2022-2023学年辽宁省协作校高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省协作校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据元素与集合之间的关系和集合与集合之间的关系依次判断选项即可.

【详解】A：Z为整数集，故A错误；

B：，故B错误；

C：，故C错误；

D：Q是有理数集，，故D正确.

故选：D.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定，即可判断出答案.

【详解】命题“”为全称命题，

其否定为特称命题，即，

故选:B

3．已知集合，则的元素个数为（    ）

A．8 B．7 C．5 D．2

【答案】A

【分析】化简集合即得解.

【详解】解：解不等式，得，则，

因为，

所以.

所以的元素个数为8个.

故选：A

4．若，则下列判断错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质和举例说明依次判断选项即可

【详解】A:因为，所以，故A正确；

B：因为，所以，故B正确；

C：因为，所以，故C正确；

D：当时，，故D错误.

故选：D.

5．设，则（    ）

A． B． C． D．P与Q的大小与a有关

【答案】A

【分析】由作差法判断即可

【详解】因为，所以.

故选：A

6．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.

因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.

故选：C

7．校庆当天，学校需要用围栏围起一个面积为225平方米的矩形（小矩形）场地用来展示校友的书画作品.它的左､右两侧都留有宽为2米的自由活动区域，顶部和底部都留有宽为2米的自由活动区域，则整个书画展区域（大矩形）面积的最小值是（    ）

A．360平方米 B．384平方米 C．361平方米 D．400平方米

【答案】C

【分析】设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米,则，由题意可得化简后利用基本不等式可求得结果.

【详解】设小矩形的长为x米，宽为y米，整个书画展区域的面积为S平方米.由，

得，

当且仅当，即时，等号成立.

故整个书画展区域面积的最小值是361平方米.

故选：C

8．定义集合运算：.若集合，则集合的子集个数为（    ）

A．2 B．16 C．32 D．64

【答案】D

【分析】根据集合新定义求出，结合交集的定义和运算求出，即可求出子集的个数.

【详解】因为，

所以.

因为，所以.

故的子集个数为.

故选：D.

二、多选题

9．若，则（    ）

A．或 B．y有最小值

C．或 D．y有最大值

【答案】BC

【分析】直接求解绝对值不等式及分式不等式，可判断结果.

【详解】解：由，得或；

由，得.

故选：BC.

10．已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.

【详解】由图可知.

故选：AB

11．设集合，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】设，再逐一验证即可.

【详解】由题意可设，

则，A正确.

，当或时，，B错误，

，C正确，

，D正确.

故选：ACD.

12．表示不大于实数x的最大整数，例如.（    ）

A．若，则的值可能是7

B．若，则的最大值为31

C．若，则的最小值为

D．若，则的可能取值共有5个

【答案】ACD

【分析】根据所给定义求出的取值范围，即可得到，从而求出，即可判断A，根据基本不等式判断B、C，首先求出，的范围，从而求出的取值范围，再根据定义求出，即可判断D；

【详解】解：若，则，则，从而，故A正确；

若，则，，

所以，

所以，当且仅当，时，等号成立，则的最大值为，故B错误；

若，则，

则，

当且仅当时，等号成立，故C正确；

若，，则，，则，

则的可能取值为，共5个，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．若，则___________.

【答案】3

【分析】根据集合元素的互异性，分类求解即可.

【详解】若，则，此时，不符合，舍去；

若，则（舍去）或，此时，符合题意.

故答案为：3.

14．若“”是“”的充分不必要条件，则整数m的值为___________.

【答案】2

【分析】由题意，，列出不等式组，即得解

【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件，

故，

故且等号不同时成立，

解得，则整数.

故答案为：2

15．若，则a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】利用基本不等式求出的最小值即得解.

【详解】解：，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，故.

故答案为：

四、双空题

16．某研究小组由学士､硕士和博士组成，人员构成同时满足以下三个条件：（1）学士人数多于硕士人数；（2）硕士人数不少于博士人数；（3）博士人数的三倍多于学士人数的两倍.若博士人数为5，则硕士人数的最大值为___________；该研究小组人数的最小值为___________.

【答案】     6     10

【分析】设学士人数､硕士人数､博士人数分别为x，y，z，且，再根据题意列不等式.（1）代入进而讨论即可；（2）分别讨论时分析即可.

【详解】设学士人数､硕士人数､博士人数分别为x，y，z，且，由题意得.

当时，，故x的值最大为7，y的值最大为6，则硕士人数的最大值为6.

当时，，矛盾，

当时，，矛盾，

当时，，故可取，

当时，因为，故小组的人数综合必大于当时的情况.

则研究小组人数的最小值为.

故答案为：6；10

五、解答题

17．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定.

(1)命题.

(2)命题q：甲班的学生都是北方人.

【答案】(1)命题p是存在量词命题，p的否定：；

(2)命题q是全称量词命题，q的否定：甲班的学生不都是北方人.

【分析】（1）利用存在量词命题的定义判断，再利用存在量词命题的否定解答；

（2）利用全称量词命题的定义判断，再利用全称量词命题的否定解答.

【详解】(1)解：命题p是存在量词命题.

p的否定：.

(2)解：命题q是全称量词命题.

q的否定：甲班的学生不都是北方人.

18．甲､乙两位同学在求关于x，y的方程组的解时，甲因看错了m，解得乙因看错了n，解得.

(1)求m，n的值；

(2)求方程组的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入可求得，将代入可求得.

（2）利用消元法可求解集.

【详解】(1)依题意可得满足，满足，

则，解得.

(2)由（1）可得，消元后可得，故，

所以，故方程组的解集为.

19．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)或.

【分析】(1)根据补集的定义和运算求出，结合并集的定义和运算计算即可；

(2)先求出，结合集合之间的包含关系即可求出参数的范围.

【详解】(1)当时，，则或，

所以或；

(2)因为，所以或，

当时，由，解得，此时，符合题意；

当时，则有或，

解得或.

综上所述，a的取值范围为

20．关于x的不等式组的整数解的集合为A.

(1)当时，求A；

(2)若，求k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据不含参一元二次不等式的解法即可求出集合A；

(2)根据题意可知不等式组有唯一整数解，求出方程的根，结合根的分布情况即可求解.

【详解】(1)当时，即，

解得.

由，得，

解得或.

故.

(2)依题意，可得不等式组有唯一整数解.

方程的两根为和4，

则，

所以，即k的取值范围为.

21．设，且.

(1)求的最小值；

(2)证明：与不可能同时成立.

【答案】(1)最小值为2

(2)证明见解析

【分析】（1）题干式子等价于，转化原式为，借助均值不等式，即得解；

（2）反证法，假设与同时成立，结合，分析即得证.

【详解】(1)依题意得，

则

当且仅当，即时，等号成立，

故所求最小值为2.

(2)证明：假设与同时成立，

因为，所以，

又因为，所以，，

则，这与相矛盾，故假设不成立.

从而，与不可能同时成立.

22．已知关于x的方程的根为负数，其中k为实数.

(1)求k的取值范围.

(2)已知一元二次方程有两个整数根，且m为整数.从①，②两个条件中任意选一个条件，求.[注]如果选择两个条件分别作答，则按第一个条件作答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据题意可得，结合且列出不等式组，解之即可；

(2)根据选的条件可得对应的一元二次方程，结合且解出m的范围，利用韦达定理求出m的值，即可解方程.

【详解】(1)因为关于x的方程的根为负数，所以且.

由，得，

则解得且.

故k的取值范围是.

(2)选①.

由题意，把代入方程，得，则且，解得.

因为是整数，m也是整数，所以为整数，

所以或，由，可得，

则，解得.

又，所以.

选②.

由题意，把代入方程，得，则且，

解得或.

因为是整数，m也是整数，所以为整数，

所以或或或，

由，可得或.

若，则，无整数解；

若，则，解得.

故.