专题4.17 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题4.17 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二、实数概念及分类有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数　特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；         ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数   大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根与算术平方根1、已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根．【答案】【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出和的值，进而求出a和b的值，将a和b的值代入即可求解．解：∵的平方根是，的算术平方根是4，∴=9，=16，∴a=4，b=-1把a=4，b=-1代入得：3×4-4×(-1)=16，∴的平方根为：．【点拨】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．【变式1】王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下：依题意可知，是或者是两数中的一个，（1）当，解得．（2）所以这个数为．（3）当时，解得．（4）所以这个数为．（5）综上可得，这个数为2或．（6）王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正．【答案】这个数为4，小张错在第（3）（5）（6），共3个错处．【分析】根据知道一个数的平方根时，要求这个数需要平方，由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，从而可对求得的m的值作出取舍．解：可以看出小张错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”；当时，这个数的算术平方根为；这个数为，故（3）错误；当时，这个数的算术平方根为（舍去），故（5）错误；综上可得，这个数为4，故（6）错误；所以小张错在第（3）（5）（6）．【点拨】本题主要考查算术平方根、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．【变式2】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是_______；（2）求的值；（3）在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）用减去2即可得到m值；（2）将m代入中计算即可；（3）根据相反数的性质得到，根据非负数的性质得到c和d的值，代入计算即可．解：（1）实数m的值是；（2）∵m=，∴===；（3）∵与互为相反数，∴，∴=0，=0，∴c=-2，d=4，∴==，∴的平方根为．【点拨】本题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．类型二、立方根2、求下列各式中x的值：(1) (2x－3)3＝36；        (2)(5x－2)3＝－125.【答案】(1)；（2）.【分析】(1)方程两边同乘以6，再将方程两边直接开立方即可得到方程的解；(2)方程两边直接开立方即可得到方程的解.解：(1) (2x－3)3＝216，2x－3＝，2x－3＝6，x＝.(2)  5x－2＝，5x－2＝－5，x＝－.【点拨】本题考查了立方根的定义，熟练掌握利用立方根的定义求方程的解的方法是解题的关键；【变式1】简答：(1)  设+|b3-27|=0,求(a+b)2的值;(2)  已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,求的值.【答案】(1)1;(2)6.【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；（2）首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简即可．解：(1)  由题意知:a3+64=0,b3-27=0, 解得a=-4,b=3. ∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1. (2)  ∵=15=a,=-8=b, ∴=6.【点拨】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义.根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值是解题的关键．【变式2】如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x．(1)  求x的值；(2) 求(x－)2的立方根．【答案】（1）x=﹣1；（2）1．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．解：（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB＝－1，即x＝－1；（2）∵x＝－1，∴原式＝(x−)2＝(−1−)2＝1，∴的立方根为1．【点拨】本题考查的是实数与数轴，立方根，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数3、已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是的整数部分．(1)  求a+b+c的值．(2)  求3a﹣b+c的平方根．【答案】(1)-33(2)±7【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出a，b的值，再估算出的值即可求出c的值，然后进行计算即可解答；（2）把a，b，c的值代入3a-b+c中进行计算，然后再求出49的平方根即可解答．解：（1）由题意得：3a﹣14+a+2＝0，b+11＝﹣27，∴a＝3，b＝﹣38，∵4＜7＜9，∴23，∵c是的整数部分，∴c＝2，∴a+b+c＝3+（﹣38）+2＝﹣33；（2）当a＝3，b＝﹣38，c＝2时，3a﹣b+c＝9+38+2＝49，∵49的平方根是±7，∴3a﹣b+c的平方根是±7．【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．【变式1】把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，，，.（1）有理数集合：；（2）正实数集合：；（3）无理数集合：；（4）负实数集合：.【答案】见解析【分析】根据 进行分类即可．解：（1）有理数集合；（2）正实数集合；（3）无理数集合；（4）负实数集合．【点拨】本题考查实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．【变式2】已知a＝|－|＋|1－|－|－2|，求－2a＋2的平方根．【答案】－2a＋2的平方根是0.【分析】先根据绝对值的性质化简a，再代入即可.解：∵<，1<， >2.∴a＝－＋－1－＋2＝1，∴－2a＋2＝0，∴－2a＋2的平方根是0.【点拨】此题考查了绝对值的性质和平方根是定义，熟练掌握这个性质是解题的关键.4、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）．【分析】（1）根据不等式的性质即可求解；（2）根据小华的方法求解即可．解：（1）∵，∴，∴；，∵，∴．∴，∴，故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；（2）∵，∴，∴；【点拨】考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．【变式1】讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小．方法一：．又∵8＜12，∴．方法二：200=8，4×3=12．又∵8＜12，∴．根据上面的例题解答下列各题：（1）比较和的大小；（2）比较1与的大小．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案；（2）根据乘方，可得实数的减法，根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案．解：（1）（﹣5）2=150，（﹣6）2=180，150＜180，∴；（2）（1）2=8﹣2，（）2=8﹣2∵，∴．【点拨】本题考查了实数比较大小，掌握平方法比较实数大小是解答本题的关键．【变式2】比较下列各数的大小：(1)2和4;(2)和;(3)和.【答案】(1)2<4； (2)>；(3)>. 【分析】（1）将根号外的数变为平方后移到根号内，然后比较根号内的数的大小即可；（2）根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可；（3）先变为分母相同的两个数，然后比较分子的大小即可.解：(1) ∵2=，4=，28<32，∴，∴2<4； (2)  ∵||==0.1，||=π≈3.14，0.1<3.14，∴>；(3)  ∵=，=，8>5，∴>.【点拨】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.5、计算(1)  ；      (2) ．【答案】(1) 4    (2) 3【分析】（1）先化简立方根、算术平方根及绝对值，再算加减；（2）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减．（1）解：原式 （2）解：原式 【点拨】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握立方根、算术平方根的定义和去绝对值、去括号的法则．【变式1】计算题：【答案】【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，有理数乘法的运算法则来求解．解：  ．【点拨】本题主要考查了实数的运算，理解算术平方根，绝对值，立方根，有理数乘法的运算法则是解答关键．【变式2】计算：．【答案】3【分析】根据绝对值、零指数幂、负整指数幂和立方根的运算法则计算即可．解：，=，=3．【点拨】本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是掌握相关的运算法则即可．6、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简.【答案】 b-a+2c【分析】根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．解：==b-a+b+c-b+c =b-a+2c【点拨】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．【变式1】已知表示，，，四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数，满足以下关系式：，．(1)  _______；(2)  的倒数和绝对值都是本身，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意分析出所表示的运算类型，再进行计算；（2）的倒数和绝对值等于本身，故，然后进行计算．(1)解：，，表示的是加法运算．．(2)解：的倒数和绝对值都是本身，．．【点拨】本题考查了新定义运算，有理数的四则运算，解决本题的关键是分析运算是四则运算中的哪一种．【变式2】观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：             ；（2）写出你猜想的第个等式          （用含的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明详见解析【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：分母为序号数分子为比序号数大2的数，与比序号数大1的倒数相乘，等于分母为序号数分子为比序号数大2的数减去分母为比序号数大1分子比序号数大2的数，按照此规律即可求解；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．解：（1）根据题意，第六个等式为：；故答案为：；（2）第n个等式为：，证明：∵左边．右边∴左边=右边，等式成立故答案为：．【点拨】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．类型四、近似数7、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？(1)600万；    (2) 7.03万；   (3) 5.8亿； (4) 3.30×105。【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位【分析】（1）根据近似数的精确度求解；（2）根据近似数的精确度求解；（3）根据近似数的精确度求解；（4）根据近似数的精确度求解．（1）解：∵600万的末尾为万位，∴600万精确到万位；（2）解：∵7.03万的末尾为百位，∴7.03万精确到百位；（3）解：∵5.8亿的末尾为千万位，∴5.8亿精确到千万位；（4）解：∵3.30×105的末尾为千位，∴3.30×105亿精确到千位；【点拨】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键．【变式1】用四舍五入法，按下列要求对159 897 000 000 分别取近似值(用科学记数法表示)．(1)  精确到千万位；(2)  精确到亿位；(3)  精确到百亿位．【答案】(1) 1.599 0×1011；(2) 1.599×1011；(3) 1.6×1011．【分析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可；（2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可；（3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可．解：(1) 159 897 000 000≈1.599 0×1011；(2)  159 897 000 000≈1.599×1011；(3)  159 897 000 000≈1.6×1011【点拨】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数．【变式2】1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒      千米．(1)现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？(2)写出你的计算过程．（结果保留一位小数）【答案】(1)3.1(2)见解析【分析】（1）先将卫星到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案；（2）按（1）中的分析解答即可．（1）答案为：3.1，解题过程见（2）．（2）解：×（36000+6400）×2÷（3600×24），＝×（36000+6400）×2÷3600÷24，≈3.1（千米），答：卫星在轨道上的绕行速度约为每秒3.1千米．【点拨】本题考查了近似数和有效数字的区别，精确到“第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确．