湖南省永州市零陵区2022年初中学业水平第二次模拟监测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市零陵区2022年初中学业水平第二次模拟监测数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年湖南省永州市零陵区初中学业水平第二次模拟监测数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1. −1，π，，−6中绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每年误差秒.科学记数法表示的数据为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下面四个几何体中，左视图不是矩形是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，，平分，且，则的度数为（ ）

A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°
6. 防晒衣的主要作用是阻隔太阳紫外线的直接照射，上图为某品牌防晒衣某分店年月的销量（单位：件）情况．这个月销量（单位：件）的中位数是（ ）

A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）

A. B.
C. D.
8. 如图，是的直径,于交于,,,则的半径为（ ）

A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为（ ）

A. B.
C. D.
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为−1
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正_______边形．
12. 分式方程的解是_______．
13. 分解因式：＝_____
14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是_________．
15. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度，则的长度是_______cm．

16. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上，且OA=2，∠OAB=30°，将ΔAOB沿AB翻折得ΔADB，反比例函数y=（k≠0）的图像恰好经过D点，则k的值为_______.

17. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______．

18. 规定在平面直角坐标系中，如果点的坐标为（，），那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 化简求值：（）÷，其中a＝+1．
20. 已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．
（1）当k=3时，求一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0的解；
（2）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
21. 我市某学校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
劳动课程
烹饪
园艺
电工
木工
缝纫
人数
10
12
a
9
15

（1）__________，__________，扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角__________；
（2）若该校七年级共有600名学生，请估计该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“烹饪、园艺、电工、缝纫”四大类劳动课程中任选两类参加学校展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率．
22. 如图，矩形绕点旋转，使点落到上的处，，连接，．

（1）求证：；
（2）求度数．
23 我区某农产品商店经营某种农产品，若零售一袋这种农产品可获利润15元，批发一袋这种农产品可获利润6元．
（1）已知该商店某日卖出了这种农产品100袋共获利润780元，该商店当天零售、批发这种农产品各多少袋？
（2）根据有关规定：该商店在出售这种农产品时，零售的数量不能超过总数的30%．现该商店要售出1000袋这种农产品，请问：当零售和批发这种农产品分别是多少袋时，才能使总利润最大？最大总利润是多少？
24. 如图，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边和量角器的直径在同一条直线上，AB=BC=40cm，OD=20cm．

（1）如图①，当与量角器的半圆相切时，求的长；
（2）如图②，当和重合时，求证：．
25. 平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，其对称轴与轴交于点．

（1）求点，的坐标；
（2）若方程（）有两个不相等的实数根，且两根都在，之间（包括，），结合函数的图象，求的取值范围．
（3）直线经过点（，），将点向右平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
26. 探究题：
【新知学习】如果一条直线平分一个三角形的面积，同时又平分这个三角形的周长，我们称这条直线为三角形的“理想线”.三角形的“理想线”必经过三角形的内心．
【问题探究】
（1）如图①，在中，，，请用尺规作图作出的“理想线”（只作出一条辅助线即可，保留作图痕迹，不写作法）．

（2）如图②所示，在中，，，．直线为的“理想线”，点在上，点在上，试求的长．
【实际运用】
（3）通过上面的学习，请你解决以下问题：如图③，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕，，，小明决定只切一刀就将这块蛋糕平分，要求既平分三角形的面积，又平分三角形蛋糕的周长．请你找出所有的“理想线”，并简要说明确定的方法．
答案

1. D
解：根据绝对值的定义，|−1|=1、|π|=π、||=、|−6|=6．
根据实数的大小关系，1＜＜π＜6．
∴−1，π，，−6中，绝对值最大的数是−6．
故选：D．
2. B
解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、正确，该选项符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
3. B
解：，
故选：B．
4. C
解：A. 长方体的左视图是矩形，不符合题意；
B.圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
C.球的左视图是圆，符合题意；
D.三棱柱的左视图是矩形，不符合题意．
故选：C．
5. D
∵平分，且，
∴
∴
∵
∴
∴
故选D
6. B
解：销量由小到大排列为：
712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，
∴中位数为：=2387，
故选：B．
7. C
解：由题意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故选：C．
8. A
解：∵OE⊥AB，
∴AE=，
在直角△AOE中，
∠AOE=2∠D=45°，
∴EO=AE=4，
∴AO=,
故选择A．
9. A
解：∵点A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=，，即轴，
∴点D的坐标为：，故A正确．
故选：A．
10. C
解：由抛物线的对称轴为直线x=1，
得，即b=-2a，
∴2a+b=0，故①正确；
函数图象与x轴的一个交点为(-1，0)，且抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，
由图象得到函数值小于0时，x的范围为-1＜x＜3，故②正确；
由图象知：当x=4时，y＞0．
∴16a+4b+c＞0，
∵b=-2a，
∴16a-8a+c＞0，
∴8a+c＞0，故③错误；
∵抛物线的顶点横坐标为1，且开口向下，
∴当x=1时，对应的函数值最小，即a+b+c≤am2+bm+c（m为实数），
即为x=1对应的函数值小于x=m时对应的函数值，
∴a+b≤am2+bm=m（am+b），故④正确；
则正确的选项有：①②④共3个．
故选：C．
11. 12．
正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则： 多边形的边数=360°÷30°=12，
12. x=-3
解：方程两边都乘x（x-2），得
5x=3（x-2），
解得：x=-3，
检验：当x=-3时x（x-2）≠0，
所以x=-3是原方程的解，
故答案为：x=-3．
13. a（a＋4）（a－4）


.
故答案为：a(a+4)(a-4)
14. 83分
解：根据题意得：
90×30%+80×70%=83（分）；
答：小彤这学期的体育成绩是83分．
故答案为：83分．
15. 75
过点B作BD⊥AC于D，如图所示：

根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），
∵斜坡BC的坡度i=2：5，
∴BD：CD=2：5，
∴CD=BD=×54=135（cm），
∴AC=CD-AD=135-60=75（cm），
∴AC的长度是75cm．
故答案为：75．
16.
解：∵将△AOB沿AB翻折得△ADB，
∴∠DAB=∠OAB=30°，AD=AO=2，
∴∠DAO=60°，
过D作DC⊥OA于C，

∴∠ACD=90°，
∴AC=AD=1，CD==，
∴OC=OA- AC=2-1=1，
∴D（1，），
∵反比例函数y=（k≠0）的图像恰好经过D点，
∴k=1×=，
故答案为：．
17.
解：∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∵的垂直平分线交于点F，
∴，
∴的垂直，
故答案为：．
18. 45°##45度
解：∵与互相垂直，且，，
∴cosα×sinα+(sinα-1)×(sinα+1)=0，
∴cosα×sinα+sin2α-1=0，即cosα×sinα-cos2α=0，
∵α是锐角，∴cos2α≠0，
两边同除以cos2α得：tanα=1．
∴∠α=45°．
故答案是：45°．
19. 解：原式＝，
＝，
＝，
当a＝+1时，
原式＝，
＝，
＝．
20. （1）
解：当k=3时，原方程变为x2-4x+3=0，
∴(x-3)(x-1)=0，
∴x1=3，x2=1；
（2）
证明：∵Δ=(k+1)2-4×(2k−3)
=k2+2k+1-8k+12
=k2-6k+11
=(k-3)2+2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
21. （1）
解：被调查的学生人数为：
（人），
选择电工课程的人数为：
（人）；
选择“缝纫”课程的人数占总人数的百分比为：
，即；
扇形统计图中“烹饪”所对应扇形的圆心角为：
．
故答案为：14；25；．
（2）
解：该校七年级学生选择“园艺”劳动课程的人数为：
（人）．
（3）
解：根据题意列表如下：

烹饪
园艺
电工
缝纫
烹饪

烹饪、园艺
烹饪、电工
烹饪、缝纫
园艺
园艺、烹饪

园艺、电工
园艺、缝纫
电工
电工、烹饪
电工、园艺

电工、缝纫
缝纫
缝纫、烹饪
缝纫、园艺
缝纫、电工

∵共有12种等可能的结果，恰为“园艺、缝纫”的有2种，
∴恰好选中“园艺、缝纫”这两类劳动课程的概率为：．
22. （1）
解：∵四边形ABCD是矩形，
AB=DC，∠BAD=∠ABC=∠BEF=90°，
由旋转知，
BA=BG，DC=EF，∠GBE=∠FEB=90°，
又∵AB=AE，
∴BG=BA=AE=EF，
又∵∠ABE=∠AEB=
∴∠GBA=90°-∠ABE=45°，
∴∠BGA=∠BAG= ,
∴∠AGF=90°-∠BGA=22.5°，
同样方法得到∠AFG=22.5°，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AG=AF；
（2）
由（1）知，
∠AFG=∠AGF=22.5°，
∴∠GAF=180°-∠AFG-∠AGF=135°．
23. （1）
解：设该商店当月零售这种农产品x袋，则批发这种农产品（100-x）袋，
依题意得15x+6（100-x）=780，
解得：x=20，
100-20=80（袋），
答：该商店当月零售这种农产品20袋，批发这种农产品80袋；
（2）
解：设该商店当月零售这种农产品m袋，则批发这种农产品（1000-m）袋，
依题意得0＜m≤1000×30%，
解得0＜m≤300，
设该商店获得利润为y元，
依题意得y=15m+6（1000-m），
即y=9m+6000，
∵9＞0，y随着m的增大而增大，
∴当m=300时，y取最大值，此时y=9×300+6000=8700（元），
∴批发这种农产品的数量为1000-m=700（袋），
答：该商店零售、批发这种农产品的袋数分别是300袋，700袋时，获得最大利润为8700元．
24. （1）
解：如图，连接O与切点H，则OH⊥AC，

又∵∠A=45°，
∴AO=OH=20cm，
∴AD=AO-DO=（20-20）cm；
（2）
证明：如图，连接EF，

∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF=90°，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴，
∴CF2=CG•CE．
25. （1）
∵抛物线与y轴交于点A，
即当时，



（2）
如图所示：

∵方程有两个不同的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间(包括1，3)，
∴抛物线的开口向下，顶点在第一象限，


当时，



（3）
∵直线经过点（，），



∵将点向右平移个单位长度，得到点

当时，如图所示：

抛物线与线段只有一个公共点，
∴当时，当时，



时抛物线与线段只有一个公共点．
当时，如图所示：

抛物线与线段只有一个公共点，
∴当时，当时，



当x=2时，y=-5，-4a-4=-5，
解得
或时抛物线与线段只有一个公共点．
故抛物线与线段只有一个公共点时或或
26. （1）
线段BC的中垂线AM，如图所示．

∵AM是BC的中垂线，
∴BM=CM，
∴S△ABM=S△ACM，
∵AB=AC，
∴AB+BM=AC+CM．
∴直线AM是△ABC的“理想线”．
（2）
图1，过点M作于点H，

∵∠
∴，
∴△的周长为：
△的面积为：
∵是△“理想线”，
∴

∴
∵
∴
∴△
∴即
∴
又∵
∴
∴
解得，
当时，，
∵点N在AC上，
∴
∵
∴符合题意，
当时，
∵即,故不符合题意,
综上，
（3）取BC的中点P，连接AP，

∵
∴平分
∴是△的一条“理想线”；
②如图3，取BC的中点为P，连接AP，
设直线QF是△的一条“理想线”过点Q作于点E，

∵
∴
∴
∴△的周长为：
△的面积为：
∵QF是△的一条“理想线”
∴

∴
∵
∴
∴△
∴即
∴
又∵
∴
∴
解得，或
当时，
∵点F在BC上，
∴
∵即
∴符合题意；
当时，
∵即
∴符合题意，
综上，当Q在AC上，F在BC上时，有和符合题意；
③当点Q在AC上 ,点F在AB上时，过点A作AD⊥BC，过点C作CG⊥AB，过点Q作QH⊥AB，垂足分别为D，G，H，

同理可得，
根据面积相等可得
∴
设，则AF=8-x
∵
∴//
∴
∴
∴
又
∴
解得，（会去）或
当时，
故此种情况不存在，
综上，△的“理想线”共有下图中的三条，即直线AD，直线QF和直线MN.