数学8.1 基本立体图形学案设计

8.1基本立体图形

一、空间几何体

对于空间的物体，如果只考虑它的的形状、大小和位置，而不考虑物体的其他因素，从中抽象出来的空间图形叫做空间几何体。

空间几何体的类型：

1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。简单多面体有棱柱、棱锥、棱台。

欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2

2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴，旋转所形成的曲面叫做旋转面。常见的旋转体：球、圆柱、圆锥、圆台。

二、空间几何体的结构特征

1 棱柱的结构特征

1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个面的公共边叫做棱柱的棱，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。

1.2 棱柱的分类：侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱；

侧棱垂直于底面的的棱柱叫做直棱柱；

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；

棱柱底面是三角形的棱柱叫做三棱柱；

棱柱底面是四边形的棱柱叫做四棱柱；

棱柱底面是n边形的棱柱叫做n棱柱；

                                    如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′    

2 圆柱的结构特征

2.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。

圆柱的轴：旋转轴 （OO′）

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；（圆面O与圆面O′）

圆柱的侧面：平行于轴的边（AA′）旋转而成的曲面；

圆柱的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边（AA′）；

2.2 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长

和母线长为邻边的矩形。

3 棱锥的结构特征

3.1 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

底面(底)：多边形面.
侧面：有公共顶点的各个三角形面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
 顶点：各侧面的公共顶点                   

如图可记作：棱锥S—ABCD

3.2 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成。

3.3 棱锥的分类

三棱锥（四面体）                  四棱锥                      五棱锥

4 圆锥的结构特征

4.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

圆锥的轴：旋转轴（SO）；

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面（圆面O）；

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；

母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边（SA、SB）；

4.2 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。

5 棱台的结构特征

5.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。

上底面：平行于棱锥底面截面

下底面：原棱锥的底面

侧面：其余各面（侧面的梯形）

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′

5.2 棱台的分类

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

5.3 正棱台的结构特征

 ⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

 ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；

 ⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；

 ⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用相似三角形进行研究。

6 圆台的结构特征

6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。

圆台的轴：圆锥的轴 （SO）；

圆台的底面：圆锥的底面和截面；（圆面O与圆面O′）

圆台的侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分；

圆台的母线：圆锥的母线在底面和截面之间的部分；（AA′、BB′）

6.2 圆台的结构特征

 ⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；

 ⑵ 圆台的截面是等腰梯形；

 ⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

7 球的结构特征

7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。

集合的方法定义：空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。

球的球心：半圆的圆心（O）；

球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段；（OA、OB）

球的直径：连接球面上两点并且经过球心的线段；（CD）

7.2 球的结构特征

 ⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；

 ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 – d2

课堂练习

【例1】等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是(　  　)

A．圆台　　　 　 B．圆锥             C．圆柱           D．球

【例2】下面多面体中，是棱柱的有（     ）

A.1个            B.2个            C.3个             D.4个

【例3】如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（      ） 

A.①③            B.②④          C.③④           D.①②

【例4】下列说法正确的是               .(填序号)

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；

④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；

⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

【例5】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.

①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.

【例6】有下列三种叙述：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.

其中正确的有(　　)

A.0个       B.1个         C.2个          D.3个

三、简单组合体的结构特征

1概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.

常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.

2基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

【例7】请描述如图所示的几何体是如何形成

解：①是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

②是由一个长方体截去一个三棱锥后得到的几何体；

③是由一个圆柱挖去一个三棱锥后得到的几何体.

【例8】如图， 以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.

课后作业

1．用一个平面截正方体，截面图形可能是（       ）

A．钝角三角形 B．直角梯形

C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形

2.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　 )

A.四棱柱          B.四棱锥            C.三棱柱            D.三棱锥

3.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是(　 　)

A.三棱锥   

B.四棱锥

C.三棱柱   

D.组合体

4.下列命题中正确命题的个数为(　　)

①圆柱的底面是圆;

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;

③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;

④圆柱的任意两条母线互相平行.

5.下列图中，不是正方体的表面展开图的是(     )

    A                     B                      C                    D

6.下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　)

A.三棱柱的底面为三角形

B.一个棱柱至少有五个面

C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等

D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形

7.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.

8.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱.

9．如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？

     A．     B．       C．     D．

10．观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征．(面数，顶点数，棱数)