （1）；（2）见分析；（3）①见分析，②见分析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；
（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，，分别垂直于，，，即可得解；
（3）①根据（2）所做图像，证明全等即可得解；②在AB上取，证明，，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明．
解：（1）已知，
，
又 AE，BD是的角平分线，
，
；
（2）作，，分别垂直于，，如图，
AE，BD是的角平分线，
，
在的平分线上；
（3）①：如图所示，在四边形中，
，（对顶角），
，
，
又，，
，
；
②：在AB上取，
，
，
同理可证，
，，
又，
，
，，
又，
，
又

，
．

【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键．
19．(1)45°-α(2)BC=BG，理由见分析(3)∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE
【分析】（1）证明△DAC≌△EAB（SAS），由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE，由三角形外角的性质可得出结论；
（2）证明△CBD≌△GBD（ASA），由全等三角形的性质可得出BC=BG；
（3）由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论．
（1）解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AD=AE，AC=AB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ACD=∠ABE，
∵∠AED=45°，
∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α；
（2）BC=BG，理由如下：
∵∠ACD=∠CBD，∠ACD=∠ABE，
∴∠CBD=∠ABE，
∵∠DFC=∠AFB，∠ACD=∠FBA，
∴∠FAB=∠CDF=90°，
∴∠CDB=∠GDB=90°，
∵DB=DB，
∴△CBD≌△GBD（ASA），
∴BC=BG；
（3）∵BC=BG，∠CBD=∠GBD，
∴CD=GD，
∵∠GAC=90°，
∴CD=AD=GD，
∴∠G=∠DAG，∠ACD=∠DAC，
∵CH∥BG，
∴∠DCH=∠G=∠DAG，
∵∠DCH+∠DCF=90°，∠DCF+∠DFC=90°，
∴∠DCH=∠DFC，
又∵∠DFC=∠AFE，
∴∠DCH=∠AFE，
∵∠ACD=∠DAC，
∴∠FAE=∠DFC，
∴∠DCH=∠FAE．
故与∠DCH相等的角有∠DFC，∠DCB，∠DAG，∠AFE，∠FAE．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)（初步探索）结论：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；(2)（灵活运用）成立，理由见分析
【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
（1）解：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵，
∴，
∵DG＝BE，，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF=BE+FD，DG＝BE，
∴，且AE＝AG，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．
故答案为：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；
（2）如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
又∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF
【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
21．(1)，SAS(2)，证明见分析(3)5
【分析】（1）由角平分线的定义得出，根据可证明；
（2）先截取，连接，根据判定，得出，，，进而得出结论；
（3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可求出答案．
(1)解：点是的平分线上一点，
，
在和中，
，
，
故答案为：；；
(2)．
证明：在上截取，

平分，
，
在和中，
，
，
，AD=DE，
，
，
，
即，
，
，
，
．
(3)在上取一点，使，

在中，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．
22． （1）100米；（2）1＜AD＜4；（3）见详解
【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；
（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；
（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．
（1）解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB=100米；
故答案为：100米
（2）延长到点E使，再连接
如图所示

∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴AC＝BE＝3，
∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（3）证明：在BC上截取BG＝AF，

∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°
∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°
∴∠CBA＝∠DAF，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF，（SAS）
∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，
∴∠EFA＝∠CGA，
∵在△ACG和△EAF中，
，
∴△ACG≌△EAF（AAS）
∴EE＝AG＝FD．
∴
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23． （1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】（1）根据全等三角形的判定（SAS）进行证明，即可得到答案；
（2）连接，根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可得到答案.
解：（1）∵垂直平分   ∴,
∵ ∴
∵ ∴   
∵ 又∵
∴
在和中,
   ∴≌
(2)连接

∵≌ ∴
∵垂直平分 ∴
∴ ∴
∴
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、垂直平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、垂直平分线的性质.
24． （1）见分析；（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．理由见分析；②MQ=3 .
【分析】（1）证明FC=FB，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②想办法证明GQ=GN即可．
解：（1）证明：如图1中，

垂直平分线段，
，
，
，
．
（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．

理由：垂直平分，
，，
，
，
点即为所求．
②∵P，P′关于GN对称，
∴GN⊥PP′，PK=KP′，
∴∠PKN=90°，
∵∠N=30°，
∴∠PNK=60°，
∴PN=2KP=PP′，
∵PM=PN，
∴PM=PP′，
∵∠NPK=∠PMP′+∠P′，
∴∠PMP′=∠P′=30°，
∴∠QMN=∠N=30°，
∴MQ=NQ，
∵∠G=∠QMG=60°，
∴QG=QM，
∴MQ=QG=NQ，
∵GM=3，∠N=30°，∠NMG=90°，
∴GN=2GM=6，
∴MQ=3．
【点拨】考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.