专题6.26 一次函数中的三角形全等问题专题（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题6.26 一次函数中的三角形全等问题专题（专项练习）
1．如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第四像限内作等腰，，求C点坐标．





2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．
(1) 直接写出点、、的坐标；
(2) 求的面积．







3．已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．
(1) 如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；
(2) △AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
(3) 如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．



4．如图，直线AB：y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF．
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长．
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE=，求CF的长．


5．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于.
（1）求证：.
（2）已知直线与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转45°至，如图2，求的函数解析式.







6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．
(1) 求A，B两点的坐标；
(2) 求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；
(3) 求当t为何值时，并求此时M点的坐标．



7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．
(1) 直接写出点A、B、C的坐标；
(2) 求△ADE的面积．




8．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点为线段BC上一个动点．
(1)求BC，OD的长；
(2)在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标．



9．如图，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段，且，直线交x轴于点D．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______，点C的坐标为______；直线的函数关系式______；
(2)点P是直线上的一点，且到x轴，y轴距离相等，连接，求出的面积；
(3)若点Q是图中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标．










10．矩形的边在x轴上，点C、D在第一象限，且，点A的坐标为，如图（1）．
(1)直接写出点C的坐标为（ ， ）；
(2)过点A的直线与矩形的一条边交于点E，如果直线把矩形分成两部分图形的面积比为，求直线的解析式；
(3)P是线段上动点，，连接，以为直角边在的逆时针方向作等腰直角三角形，且，，如图（2）．
①求出点Q的坐标（用含m的式子表示）；②连接，当线段的长度最短时，求m的值；








11．如图，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使．
(1) 分别求点B，C的坐标；
(2) 在x轴上求一点P，使它到B，C两点的距离之和最小．







12．如图，已知直线AB的解析式为y＝x＋m，线段CD所在直线解析式为y＝﹣x＋n，连接AD，点E为线段OA上一点，连接BE，使得∠EBO＝2∠BAD．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：BE＝EC；
（3）当AD＝10，BE＝5时，求m与n的值．





13．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P．
（1）求∠OAB的度数和△AOB的面积；
（2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标；
（3）当时，求直线l的解析式．




14．如图，直线y＝kx+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且AB＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）求k的值；
（3）C为OB的中点，过点C作直线AB的垂线，垂足为D，交x轴正半轴于点P，试求点P的坐标及直线CP的函数表达式．




15．如图1所示，直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0）与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于点A、B两点．
（1）当OA＝OB时，求直线l的表达式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设C为线段AB延长线上一点，作直线OC，过点A、B两点分别作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，若AD＝，求BE的长；
（3）如图3所示，当K取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，以AB为底向上作等腰直角△ABP，试问：B点运动时，点P是否始终在某一直线上运动？若是，请写出该直线对应的函数表达式并说明理由；若不是，请说明理由．


16．在平面直角坐标系中，正方形的点B在x轴上，C在y轴上，．
（1）如图1，若在线段上，N在第二象限，且满足和，则N的坐标为______________；
（2）如图2，若M在的延长线上，N在y轴上，使得，若，，求的面积；
（3）连接交于点P，在（2）的条件下__________．










17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交直线y＝﹣2x＋9于点C．
（1）点C的坐标是　 　．
（2）点M是直线AB上一点，点N是直线y＝﹣2x＋9上一点，连接线段MN，若MNx轴，且MN＝6，求出所有符合条件的点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，平面上是否存在点P，使得△BOP和△MNC全等，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．














18．[建立模型]如图1，已知，，，顶点在直线上．
操作：过点作于点，过点作于点．求证：≌．
[模型应用]
（1）如图2，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到，求的函数表达式．（提示：可以以为直角边建立模型）
（2）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点，，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由．






19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，设点C的纵坐标为m．
（1）求点B的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求线段BO长度的最小值．








20．已知：如图，直线：y＝﹣x＋4分别交x，y轴于A、B两点．以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°；直线l2经过点C与点D（4，0），且与直线l1在x轴下方相交于点E
（1）请求出直线l2的函数关系式；
（2）求出△ADE的面积；
（3）在直线l2上不同于点E，是否存在一点P，使得△ADP与△ADE面积相等，如若存在，请求出点P的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点F，使△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．









21．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，，
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．







22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．

（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．



23．如图，正比例函数经过点A，点A在第二象限，过点A作轴于点，，且的面积为．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若直线上有一点满足，且，求的值．



24．如图1，直线与、轴分别交于，以为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，
（1）点坐标为______；
（2）如图2，点为线段上的一个动点（不与、重合），连接，以为直角边作等腰直角△AEF，连接交轴于，求证：是的中点；
（3）如图3，将沿着轴向左平移得到，直线与轴交于点，若以为顶点的三角形是等腰三角形，请求出点的坐标．





参考答案
1．C的坐标是．
【分析】对于已知一次函数解析式，分别令x与y为0分别确定出A与B坐标，过C作CD垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，，利用AAS得到三角形ABO与三角形CAD全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，根据求出OD的长，从而确定出C坐标．
解：对于一次函数，
令得：；令，解得，
∴B的坐标是，A的坐标是，
作轴于点D，如图所示：

，
，
，
∴．
在与中，
，
，
，
∴C的坐标是．
【点拨】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
2．(1)点A的坐标为(3，0) ，点B的坐标为(0，4) ，点的坐标为
(2)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC=AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠B=∠C，∠BDA=∠ADC，进而可得∠AOD=∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
（1）解：由题意，直线与轴、轴分别交于点，，
令，得，
点的坐标为，
令，得，
点的坐标为，
，，
，
将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，
即，
，
点的坐标为．
（2）解：由翻折的性质可得，，，
，
，
，
，
≌，
点，
，
．
【点拨】本题考查一次函数的图象与性质、勾股定理，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质．
3．(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.
【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；
(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；
(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m-3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.
(1)解：连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，

当y=0时，-3x+3=0，
解得x=1，
∴A（1，0），
当x=0时，y=3，
∴OB=3，B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，
∴D（-3，0），
∵点E到两坐标轴的距离相等，
∴EG=EH，
∵EH⊥OC，EG⊥OC，
∴OE平分∠BOC，
∵OB=OC=3，
∴CE=BE，
∴E为BC的中点，
∴E（，）；
(2)解: △AOB≌△FOD，
设直线DE表达式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴y=x+1，
∵F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），  
∴OF=OA=1，
∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，
∴△AOB≌△FOD；
(3)
解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），
∴点G（0，-3），
∵C（3，0），
设直线GC的解析式为：y=ax+c，
，
解得：，
∴y=x-3，
AB==  ，
设P（m，m-3），
①当AB=AP时，
=
整理得：m2-4m=0，  
解得：m1=0，m2=4，
∴P（0，-3）或（4，1），
②当AB=BP时，=
m2-6m+13=0,
△＜0
故不存在，
③当AP=BP时，
=，
解得：m=，
∴P（， ），
综上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），
【点拨】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.
4．（1）A（4，0），B（0，-4），；（2）AF=BE，AF⊥BE，理由见分析；（3）．
【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、B的坐标即可；
（1）证明△FOA≌△EOB，根据全等三角形的性质得到AF=BE，∠FAO=∠EBO，得到∠FAB=90°，得到答案；
（2）连接CE，根据勾股定理求出AB，得到AE的长，根据勾股定理列式计算即可．
解：（1）y=x-4中，令x=0，则y=-4，
∴B（0，-4），
∴OB=4，
令y=0，则x=4，
∴A（4，0），
∴OA=4，
在Rt△AOB中，
AB=；
（2）猜想：AF=BE，AF⊥BE，
理由如下：∵OE⊥OF，OA⊥OB，
∴∠FOA=∠EOB，
∵点A（4，0），点B（0，-4），
∴OA=OB，
在△FOA和△EOB中，
，
∴△FOA≌△EOB（SAS）
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OAB=90°，
∴∠FAO+∠OAB=90°，即∠FAB=90°，
∴AF⊥BE，
∴AF=BE，AF⊥BE；
（3）连接CE，
∵BE=3，AB=4，
∴AF=BE=3，AE=，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM是线段EF的垂直平分线，
∴CF=CE，
设CF=x，则CE=x，AC=3-x，
在Rt△ACE中，
CE2=AE2+AC2，即x2=（）2+（3-x）2，
解得，x=，即CF=．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（1）见分析；（2）y=x+4；
【分析】（1）先根据△ABC为等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知；
（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，根据∠BAC=45°可知△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；
解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CB=CA，
又∵AD⊥CD，BE⊥EC，
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠BCE=180°−90°=90°，
又∵∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD与△CBE中，
，
∴ (AAS)；
(2)过点B作BC⊥AB于点B,交l2于点C,过C作CD⊥x轴于D,

∵∠BAC=45°，
∴△ABC为等腰Rt△，
由(1)可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直线l1:y=x+4，
∴A(0,4),B(−3,0)，
∴BD=AO=4.CD=OB=3，
∴OD=4+3=7，
∴C(−7,3),
设l2的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
∴ ，
∴l2的解析式：y=x+4；
【点拨】此题考查一次函数综合题，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.
6．(1)，(2)当时，；当时，
(3)秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；
（2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式；
（3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标．
（1）解：对于直线，
当时，；当时，，
则A，B两点的坐标分别为，；
（2）∵，，
∴，
当时，，
∴；
当t＝2时，无法组成三角形；
当时，，
∴；
（3）解：分为两种情况：
①当M在OA上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝2÷2＝1秒，；
②当M在AO的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴t＝6÷2＝3秒，；
即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．
【点拨】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．
7．(1)（8，0）(2)9
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，再利用勾股定理可求得AB，根据折叠的性质可得AC＝AB，即可得OC的长度，进而可得C点的坐标．
（2）根据翻折的性质，可得∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，进而可得∠AOD＝∠AED，可证得△AOD≌△AED，故所求△ADE的面积即为求△AOD的面积，即可得解．
(1)解：由题意，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，
令x＝0，得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
令y＝0，0＝﹣x+4，
解得x＝3，
∴点A的坐标为（3，0），
∴OB＝4，OA＝3，
∴AB＝＝5，
∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5+3＝8，
∴点C的坐标为（8，0）．
(2)解：由翻折的性质可得，∠ABD＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC，
∵∠BAO＝∠CAE，
∴∠CAE＋∠ACD＝∠BAO＋∠ABD＝180°－∠AOB＝90°，
∴∠AEC＝180°－（∠CAE＋∠ACD）＝90°，
∴∠AED＝180°－∠AEC＝90°，
∴∠AOD＝∠AED，
∵AD＝AD，
∴△AOD≌△AED（AAS），
∵点D（0，﹣6），
∴OD＝6，
∴S△ADE＝S△AOD＝×OA×OD＝×3×6＝9．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象与性质、翻折的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的性质和翻折的性质是解题的关键．
8．(1)，(2)存在，或(3)点Q坐标为或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求得点，的坐标，进而求得，的长，根据勾股定理即可求得、的长，根据等面积法求得的长；
（2）先证明，则与全等分两种情况：①当时，②当时，根据全等三角形的性质分别求解即可
（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．
（1）解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴．
令，，得，
∴，
∵，
∴．
（2）存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
,，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，


（3）设点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，

∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为．
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，

∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（−3，4），

综上所述：点Q坐标为或
【点拨】本题考查了一次函数与坐标系交点问题，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，分类讨论思想解决问题是解题的关键．
9．(1)，，，(2)或(3)；；
【分析】（1）根据一次函数的性质即可求出A、B的坐标；然后求出AB的长，设点C的坐标为（m、n），，，根据，，求出点C的坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）分点P在第二象限和第一象限两种情况讨论求解即可；
（3）分△BCD≌△QDC和△BCD≌△QCD两种情况讨论求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴，
设点C的坐标为（m、n），
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（3，1），
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为；
（2）解：①当时，即点P在第二象限．
∴，
∴点P的坐标为（-3，3）
同理可求出直线BP的解析式为，则直线交y轴于点
∴．
②当时，即点P在第一象限．
∴
∴点
同理可求出直线BP解析式为
当时，，
∴．
（3）解：∵直线AC解析式为，D是直线AC与x轴的交点，
∴点D的坐标为（6，0）
∵B（1，0），C（3，1），
∴BD=5，
当△BCD≌△QDC时,
∴BC=QD，BD=QC，
设Q（s，t），
∴，，
解得或，
当△BCD≌△QCD时，
∴BC=QC，BD=QD，
∴，，
解得，
∴；；
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，两点距离公式，一次函数与几何综合，点到坐标轴的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．(1)；(2)或；(3)，．
【分析】（1）求出和的值即可求出点C的坐标．
（2）分类讨论，当点E在上和当点E在上时，两种情况，求出点E坐标，利用即可求出点E的坐标，再由A、E两点确定直线表达式．
（3）添加辅助线，构造“三垂直”全等，表示,即可表示点Q的坐标；再用配方法确定当最小时，．
（1）解：由题意知：
，，
；
（2）解：①当点E在上时，如图：

设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：
则：，
，
，
②当点E在上时，如图：

设：，
则，
由题 意得：
，
即，
∴，
，
，
设直线l的表达式为：，
则：

，
综上可知直线l的表达式为：或；
（3）解：

①如图作PN⊥AB，交AB于点N，作QM⊥PN，垂足为点M，
，，
，
在与中，
，

,
，
,
，
②，
∴当最小时，．
【点拨】本题主要考查了利用几何图形求点的坐标，确定一次函数表达式，三角形全等转化线段，二次函数求最值，转化思想和添加合适的辅助线是解题的关键．
11．(1)，
(2)
【分析】（1）求出当时，的值即可得点的坐标，求出当时，的值即可得点的坐标，再过点作轴于点，利用三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，则，由此即可得点的坐标；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得此时的点即为所求，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出当时，的值即可得点的坐标．
（1）
解：对于一次函数，
当时，，即，
∴，
当时，，解得，即，
∴，
如图1，过点作轴于点，

∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴点的坐标为．
（2）
解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，

∵，
∴，
由轴对称的性质可知，，
，
由两点之间线段最短可知，此时点到两点的距离之和最小，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，
，
即点到两点的距离之和最小．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识点，较难的是题（2），利用轴对称的性质和两点之间线段最短找出到两点的距离之和最小的点的位置是解题关键．
12．（1）见分析；（2）见分析；（3）m＝4，n＝2
【分析】（1）令x＝0，求得y＝m，令y＝0，求得x＝﹣m，得到OA＝OB＝m，同理得到OC＝OD＝n，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADB＝∠BCO，根据三角形外角的性质得到∠BAD＝∠BCD，设∠BAD＝∠DCB＝，则∠EBO＝2∠BAD＝2，求出∠ECB＝∠EBC，于是得到结论；
（3）由（1）知OA＝OB＝m，OC＝OD＝n，根据勾股定理即可得到结论．
解：1）证明：在y＝x＋m中，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（0，m），
∴OA＝OB＝m，
在y＝﹣x＋n中，令x＝0，则y＝n，令y＝0，则x＝n，
∴C（n，0），D（0，n），
∴OC＝OD＝n，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
（2）证明：由（1）知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠CDO＝45°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠ADB＝∠BCO，
∵∠ADO＝∠ABO＋∠BAD＝45°＋∠BAD，
∠BCO＝∠DCO＋∠BCD，
∴∠BAD＝∠BCD，
设∠BAD＝∠DCB＝，则∠EBO＝2∠BAD＝2，
∴∠DBC＝45°﹣，
∵∠ECB＝∠DCO＋∠BCD＝45°＋，
∠EBC＝∠EBO＋∠CBO＝2α＋45°﹣＝45°＋，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝EC；
（3）解：由（1）知OA＝OB＝m，OC＝OD＝n，
∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴AO2＋OD2＝AD2，OB2＋OE2＝BE2，
∵AD＝10，BE＝CE＝5，
∴m2＋n2＝102，m2＋（5﹣n）2＝（5）2，
∴m＝4，n＝2．

【点拨】本题考查了一次函数的综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形 的判定和性质，证得△AOD≌△BOC是解题的关键．
13．（1）45°，18；（2）（2，4）；（3）y＝或y＝﹣x
【分析】（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果；
（2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果；
（3）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x＋6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果．
解：（1）∵A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA
＝
＝
＝45°，
S△AOB＝＝＝18；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx＋b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x＋6，
∴，
∴，
∴P（2，4）；
（3）如图1，

设点P（a，b），
当点P在AB上时，
作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，
∵，
，
∵OA＝OB，
∴＝，
∴PD＝2PC，
∴a＝2b，
又∵b＝﹣a＋6，
∴a＝4，b＝2，
∴P（4，2），
设直线l的解析式是y=mx，代入（4，2）得2=4m
∴m=
∴直线l的解析式是：y＝x，
如图2，

当点P在BA的延长线上时，
作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，
∴∠AFP＝∠AOB＝90°，
∵，
∴＝，
∴AP＝BP，
∴AP＝AB，
∵∠OAB＝∠PAF，
∴△APF≌△ABO（AAS），
∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6，
∴OF＝12，
∴P（12，﹣6），
设直线l的解析式是y=nx，代入（12，﹣6）得-6=12n
∴n=-
∴直线l的解析式是：y＝﹣；
综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x．
【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质．
14．（1）；（2）；（3），直线CP的解析式为
【分析】（1）由题意可把x=0代入直线解析式求得点B的坐标，则有OB=4，然后根据勾股定理可得OA=2，则可得点A的坐标；
（2）由（1）可把点A的坐标代入解析式求解即可；
（3）由题意易得OC=OA=2，然后可证△AOB≌△COP，进而可得OP=OB=4，最后问题可求解．
解：（1）把x=0代入直线y＝kx+4可得：y＝4，
∴，
∴OB=4，
在Rt△AOB中，AB＝2，由勾股定理可得：，
∴；
（2）由（1）可把点代入直线y＝kx+4得：
，解得：；
（3）∵点C为OB的中点，OB=4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵∠AOB=∠COP=90°，
∴△AOB≌△COP（AAS），
∴OP=OB=4，
∴，
设直线CP的解析式为，则把点，代入得：
∴，解得：，
∴直线CP的解析式为．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合及勾股定理，熟练掌握一次函数与几何的综合及勾股定理是解题的关键．
15．（1）y=-x+2；（2）1；（3）点P在直线y=x上移动
【分析】（1）分别求出点A，点B的坐标，根据OA=OB求出k的值即可得到结论；
（2）证明得BE=OD，再根据勾股定理求出OD的长即可；
（3）过点P作PG⊥y轴，PH⊥x轴，证明四边形PGOH是正方形，得出点P的横坐标等于纵坐标，从而可得点P在直线y=x是运动．
解：（1）对于直线l：y＝k（x﹣2）（k＜0），当x=0,y=-2k，当y=0，x=2，
∴A（2，0），B（0，-2k）
∴OA=2，OB=-2k
∵OA=OB
∴-2k=2
∴k=-1
∴直线l：y＝k（x﹣2）=-(x-2)=-x+2
（2）∵
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
又∵
∴△
∴
在中，
∴
（3）过点P作PG⊥y轴，PH⊥x轴，垂足分别为G，H

∴四边形OGPH是矩形，
∴，,
在等腰直角三角形APB中，
又∠
∴∠
又∠
∴△
∴
∴矩形OGPH是正方形
∴
∴点P的横、纵坐标相等，
∴点P在直线y=x上移动．
【点拨】本题主要考查了一次函数与几何的综合，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
16．（1）；（2）24；（3）
【分析】（1）过点N作ND⊥x轴于点D，证明，得，进一步可求得结论；
（2）设，AN交x轴于点E，依据AAS证明得，根据三角形面积关系可得方程，求出a的值即可得出结论；
（3）求出直线CM和AN的解析式，联立方程组得出交点坐标，求出PM和PN，从而可得出结论．
解：∵四边形ABCD是正方形，A（6，6）
∴
过点N作ND⊥x轴于点D

∵∠
∴∠
∴∠
在和中，

∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为；
（2）设，AN交x轴于点E

∵
∴
∵
∴
∵∠
在和中，

∴
∴，
∵

=
∴
而
∴
∴



解得，
∴
（3）设直线CM的解析式为，
把代入得，

解得，
所以，直线CM的解析式为
设直线AN的解析式为
把代入得
解得，
∴直线AN的解析式为
联立方程组 ，
解得，
∴
∵
∴，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积等知识．
17．（1）（1，7）（2）M（-3，3）或M（5，11）（3）P（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，4）
【分析】（1）联立两直线即可求解；
（2）设点M的横坐标为a，分别求出M、N点的坐标，根据MN＝6，得到故可求解；
（3）先求出B点坐标，得到MN=OB=6，故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等，求出MC，NC，设点P（x1，x2），得到BP=，OP=，根据BP= NC，OP= MC或BP= MC，OP= NC分别列出方程即可求解．
解：（1）联立两直线
解得
∴点C的坐标是（1，7）
故答案为：（1，7）；
（2）设点M的横坐标为a，则M（a，a+6），
∵MNx轴
∴N点的纵坐标为a+6，代入直线y＝﹣2x＋9
∴a+6＝﹣2x＋9
∴x=
∴N（，a+6）
∵MN＝6，
∴
解得a=-3或a=5
∴M（-3，3）或M（5，11）
（3）存在
令直线y＝x＋6中x=0，y=6
故B（0，6）
∴OB=6
故MN=OB=6
故当△BOP和△MNC全等时，对应线段相等
①当M（-3，3）、N（3，3）时
在△MNC中，MC=，NC=，
设点P（x1，x2），故BP=，OP=
当BP= NC，OP= MC时，则，解得或；
当BP= MC，OP= NC时，则，解得或；
∴P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）；
②当M（5，11）、N（-1，11）时，四种情况与①一致；
综上，P点坐标为（4，4）或（-4，4）或（4，2）或（-4，2）．

【点拨】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、一次函数的图像与性质及勾股定理的运用．
18．操作：见分析；（1）；（2）能，的值为或4
【分析】操作：根据余角的性质，可得∠ACD＝∠CBE，根据全等三角形的判定，可得答案；
模型应用：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，根据待定系数法，可得AC的解析式；
（2）根据全等三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
解：操作：如图1：

∵，
∴．
在和中，
∴≌（AAS）
（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点
令x=0，得y=4，令y=0，解得x=-3
∴，

如图2，过点作交直线于点，过点作轴
在和中，
∴≌（AAS），
∴，，
∴点坐标为
设的解析式为，将，点坐标代入，
得解得:
∴的函数表达式为；
（2）由题意可知，点是直线上一点．
如图3，

过点作轴，分别交轴和直线于点，．
在和中，
∴≌（AAS），
，即，
解得
如图4，

过点作轴，分别交轴和直线于点、，
，．
在和中，
∴≌（AAS），
∴，即，解得
综上所述：，，可以构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或4．
【点拨】本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出∠ACD＝∠CBE是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出CD，BD的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于a的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
19．（1）点B的坐标为（m，m+1）；（2）当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为．
【分析】（1）过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，证明△AOC≌△CHB，设点C坐标为（0，m），得到点B坐标为（m，m+1）；
（2）根据B坐标为（m，m+1），进而确定点B在直线y=x+1上，设直线y＝x+1与y轴交点为M，与x轴交点为N，从而得到△MON为等腰直角三角形，根据垂线段最短即可求出OB的最小值．
解：（1）过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，

∴∠BHC＝90°，
∴∠HCB+∠HBC＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠HCB+∠ACO＝90°，
∴∠HBC＝∠ACO，
在△AOC和△CHB中，

∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴HC＝OA，HB＝OC，
∵点C（0，m），点A（1，0），
∴HC＝OA=1，HB＝OC=m，
∴OH=OC+CH=m+1
∴点B的坐标为（m，m+1）；
（2）∵点B的坐标为（m，m+1）；
∴B的运动轨迹是直线y＝x+1，
如图，设直线y＝x+1与y轴交点为M，与x轴交点为N，
则点M坐标为（0，1），点N坐标为（-1，0），
∴OM=ON=1，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴MN=，
∴当OB⊥MN时，OB最短，
∴此时OB=MN=．

【点拨】本题考查了平面直角坐标系中全等三角形的判定与性质，根据点的特点确定点所在直线解析式，垂线段最短等知识，综合性较强，理解点B的运动轨迹是一条直线是解题关键．
20．（1）y=x-4；（2）；（3）存在，；（4）存在，F坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）
【分析】（1）先求得A，B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS定理证明△BOA≌△AMC，确定C点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）联立方程组求得E点坐标，然后利用三角形面积公式进行计算；
（3）结合两个三角形等底的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求解；
（4）分点F在x轴或y轴两种情况，结合三角形和四边形面积列方程求解．
解：（1）在y=-x+4中，
令x=0，则y=4，
∴B（0，4），
令y=0，则x=3，
∴A（3，0），
过点C作CM⊥x轴于点M，

∵∠BOA=∠BAC=∠AMC=90°，
∴∠OBA+∠OAB=∠CAM+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠CAM，
又∵AB=AC，
∴△BOA≌△AFC（AAS），
∴AM=BO=4，CM=OA=3，
∴OM=OA+AM=7，
∴C点坐标为（7，3），
设直线l2的函数关系式为y=kx+b，
将D（4，0），C（7，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线l2的函数关系式为y=x-4；
（2）联立方程组
，
解得：，
∴E点坐标为，
∴S △ADE =AD•yE=×(4-3)×=，
即△ADE的面积为；
（3）设直线l2上点P坐标为（x，x-4），
∵△ADP与△ADE等底，
∴当△ADP与△ADE面积相等时，
x-4=，解得：x=，
∴P点坐标为（，）；
（4）在Rt△AOB中，，
S四边形ABCD=S梯形BOMC-S△AOB-S△CDM=×(3+4)×7-×3×4-×3×3=14，
①当点F在y轴上时，设F点坐标为（0，y），
∵△BCF的面积与四边形ABCD的面积相等，
∴|y-4|×7=14，
解得：y=8或y=0，
∴F点坐标为（0，8）或（0，0），
②当F点在x轴上时，设F点坐标为（m，0），
若F点在O点左侧，

此时S△BCF=S△BOF+S梯形BOMC-S△FCM=14，
∴×4×(-m)+×7×7-×(7-m)=14，
解得：m=0（不合题意，舍去），
若点F在线段OM上，

此时S△BCF=S梯形BOMC-S△BOF-S△FCM=14，
∴×7×7-×3m-×3(7-m)=14，
此时方程无解，
若点F位于M点右侧，

此时S△BCF=S△FCM+S梯形BOMC-S△BOF=14，
∴×3(m-7)+×7×7-×3m=14，
此时方程无解，

或S△BCF=S△BOF-S△FCM-S梯形BOMC=14，
×4m-×7×7-×3(m-7)=14，
解得：m=56，
∴F点坐标为（56，0），
综上，F点坐标为（0，8）或（0，0）或（56，0）．
【点拨】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
21．（1）（4，7）；（2）；（3）、、、.
【分析】（1）过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM于H，根据AAS证△DHC≌△BNC，同理证△BNC≌△AOB，最后根据A点和B点坐标即可得出D点坐标；
（2）用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（3）分PB=PC，PB=BC，PC=BC三种情况分类讨论，根据B、C点坐标计算出P点坐标即可．
解：（1）如图1，过点D、点C作DM、CN垂直于x轴，CH垂直于DM于H，

在正方形ABCD中，BC=CD，∠DCB=∠DCH+∠BCH=90°，
∵∠HCB+∠BCN=90°，
∴∠DCH=∠BCN，
又∵∠DHC=∠CNB=90°，
∴△DHC≌△BNC（AAS），
∴DH=BN，CH=CN，
同理可证△BNC≌△AOB（AAS），
又∵A（0，4），B（3，0），
∴CH=CN=OB=3，DH=BN=OA=4，
∴C（7，3），D（4，7）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
将C（7，3），B（3，0）代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为；
（3）存在，
设P点坐标为（t，0），
∵C（7，3），B（3，0），
∴，BP=|3-t|，
要使△PBC为等腰三角形存在以下三种情况：
①BC=BP时，
即|3-t|=5，
解得t=-2或8，
∴P（-2，0）或（8，0）；
②PC=BC时，
即=5，
解得t=11或t=3（舍去），
∴P（11，0）；
③PC=BP时，
即=|3-t|，
解得t，
综上，P点坐标为：（-2，0）或（8，0）或（11，0）或（，0）．
【点拨】本题主要考查一次函数的综合题，数量掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点是解题的关键．
22．（1）①C(4，4)；②12；（2）存在，最小值为3
【分析】（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．
②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．
（2）在OC上取点M，使OM＝OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ＋PQ＝AQ＋MQ；若想使得AQ＋PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，再利用面积公式即可求解．
解：（1）①由题意，
解得
所以C(4，4)；
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），
所以．
（2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．

【点拨】本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．
23．（1）；（2）﹣或
【分析】（1）通过三角形面积公式，求出线段的长，从而得到点的坐标，代入解析式即可；
（2）通过条件确定三角形是等腰直角三角形，作辅助线构造全等三角形，通过转换线段关系得到点的坐标，代入即可求出的值．
解：（1）轴，
，
的面积为，
，
又，
．
，
将点代入，
解得，
正比例函数的解析式为；
（2）①当点B在第二象限时，如图，

∵∠AOB＝45°，且OB＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABF+∠EBO＝90°，
如图，过B作BE⊥x轴于E，交CA延长线于点F．
∵∠FEO＝∠EOC＝∠ACO＝90°，
∴四边形CFEO是矩形，∠CFB＝90°，
∴∠ABF+∠FAB＝90°，
∴∠EBO＝∠FAB，
∴△EBO≌△FAB（AAS）．
∴BE＝AF，EO＝FB．
又∵OC＝FE＝FB+BE＝5，
AC＝CF﹣AF＝2，
∴EO+BE＝5，EO﹣BE＝2，
解得：EO＝，BE＝．
∴B（﹣，），
将B（﹣，）代入y＝ax，
解得a＝﹣．
∴a＝﹣．
②当点B在第一象限时，OB1＝OB，过点O作OB1⊥OB，则∠AOB1＝45°，如图所示，

过点B1作B1G⊥x轴于点G，则∠B1GO＝∠BEO＝90°，
又∵∠B1OB＝90°，
∴∠B1OG+∠BOE＝90°，
∵∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠OBE＝∠B1OG，
∴△OBE≌△B1OG（AAS），
∴OE＝B1G＝，BE＝OG＝，
∴B1（，），
将B1（，）代入y＝a1x，
解得a1＝．
综上所述，a的值为﹣或．
【点拨】本题考查了一次函数与几何图形的综合，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确理解题意，通过条件求出点的坐标是解题的关键．
24．（1）；（2）见分析；（3）或或
【分析】（1）过点作轴于点，证明，再根据直线的解析式求得的坐标，根据，即可求得；
（2）在轴上截取，连接根据题意分别证明，即可；
（3）设直线为，求得，的坐标，从而求得，的长度，继而分类讨论：①时②时，③时，列方程求解即可
解：（1）如图：

过点作轴于点
等腰直角△ABC是等腰直角
,



又


的解析式为：
令，即
令，即




（2）如图，在轴上截取，连接．

等腰直角
，
，

（SAS）
，
等腰直角
，
，
，



又，


（3）设直线，
则，，，．

①时，，，
②时，，或－4，
不合题意，舍去，取

③时，，，
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移，三角形全等的性质与判定等知识点，等腰三角形的性质，正确的作出图形，理解以上知识点，并综合运用是解题的关键．