初中浙教版5.1 矩形教学设计

矩形培优讲义

矩形的定义：

　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：

1、若一个图形是矩形，则首先它是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。

2、矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的一种判定方法。

性质：矩形具有平行四边形的所有性质；

　　(1)矩形的对边平行且相等；

　　(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；

　　(3)矩形的对角线互相平分且相等.

注意：

1、矩形的性质是求线段的长度、角度等问题常用的知识，它可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。

2、由于矩形四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决。

3、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此，在解决相等问题时，常常用到等腰三角形的性质。

判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；

　　(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

　　(3)对角线相等的平行四边形是矩形.

直角三角形斜边中线的性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

类型一 矩形的性质

(2020﹒淮南模拟）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质．

②当∠A为底角时，有两种情况：如图2，图3，

此时AE＝EF＝5cm．

故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．

直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为_  __

【答案】30

矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为_    ，矩形的面积为__ __．

【答案】40cm      400cm2

类型二 矩形的判定

如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是(  )

A．矩形       B．菱形        C．正方形         D．梯形

【答案】A

如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件      _，使▱ABCD是矩形．

【答案】AO＝BO(答案不唯一)

基础

1. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是（   ）

A．2-2            B．3-2           C．2-1            D．6-2

2. 如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为(    )

A．4 cm         B．6 cm       C．8 cm          D．10 cm

答案与解析

1.【答案】A

2.【答案】C         

提高

1. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．
2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_ _ _．

答案与解析

1.【答案】5

2.【答案】(8，4)，(3，4)或(2，4)

能力

(2019春﹒锦江区期末）如图，在长方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且满足BE＝CF＝a,AB＝EC＝b．

（1）判断△AEF的形状，并证明你的结论；

（2）请用含a，b的代数式表示△AEF的面积；

（3）当△ABE的面积为24,BC长为14时，求△ADF的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变”【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．

【分析】（1）证明△ABE≌△ECF(SAS),得出AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,证出∠AEF＝90°,即可得出△AEF是等腰直角三角形；

（2）由勾股定理得出＝＝由三角形面积公式即可得出答案；

（3）求出ab＝48，由题意得出＝求出＝100,得出＝4，证出b－a＝2，由三角形面积公式即可得出答案．

【解答】解：(1)△AEF是等腰直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠C＝90°,AD＝BC＝a＋b,

在△ABE和△ECF中，，

∴△ABE≌△ECF(SAS),

∴AE＝EF,∠BAE＝∠CEF,

∵∠BAE＋∠AEB＝90°,

∴∠CEF＋∠AEB＝90°,

∴∠AEF＝90°,

∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）∵∠B＝90°,BE＝CF＝a,AB＝CE＝b，

∴＝＝

∴△AEF的面积＝＝＝

（3）∵△ABE的面积＝24＝

∴ab＝48，

∵BC＝14，

∴a＋b＝14，

∴＝

∴＝196,

∴＝100,

∴＝100－96＝4，

即＝4，

∵CD＞F,

∴b＞a,

∴b－a＝2，

∴△ADF的面积＝＝＝＝14．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

课后练习

1. 如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（　　　）

2. 矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（     ）

   A、对边相等     B、对角相等      C、对角线相等       D、对边平行

3. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是(   )

A．①④⑤      B．②⑤⑥       C．①②③        D．①②⑤

答案与解析

1.【答案】A．

2.【答案】C         

3.【答案】D

巩固练习

1. 如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.

(1)证明：四边形AECF是矩形；

(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．

答案与解析

1.【答案】：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC(等边三角形三线合一)，∠AEC＝90°.同理，CF⊥AD.

∵E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝21AD，EC＝21BC.

∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)

(2)在Rt△ABE中，∵AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝32

真题预测

1.(2020﹒舟山模拟）已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．

【考点】矩形的性质．【专题】证明题．

【分析】首先根据AM＝DN得到AN＝MD，再由矩形的性质得到AB＝CD,∠A＝∠D，进而得到△ABN≌△DCM,于是得出结论．

【解答】解：∵AM＝DN，

∴AM＋MN＝MN＋ND,

∴AN＝MD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD,∠A＝∠D，

在△ABN和△DCM中，

∵，

∴△ABN≌△DCM,

∴BN＝CM．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解答本题的关键是证明△ABN≌△DCM．

2.(2020﹒龙岗区校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变"证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴MD∥BC,

∴∠AMF＝∠EBF,∠E＝∠MAF,又FA＝FE，

∴△AFM≌△EFB,

∴AM＝BE,FB＝FM，

∵矩形ABCD中，

∴AC＝BD,AD＝BC，

∴BC＋BE＝AD＋AM,即CE＝MD，

∵CE＝AC，

∴AC＝CE＝DM，

∵FB＝FM，

∴BF⊥DF．

【点评】本题考查了矩形各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB＝DM是解题的关键．

3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．

【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．矩形的判定
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD,

∴∠ABC＋∠BCD＝180°,

∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,

∴∠HBC＝＝

∴∠HBC＋∠HCB＝＝＝90°,

∴∠H＝90°,

同理∠HEF＝∠F＝90°,

∴四边形EFGH是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质