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专题3.13 《勾股定理》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题3.13 《勾股定理》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.13 《勾股定理》中考常考考点专题（基础篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
1．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
2．（2019·山东东营·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点二】勾股数★★勾股树
3．（2019·江苏无锡·中考模拟）如图，字母B所代表的正方形的边长是（ ）
A．194 B．144 C．13 D．12
4．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．9，12，15 D．
【考点三】勾股定理★★面积
5．（2016·湖南株洲·中考真题）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·黑龙江·二模）已知，则的面积为（ ）
A．6或 B．6或 C．12或 D．12或
【考点四】勾股定理★★网格
7．（2020·四川乐山·中考真题）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A．B． C． D．
8．（2021·陕西·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点五】勾股定理★★折叠
9．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·四川凉山·中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点六】勾股定理★★方程思想
11．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2
12．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【考点七】勾股定理★★弦图
13．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
14．（2016·贵州黔东南·中考真题）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
【考点八】勾股定理★★应用
15．（2013·贵州安顺·中考真题）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
16．（2016·山东东营·中考真题）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
二、填空题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
17．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．
18．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
【考点二】勾股数★★勾股树
19．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
20．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【考点三】勾股定理★★面积
21．（2021·辽宁·丹东市第三十一中学一模）如图，在中，，平分，，，，则的面积是________．
22．（2019·云南·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成．设直角三角形的两条直角边分别为，正方形与正方形的面积分别为25，9，则__________．
【考点四】勾股定理★★网格
23．（2022·北京大兴·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是：_______（填“>”，“=”或“<”）．
24．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是的高，则BD的长为 ________．
【考点五】勾股定理★★折叠
25．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.
26．（2018·江苏徐州·中考真题）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为_____．
【考点六】勾股定理★★方程思想
27．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．
28．（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
【考点七】勾股定理★★弦图
29．（2022·重庆沙坪坝·一模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为________．
30．（2021·福建·福州十八中二模）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____．
【考点八】勾股定理★★应用
31．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
32．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
三、解答题
33．（2019·黑龙江·中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
34．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，，，．
(1) 求证：≌．
(2) 若，，，求的长．
35．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1) 求证：；
(2) 若，，求CD的长度．
参考答案
1． D
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
2． A
【分析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.
解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
．
故选．
【点拨】本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.
3． D
【分析】正方形的面积就是三角形斜边和直角边的平方，字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，计算得出字母B面积的算数平方根即可．
解：如图：
根据勾股定理可以得出：
B的面积=169-25=144，
B所代表的正方形的边长=．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题关键．
4． C
【分析】判断每组数是否是勾股数，只需要判断两个较小的数的平方的和是否等于较大的数的平方即可．
解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，符合题意；
D、，不是勾股数，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键．
5． D
解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3．
综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选D．
6． A
【分析】分两种情况：当BC为直角边时，利用面积公式计算即可；当BC为斜边时，利用勾股定理求出该三角形的另一条直角边长，再利用面积公式计算求出答案．
解：当BC为直角边时，的面积为，
当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，
的面积为，
故选：A．
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题中注意题中没有明确直角时，应分情况求解．
7．A【分析】先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
【点拨】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
8． B
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
10． D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
11． A
【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程．
解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
12． A
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
13． B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
14． C
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
解：大正方形的面积是13，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
15． B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
16． C
解：分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．
在图②中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD-CD＝8-2＝6．
故选C．
17．18
【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．
解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．
18． 、
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
19．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
20． m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．
【分析】在中，，，，利用勾股定理得出，再根据，利用求解即可．
解：在中，，，，则
cm，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形面积的求解，涉及到勾股定理求线段长、三角形面积公式，根据图形准确选择三角形的底与高是解决问题的关键．
22．
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，利用完全平方公式求得即可求解．
解：∵大正方形的面积是25，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴(舍去负值)．
故答案是：．
【点拨】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．
23．
【分析】利用三角形中“大边对大角”进行判断．
解：，，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了比较三角形内角的大小关系，勾股定理，解决本题的关键是将角的大小关系转化为角的对边的大小关系．
24．
【分析】根据正方形减去三个三角形的面积可得S△ABC，进而根据网格的特点可知求得AC的长，进而根据等面积法求解即可．
解：S△ABC=4×4×1×3×1×3（1+3）×4
=16-1.5-1.5-8
=5，
根据网格的特点可知，AC==，
又∵BD×AC=5
∴BD= ==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理在网格中的应用，等面积法求解是解题的关键．
25． .
【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.
解：∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
26．7
【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=.
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案是：7．
【点拨】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
27．
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
28．
【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．
【分析】根据全等三角形的性质得到CF=BE=4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，
由勾股定理得，EF=＝＝3，
∴BF=BE-EF=4-3=1，
由勾股定理得，AB=＝＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
30．4
【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
解：直角三角形直角边的较短边为=6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故答案为：4．
【点拨】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
31． ．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
32．2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
解：若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
33． （1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向.
解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点拨】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
34．(1)证明见分析(2)
【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．
(1)证明：∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴≌；
(2)解：∵≌，
∴，
∵，，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．
35．(1)见详解(2)12
【分析】（1）根据，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可证△ABE≌△ACD；
（2）先根据勾股定理求出BE，然后结合△ABE≌△ACD即可得解．
(1)证明：∵，，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS） ；
(2)解：在Rt△ABE中，BE=，
由（1）知△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=12 ．
【点拨】本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．
专题3.13 《勾股定理》中考常考考点专题（基础篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
1．（2021·山东滨州·中考真题）在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
2．（2019·山东东营·中考真题）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点二】勾股数★★勾股树
3．（2019·江苏无锡·中考模拟）如图，字母B所代表的正方形的边长是（ ）
A．194 B．144 C．13 D．12
4．（2021·甘肃·景泰县第四中学八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．9，12，15 D．
【考点三】勾股定理★★面积
5．（2016·湖南株洲·中考真题）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·黑龙江·二模）已知，则的面积为（ ）
A．6或 B．6或 C．12或 D．12或
【考点四】勾股定理★★网格
7．（2020·四川乐山·中考真题）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（ ）
A．B． C． D．
8．（2021·陕西·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点五】勾股定理★★折叠
9．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·四川凉山·中考真题）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点六】勾股定理★★方程思想
11．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2
12．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【考点七】勾股定理★★弦图
13．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
14．（2016·贵州黔东南·中考真题）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（ ）
A．13 B．19 C．25 D．169
【考点八】勾股定理★★应用
15．（2013·贵州安顺·中考真题）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
16．（2016·山东东营·中考真题）在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）
A．10 B．8 C．6或10 D．8或10
二、填空题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
17．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．
18．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
【考点二】勾股数★★勾股树
19．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
20．（2022·湖北黄冈·中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．
【考点三】勾股定理★★面积
21．（2021·辽宁·丹东市第三十一中学一模）如图，在中，，平分，，，，则的面积是________．
22．（2019·云南·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成．设直角三角形的两条直角边分别为，正方形与正方形的面积分别为25，9，则__________．
【考点四】勾股定理★★网格
23．（2022·北京大兴·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则与的大小关系是：_______（填“>”，“=”或“<”）．
24．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学一模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是的高，则BD的长为 ________．
【考点五】勾股定理★★折叠
25．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.
26．（2018·江苏徐州·中考真题）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为_____．
【考点六】勾股定理★★方程思想
27．（2018·湖南湘潭·中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º， AC+AB=10， BC=3，求AC的长，若设AC=x， 则可列方程为________________．
28．（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
【考点七】勾股定理★★弦图
29．（2022·重庆沙坪坝·一模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABCD的方法证明了勾股定理（如图）．连结CE，若，，则正方形ABCD的边长为________．
30．（2021·福建·福州十八中二模）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为____．
【考点八】勾股定理★★应用
31．（2021·江苏南通·中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．
32．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
三、解答题
33．（2019·黑龙江·中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港．
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向．
34．（2022·山东淄博·模拟预测）如图，，，．
(1) 求证：≌．
(2) 若，，，求的长．
35．（2022·江苏苏州·一模）如图，，，垂足分别为点E，点D．
(1) 求证：；
(2) 若，，求CD的长度．
参考答案
1． D
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长．
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵，
∴，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
2． A
【分析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.
解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
．
故选．
【点拨】本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.
3． D
【分析】正方形的面积就是三角形斜边和直角边的平方，字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，计算得出字母B面积的算数平方根即可．
解：如图：
根据勾股定理可以得出：
B的面积=169-25=144，
B所代表的正方形的边长=．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题关键．
4． C
【分析】判断每组数是否是勾股数，只需要判断两个较小的数的平方的和是否等于较大的数的平方即可．
解：A、，不是勾股数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，是勾股数，符合题意；
D、，不是勾股数，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键．
5． D
解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3．
综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选D．
6． A
【分析】分两种情况：当BC为直角边时，利用面积公式计算即可；当BC为斜边时，利用勾股定理求出该三角形的另一条直角边长，再利用面积公式计算求出答案．
解：当BC为直角边时，的面积为，
当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，
的面积为，
故选：A．
【点拨】此题考查勾股定理的应用，解题中注意题中没有明确直角时，应分情况求解．
7．A【分析】先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形
而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形
故选：A．
【点拨】本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．
8． B
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
10． D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD=AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x=，
∴CE==，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理．
11． A
【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程．
解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，
由题意得：（x-1）2+52=x2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
12． A
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
13． B
【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．
解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
【点拨】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．
14． C
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解．
解：大正方形的面积是13，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
15． B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
16． C
解：分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10．
在图②中，由勾股定理，得
；
；
∴BC＝BD-CD＝8-2＝6．
故选C．
17．18
【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．
解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．
故答案为：18．
【点拨】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．
18． 、
【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
【点拨】本题考查了三角形全等及勾股定理，解题的关键是：通过全等找到边之间的关系，再利用勾股定理进行计算可得．
19．127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点拨】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
20． m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点拨】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．
【分析】在中，，，，利用勾股定理得出，再根据，利用求解即可．
解：在中，，，，则
cm，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形面积的求解，涉及到勾股定理求线段长、三角形面积公式，根据图形准确选择三角形的底与高是解决问题的关键．
22．
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，利用完全平方公式求得即可求解．
解：∵大正方形的面积是25，
∴，
∴，
∵直角三角形的面积是，
又∵直角三角形的面积是，
∴，
∴，
∴(舍去负值)．
故答案是：．
【点拨】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．
23．
【分析】利用三角形中“大边对大角”进行判断．
解：，，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了比较三角形内角的大小关系，勾股定理，解决本题的关键是将角的大小关系转化为角的对边的大小关系．
24．
【分析】根据正方形减去三个三角形的面积可得S△ABC，进而根据网格的特点可知求得AC的长，进而根据等面积法求解即可．
解：S△ABC=4×4×1×3×1×3（1+3）×4
=16-1.5-1.5-8
=5，
根据网格的特点可知，AC==，
又∵BD×AC=5
∴BD= ==，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理在网格中的应用，等面积法求解是解题的关键．
25． .
【分析】根据相似三角形的判断得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面积公式得到S△A'EP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.
解：∵A'E∥PF
∴∠A'EP=∠D'PH
又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°
∴∠A'=∠D'
∴△A'EP～△D'PH
又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P
∴A'P= D'P
设A'P=D'P=x
∵S△A'EP：S△D'PH=4：1
∴A'E=2D'P=2x
∴S△A'EP=
∵
∴
∴A'P=D'P=2
∴A'E=2D'P=4
∴
∴
∴
∴
∴
∴
【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.
26．7
【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．
解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=.
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案是：7．
【点拨】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
27．
【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．
解：∵，且，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
即：，
故可列出的方程为：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
28．
【分析】设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．
【分析】根据全等三角形的性质得到CF=BE=4，根据勾股定理求出EF，求出BF，进而得出AE，根据勾股定理计算，得到答案．
解：如图所示：
由四个全等的直角三角形可得，BE=CF=4，AE=BF，
由勾股定理得，EF=＝＝3，
∴BF=BE-EF=4-3=1，
由勾股定理得，AB=＝＝，
故答案为：．
【点拨】此题考查是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
30．4
【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
解：直角三角形直角边的较短边为=6，
正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．
故答案为：4．
【点拨】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
31． ．
【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．
解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴海里，海里，
在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC=海里，
∴海里，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．
32．2.4或
【分析】分两种情况：直角三角形的两直角边为3、4或直角三角形一条直角边为3，斜边为4，首先根据勾股定理即可求第三边的长度，再根据三角形的面积即可解题．
解：若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
∴．
故答案为：2.4或．
【点拨】本题考查了勾股定理和直角三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
33． （1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上．
【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1.
（2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向.
解：（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．
∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1．
答：A、C两地之间的距离为14.1km．
（2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，
∴C港在A港北偏东15°的方向上．
【点拨】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键.
34．(1)证明见分析(2)
【分析】由全等三角形的判定定理证得≌；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可求出答案．
(1)证明：∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴≌；
(2)解：∵≌，
∴，
∵，，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明≌是解题的关键．
35．(1)见详解(2)12
【分析】（1）根据，，得出∠AEB=∠ADC=90°，利用AAS可证△ABE≌△ACD；
（2）先根据勾股定理求出BE，然后结合△ABE≌△ACD即可得解．
(1)证明：∵，，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS） ；
(2)解：在Rt△ABE中，BE=，
由（1）知△ABE≌△ACD，
∴CD=BE=12 ．
【点拨】本题考查三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．
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