【广东专用】2023年中考数学易错题汇编——04 反比例函数（原卷版+解析版）

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2.反比例函数系数k的几何意义
3.反比例函数图象上点的坐标特征
4.待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题
5.反比例函数的应用
01 反比例函数的定义与图像：条件要考虑周全，符号要注意。
1．（2022•景德镇模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出，，的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．
【解析】观察图象可得：，，，
二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，
则二次函数的图象可能是．
故选：．

1．（2023•未央区校级三模）下列关系式中，是的反比例函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的概念：形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．
【解析】、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
、是反比例函数，故此选项符合题意；
、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
、不是反比例函数，故此选项不符合题意．
故选：．
2．（2022•东营模拟）函数是反比例函数，则 ．
【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．
【解析】是反比例函数，
，，
解得：．
故答案为：．
3．（2022•济南一模）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解析】①当时，
一次函数经过一、三、四象限，
反比例函数的的图象的两个分支分别位于一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当时，
一次函数经过一、二、四象限，
反比例函数的的图象的两个分支分别二、四象限，
故选项的图象符合要求．
故选：．
02 反比例函数的性质：常与图象性质结合着考查。
1.（2023•小店区校级一模）对于函数，当，的取值范围是 或 ．
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解析】当时，，
则于函数，当，的取值范围是：，
当时，的取值范围是：．
故答案为：或．
1．（2022•夏邑县校级模拟）对于反比例函数，下列说法正确的是
A．图象经过点
B．图象位于第二、第四象限
C．该函数与坐标轴不可能有交点
D．当时，随的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解析】、，点不在反比例函数的图象上，故本选项说法错误；
、，反比例函数的图象在一、三象限，故本选项说法错误；
、函数是反比例函数，该函数与坐标轴不可能有交点，故本选项说法正确；
、，此函数在每一象限内随的增大而减小，故本选项说法错误．
故选：．
2．（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】先根据函数图象所在的象限判断出、、的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数的取值．
【解析】由图知，的图象在第二象限，，的图象在第一象限，
，，，
又当时，有，
．
故选：．
3．（2022•承德二模）已知反比例函数，当时，的最大值是4，则当时，有
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【分析】根据反比例函数的性质可知当时，取得最大值4，求出的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．
【解析】反比例函数，当时，的最大值是4，
，
在每一个象限内，随着增大而增大，
当时，取得最大值4，
此时，
当时，，
当时，，
有最小值，
故选：．
03 反比例函数系数k的几何意义：k值的几何意义是重要考点，解题时可以结合图像解题。
1.（2023•黔江区一模）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为
A．5B．6C．7D．8
【分析】如图，设交轴于，交于，设，则，设．利用平行线分线段成比例定理求出，即可解决问题．
【解析】如图，设交轴于，交于，设，则，设．
点在上，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
1．（2022•铁岭模拟）如图，点是反比例函数图象上一点，的顶点在轴上，点在轴上，，，与轴相交于点，且，若的面积为5，则
A．B．5C．2D．4
【分析】作轴于，轴于，则轴，通过证得，得到，，设，
根据题意即可得到，利用勾股定理求得，由的面积为5，即可得到．
【解析】作轴于，轴于，则轴，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
设，
，轴，
，
，
，
，
的面积为5，
，
，
，
点是反比例函数图象上一点，
，
故选：．
2．（2023•碑林区校级模拟）如图，的顶点在轴负半轴上，点是边的中点，反比例函数的图象经过、两点，若的面积等于9，则的值为 ．
【分析】，，根据三角形的面积和为中点且在函数的图象上，求出的值．
【解析】设，，
①，
又为中点，
，，
在函数的图象上，
，
，
，
把代入①式得：，
，
故答案为：，
3．（2023•黔江区一模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，若四边形的面积为5，则 8 ．
【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算．
【解析】轴，轴，
，，
四边形的面积．
解得．
故答案是：8．
04 反比例函数图象上点的坐标特征：注意点所在的象限及符号。
1.（2023•深圳模拟）如图，，，将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，反比例函数的图象经过点和的中点，则的值是 24 ．
【分析】先根据题意设出平移的距离，即可得出点、点和点的坐标，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，根据反比例函数图像经过点和点即可求出的值，得出点的坐标，代入解析式即可求出值．
【解析】根据题意可得：，，
设平移的距离为，
则点，，，
点为的中点，
点的坐标为，
反比例函数图像经过点和点，
，解得：，
点坐标为，
把代入可得：；
故答案为：24．
1.（2023•萧县一模）如图，在中，平分交于点，平分交于点，交于点，反比例函数经过点，若，，则的值为
A．B．C．D．
【分析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于点，根据角平分线的性质可得，，再由平行线的性质可得，，分别求出、、，再由勾股定理求出、，从而得到点坐标为，，由此可求的值．
【解析】过点作轴交于点，过点作交于点，过点作轴交于点，
平分，，
，，
平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，，
点在反比例函数上，
，
故选：．
2．（2023•萧县一模）已知函数的图象经过点，，，，如果，那么
A．B．C．D．
【分析】先根据判断出函数图象所在的象限，再根据即可解答．
【解析】，
函数的图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，在，第四象限，
，，
故选：．
3．（2023•未央区校级三模）若点，，在反比例函数为常数）的图象上，则，，大小关系为
A．B．C．D．
【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断．
【解析】，
，
反比例函数为常数）的图象位于第一三象限，
，
，
，
，
．
故选：．
05 待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题
1.（2023•未央区校级三模）如图，，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．
（2）不等式的解集为 和 ．
【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出，再把代入反比例函数解析式，求出的值；
（2）根据两函数的图象与性质判断不等式的解集．
【解析】（1）把代入反比例函数，
，，
反比例函数为，
把代入反比例函数，
，，
点；
（2），是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，
根据函数图象的性质可以发现，
当和时一次函数值小于等于反比例函数值，
即的解集为和．
故答案为：和．

1．（2022•新民市一模）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数表达式为
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，那么，进而得出答案．
【解析】过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：．
故选：．
2.（2023•南海区校级模拟）已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4．过原点的另一条直线交双曲线于、两点点在第一象限），若由点、、、为顶点组成的四边形为矩形，则点的坐标 ；
【分析】由正比例函数解析式求得点的坐标，然后根据矩形的性质得出，，由反比例函数的对称性即可求得点的坐标．
【解析】直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4，
把代入得，，
，
由点、、、为顶点组成的四边形为矩形，
，，
点与点关于直线对称，
，
故答案为：．
3．（2023•碑林区校级一模）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是 0＜k≤ ．
【分析】由于一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，则可知方程﹣2x+3＝有实数根，将方程变形为2x2﹣3x+k＝0，利用判别式△≥0即可求出k的取值范围．
【解析】∵一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数y＝（k≠0）有交点，
∴方程﹣2x+3＝有实数根，
整理，得2x2﹣3x+k＝0，
∴Δ＝9﹣8k≥0，
解得k≤（k≠0），
∵k＞0，
∴0＜k≤
故答案为：0＜k≤．
06 反比例函数的应用
1．（2023•萧县一模）一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是
A．与的函数关系式是
B．当时，
C．当时，
D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）也越大
【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【解析】．设反比例函数解析式为：，把代入得：
，则，故此选项符合题意；
．当时，，故此选项不合题意；
．当时，，故此选项不合题意；
．当电阻越大时，该台灯的电流（A）也越小，故此选项不合题意．
故选：．
1．（2022•大同三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流（A）与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，
D．当时，的取值范围是
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【解析】设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项不符合题意；
当时，，当时，，
反比例函数随的增大而减小，
当时，，当时，，故选项，不符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故符合题意；
故选：．
2．（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】由于当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，可设，再根据气体的体积时，气球内气体的压强，运用待定系数法求出其解析式；故当时，．
【解析】设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
当气体的体积时，气球内气体的压强，
，
，
，
当，即时，
．
故选：．
一．选择题（共10小题）
1．（ 函数与在同一平面直角坐标系内的图象只可能是
A．B．
C．D．
【分析】分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解析】函数，且为常数）中时，反比例函数图象在一、三象限，此时的图象在第一、二、三象限；
当函数，且为常数）中时，反比例函数图象在二、四象限，此时的图象在第二、三、四象限；
故选：．
2． 关于的方程的正根的个数是
A．0B．1C．2D．3
【分析】在同一平面直角坐标系中作出二次函数与反比例函数的图象，然后根据交点的情况即可得解．
【解析】如图，二次函数与反比例函数在第一象限只有两个交点，
方程的正根的个数为2．
故选：．
3．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是
A．随的增大而减少B．图象必经过点
C．图象在第一、三象限D．若，则
【分析】根据反比例函数的性质即可判断、，，把点代入即可判断．
【解析】中，，
函数图象的两个分支分布在第一、三象限，函数图象在每个象限内，随的增大而减少，故选项符合题意，选项不符合题意；
，
图象必经过点，故选项不符合题意；
时，，故选项不符合题意；
故选：．
4．（2022•阿城区模拟）已知反比例函数的图象，当时，这个函数图象位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用反比例函数图象的性质即可求解．
【解析】，
比例函数的图象，当时，位于第四象限．
故选：．
5．（2021秋•山西期末）关于反比例函数，下列说法不正确的是
A．函数图象经过点
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象分别位于第一、三象限
D．当时，随的增大而增大
【分析】依据反比例图象的性质作答．
【解答】．当时，代入反比例函数得，，正确，故本选项不符合题意；
．反比例函数的图象可知，两个分支关于原点成中心对称，正确，故本选项不符合题意；
．，图象位于第二、四象限，错误，故本选项符合题意；
．，在第二、四象限内随增大而增大，所以当时，随的增大而增大，正确，故本选项不符合题意；
故选：．
6．（2022秋•冷水滩区校级月考）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为
A．B．C．D．
【分析】设点的坐标为，由“倒数点”的定义，得点坐标为，，分析出点在某个反比例函数上，分两种情况：①点在上和②点在上，求出点坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可．
【解析】设点的坐标为，
点是点的“倒数点”，
点坐标为，，
点的横纵坐标满足，
点在某个反比例函数上，
点不可能在，上，
分两种情况：
①点在上，
由轴，
点、点的纵坐标相等，即，
舍去），
点，，
的面积为；
②点在上，
点横坐标为3，即，
，
点，
的面积为．
综上，的面积为或．
故选：．
7． 如图，在中，，，点在轴上，点为中点，反比例函数图象经过点，交于，且，则
A．B．C．8D．
【分析】由点的坐标，设，结合为直角三角形可得出点的坐标，根据角平分线的性质可得出由此可得出的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出关于的方程，解之即可得出、的值．
【解析】点，点为的中点
所以点，设，
点，，
，
即
点
反比例函数的图象经过点、
，
即
解得：或（舎去）
故选：．
8． 经过点的双曲线的表达式是
A．B．C．D．
【分析】把点的坐标代入双曲线解析式，能使解析式成立的则双曲线经过该点，反之不经过．
【解析】，故不经过，
，故不经过，
，故经过，
，故不经过，
故选：．
9．（2022秋•湖北期末）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示，已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应
A．不大于B．大于C．不小于D．小于
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断．
【解析】设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过点，
，
，
由已知得图象在第一象限内，
随的增大而减小，
当时，，
，即不小于，
故选：．
10．（2022•榆次区一模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片烂泥湿地，他们发现，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强随着木板面积的变化而变化，如果人和木板对湿地地面的压力合计，那么下列说法正确的是
A．与的函数表达式为
B．当越来越大时，也越来越大
C．若压强不超过时，木板面积最多
D．当木板面积为时，压强是
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【解析】压力一定时，压强和受力面积成反比；
，
，
是的反比例函数，
，
当越来越大时，也越来越小，
故选项，不符合题意；
当时，
即，
，
若压强不超过时，木板面积最少，
故选项不符合题意；
当时，，
当木板面积为时，压强是，
故选项符合题意；
故选：．
二．填空题（共5小题）
11．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例关系的是 ③ （填序号）．
①小明完成赛跑时，时间与他跑步的平均速度之间的关系
②菱形的面积为，它的两条对角线的长为与的关系
③一个玻璃容器的体积为时，所盛液体的质量与所盛气体的密度之间的关系
④压力为时，压强与受力面积之间的关系
【分析】反比例函数的关系可以表示成为常数，的形式；分别列出四个选项中的关系，看看哪个不符合反比例函数的定义即可得答案．
【解析】①中与之间的关系为，符合反比例函数关系；
②中与之间的关系为，符合反比例函数关系；
③中与之间的关系为，是正比例函数关系；
④中与之间的关系为，符合反比例函数关系．
故答案为：③．
12．（2021•洪泽区二模）点在反比例函数图象上，且位于第二象限，过点作轴于点，已知面积为3，则的值是 ．
【分析】再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【解析】轴，
，
，
，
．
故答案为：．
13．（2021春•沂源县期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ．
【分析】根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积．
【解析】轴，轴，
，，
四边形的面积，
故答案为．
14． 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，，，，则的值为 0 ．
【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性得到，由，得出，即可得到．
【解析】直线与双曲线交于点，，，，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
故答案为：0．
15．（2022•北海一模）如图，已知直线与双曲线交于，两点，将线段绕点沿顺时针方向旋转后，点落在点处，双曲线经过点，则的值是 ．
【分析】连接、，作轴于，轴于，根据旋转的性质得到是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出，即可得出，，即可得到，证得，得到，根据反比例函数系数的几何意义得到，，从而求得．
【解析】连接、，作轴于，轴于，
，，
是等边三角形，
直线与双曲线交于，两点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为．
三．解答题（共1小题）
16．（2022•市南区三模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）当时，求点的坐标．
【分析】（1）把点代入反比例函数，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值；
（2）过点作于点，，根据相似三角形线段成比例，已知条件求出点的坐标．
【解析】（1）点是反比例函数图象上的点，
，
反比例函数解析式为，
点在反比例函数图象上，
；
（2）如图，过点作于点，
轴，，
轴，
，
，
点、的横坐标分别为2、4，
，，
由（1）得点，
点，
点的坐标为，即点，
设直线的解析式为，
把点，点代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点．