【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——03 函数（原卷版+解析版）

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一次函数的图像与性质
一次函数的应用
反比例函数
二次函数的图像性质与性质
二次函数的应用
易错分析 01
各个待定系数表示的意义。充分掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的概念。
对于较复杂问题容易忽略数形结合思想。
（2022九下·沭阳模拟）已知一次函数y＝kx＋b，且当－3≤x≤1时，1≤y≤9，则k＋b的值为
【答案】9
【规范解答】本题答案不全面，此题分两种情况考虑：①当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，进而可得k+b的值；②当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1，同理可得k+b的值.
【规范解答】解：①当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9；
则1=-3k+b9=k+b，
解得k=2b=7，
；
②当x=-3时，y=9，当x=1时，y=1；
则9=-3k+b1=k+b，
解得，
；
故答案为：9或1.
【变式训练01】（2022·宿迁）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点(0，2)”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 .
【答案】y=-2x+2（答案不唯一）
【规范解答】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：
又满足乙：“函数图象经过点(0，2)”，
则函数关系式为y=-2x+2，
故答案为：y=-2x+2（答案不唯一）
【思路点拨】根据一次函数的性质结合题意可设y=-2x+b，将（0，2）代入求出b的值，进而可得对应的函数关系式.
【变式训练02】（2021九上·丰县期中）下表给出一个二次函数的一些取值情况：
（1）n= ，二次函数表达式为 ；
（2）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）根据图像说明：当x取何值时，y的值为非负数？
【答案】（1）n=3；
（2）解：如图，根据表格信息描点，再用平滑的曲线连接即可.
（3）解：当时，则函数图象在x轴的上方，
∴或
【规范解答】解：（1）由对称性可得；或时的函数值相等，
所以
由二次函数过 设
把代入可得：
解得：
∴抛物线为：
【思路点拨】（1）根据对称性可得：x=0或x=4时函数的值相等，据此可得n的值，设y=a(x-1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，据此可得二次函数的解析式；
（2）根据描点、连线即可画出函数的图象；
（3）根据图象，找出图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可.
【变式训练03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1）求点B的坐标及m的值；
（2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图；
（3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，
得9m-6m-3=0，解得m=1，
抛物线解析式为，
当y=0时，，解得，，
所以B点坐标为；
（2）解：，则抛物线的顶点坐标为，
列表如下：
描点、连线，
（3）解：由函数图象可知，当y＞0时，x＜-1或x＞3，即x的取值范围是x＜-1或x＞3．
【思路点拨】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到函数解析式；由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出m的值，可得到点B的坐标.
（2）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标；再列表，描点，连线，画出函数图象.
（3）观察函数图象（x轴上方的图象），可得到当y＞0时x的取值范围.
易错分析 02
各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关系应用。注意解析式中字母表示的几何意义，特别是二次函数的解析式，其表示的方式多样化，容易记忆混淆。涉及的公式比较多，一定要理解推导记忆
6．（2022九上·通州月考）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ．
【答案】
【解析】本题答案不全面，利用二次函数的解析式可得到抛物线的对称轴为直线x=1，观察图象可知抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），利用二次函数的对称性，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标；然后就二次函数y=-x2+2x+m与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程-x2+2x+m=0的两个根，即可求解.
【规范解答】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点（4，0），
对称轴为，
由抛物线的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为：
抛物线与x轴交点坐标的横坐标即为一元二次方程的根，即：；
故答案为：．
【变式训练01】（2022九上·通州月考）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2
【答案】B
【规范解答】解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：B．
【思路点拨】利用抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴为直线x=h，由此可得到已知抛物线的对称轴.
【变式训练02】（2022九上·通州月考）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【答案】B
【规范解答】解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为：B．
【思路点拨】利用二次函数解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的增减性，可得到y1，y2，y3的大小关系.
【变式训练03】（2022九上·兴化开学考）已知反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．图像经过点（2，﹣4）B．图像分别在二、四象限
C．当y≤1时，x≤﹣8D．在每个象限内，y随x增大而增大
【答案】C
【规范解答】解：A、当x=2时，y=-4，即 反比例函数y的图像经过点（2，-4），A说法正确；
B、因为反比例函数y中的k=-8，所以图像分别在二、四象限，B说法正确；
C、y≤1时，x≥-8，C说法不正确；
D、因为反比例函数y中的k=-8，所以在每个象限内，y随x增大而增大，D说法正确；
故答案为：C.
【思路点拨】反比例函数的性质：对于反比例函数，当k>0，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0，反比例函数图象在二、四象限，每个象限内，y随x的增大而增大.
易错分析 03
利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性。此类题目对学生数形结合的思想掌握利用要求比较高，注意细心审题，找准问题问的是什么。也很容易对数轴直线的增减性与解析式中的字母结合理解出错。
（2022·徐州）若一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于kx＋b＞0的不等式的解集为 ．
【答案】x＞2
【思路点拨】本题答案有误，忽略题目关键问题，求的是另外一个不等式的解集，而不是原解析式。根据图象可知y＝kx+b与x轴交于点（2，0）且k>0，代入化简可得b=-2k，根据不等式表示出x，进而可得x的范围.
【规范解答】解：∵根据图象可知y＝kx＋b与x轴交于点，且，
∴，
解得，
，
∴，
即，
解得x＞3.
故答案为：x＞3.
【思路点拨】根据图象可知y＝kx+b与x轴交于点（2，0）且k>0，代入化简可得b=-2k，根据不等式表示出x，进而可得x的范围.
【变式训练01】（2022·扬州）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 .
【答案】x＜-1
【规范解答】解：由一次函数图象得，当y>3时，x＜-1，
则y=kx+b>3的解集是x＜-1.
故答案为：x＜-1.
【思路点拨】 求不等式的解集， 根据图象可得，就是求点P左边图象上点的自变量的取值范围，据此即可得出答案.
【变式训练02】（2021·阜宁模拟）已知一次函数 的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 .
【答案】x＞2
【规范解答】由题意得，一次函数y=kx+b的图象经过（-4，0），k＜0，
∴-4k+b=0，
∴b=4k，
∴不等式可化为：2kx-4k＜0，
解得，x＞2，
故答案为：x＞2.
【思路点拨】根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=4k，k＜0，解不等式得到答案.
【变式训练03】（2021·滨海模拟）如图，两条直线l1和l2的关系式分别为y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，两直线的交点坐标为（2，1），当y1＞y2时，x的取值范围为 .
【答案】x＜2
【规范解答】解：∵直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2的交点坐标是（2，1），
∴当x=2时，y1=y2=1；
而当y1＞y2时，x＜2.
故答案为：x＜2.
【思路点拨】由图象可知，求函数值 y1＞y2时 ，就是求y1的图象在y2的图象的上方部分相应的自变量的取值范围.
易错分析 04
利用函数模型解实际问题。注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。这类问题容易出现多个解，对审题能力，计算及概念掌握要求比较高。需要着重掌握零散的知识点
（2022·沭阳模拟）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，x的取值范围是 .
【答案】
【思路点拨】答案不全面，没有考虑到图像的完整性。由图象可知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（3，0） ，则其与x轴的另一个交点坐标为（-5，0） ，然后根据图象，找出二次函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可.
【规范解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，
∵与轴的一个交点坐标为 ，
则其与x轴的另一个交点坐标为 ，
结合图象得：当 时， .
故答案为：.
【变式训练01】（2022·泰州）如图，二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点B(3，1).
（1）求这两个函数的表达式；
（2）当随x的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
（3）平行于x轴的直线l与函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图象相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.
【答案】（1）解：二次函数的图象与y轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于点，
，，
解得，，
二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）
（3）解：由题意作图如下：
当时，，
，
，
的边上的高与的边上的高相等，
与的面积相等，
，
即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
.
【规范解答】解：（2）二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
由图象知，当随x的增大而增大且时，；
【思路点拨】（1）将B（3，1）分别代入y1=x2+mx+1、y2=中进行计算可得m、k的值，据此可得二次函数以及反比例函数的解析式；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴，然后根据图象，找出二次函数图象在对称轴右侧、且在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可；
（3）画出示意图，易得A（0，1），根据△ACE与△BDE的面积相等可得CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，令反比例函数解析式中的x=，求出y的值，据此可得点E的坐标.
【变式训练02】（2022·泗洪模拟）如图，二次函数y1＝﹣x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C.
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；
（3）结合图象，求当x取什么范围的值时，有y1≤y2.
【答案】（1）解：将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入y1＝﹣x2+bx+c，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y1＝﹣x2+x+2.
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴C（2，0），
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2.
（2）解：设P到x的距离为h，
∵A（﹣1，0），C（2，0），
∴AC＝3，
∵S△ACP＝33，
∴AC•h＝33，
∴h＝22，
∴P的纵坐标为﹣22，
把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2，
得﹣22＝﹣x2+x+2，
解得x＝10或x＝﹣6，
∴P的坐标为（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；
（3）解：
得或，
∴抛物线与直线的另一个交点为（，﹣），
由图象可知，当x≤0或x≥时，有y1≤y2.
【思路点拨】（1）将点A（-1，0）和点B（0，2）代入y1＝-x2+bx+c中求出b、c的值，进而可得y1的解析式，根据解析式可得对称轴，进而得到点C的坐标，将点B、C的坐标代入y2=mx+n中求出m、n，据此可得y2的解析式；
（2）设P到x的距离为h，根据点A、C的坐标可得AC＝3，结合三角形的面积公式可求出h，进而得到点P的纵坐标，将P点的纵坐标代入y1解析式中求出x，进而可得点P的坐标；
（3）联立y1、y2解析式求出x、y，得到抛物线与直线的交点坐标，然后根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
易错分析 05
反比例函数K值得特殊意义及应用。对相关公式加深理解记忆，这类问题在考察作辅助线以及反比例函数与几何图形的综合运用上有一定要求
（2022九下·沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=kx 与 y=的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y 轴的垂线，交函数的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【思路点拨】答案有误。忽略了辅助线的解题技巧。连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，由反比例函数的对称性得OA=OB，根据等底同高三角形面积相等得S△AOC=S△COB，根据反比例函数k的几何意义可得S△AOD=1，S△COD=2，则S△AOC=3，据此计算.
【规范解答】解：连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，
如图，
∵反比例函数y=-为对称图形，
∴O为AB的中点，
∴S△AOC=S△COB，
∵由题意得A点在y=-上，B点在y=上，
∴S△AOD==1，S△COD=2；
S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，
∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.
故答案为：C.
【变式训练01】（2022·锡山模拟）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2 ，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点C'的坐标为 .
【答案】；
【规范解答】解：如图所示，连接OB交MN于Q，
由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ，
∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，
又∵BQ=OQ，
∴△BMQ≌△ONQ（AAS），
∴QM=QN，即点Q为OB的中点，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴ ，
∴△OHQ∽△OCB，
∴ ，
∵四边形OABC是矩形，
∴ ，
∵Q在反比例函数图象上，
∴ ；
过点 作 轴于G，
∵点M在反比例函数图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设AM=a，则BM=OM=3a，
∴ ，
∴ ，
解得 （负值已经舍去），
∴AB=OC=2， ，
∵QM=QG，OQ=BQ，
∴四边形OMBN是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点C的坐标为
故答案为： ， .
【思路点拨】连接OB交MN于Q，由折叠得MO=MB，OQ=OB，根据矩形以及平行线的性质得∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ，证△BMQ≌△ONQ，得QM=QN，过点Q作QH⊥x轴于H，易证△OHQ∽△OCB，根据矩形的性质可得S△OHQ=S矩形OABC=，根据反比例函数k的几何意义可得k=2S△OHQ=，过点C′作C′G⊥x轴于G，易得AM=AB，设AM=a，则BM=OM=3a，由勾股定理可得OA，然后结合三角形的面积公式可得a的值，易得四边形OMBN是平行四边形，则ON=BM，CN=C′N，利用勾股定理求出OC′，根据△OC′N的面积公式可得C′G，然后利用勾股定理求出OG，据此可得点C的坐标.
【变式训练02】（2021·江都模拟）如图，平行四边形ABCO的边AB的中点F在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数 （x＞0）的图象恰好经过AF的中点D，且△AEO的面积为6，则k的值为 .
【答案】9
【规范解答】解：如图，连接OD，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴△AEF∽△CEO，
∴ ＝ ，
∵F是AB的中点，
∴AB＝2AF，
∴OC＝2AF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵△AEO的面积为6，
∴S△AEF＝ S△AEO＝ ×6＝3，
∴S△AOF＝S△AEO＋S△AEF＝6＋3＝9，
∵点D是AF的中点，
∴S△DOF＝ S△AOF＝ ，
∴ |k|＝ ，且k＞0，
∴k＝9.
故答案为：9.
【思路点拨】连接OD，由平行四边形的性质可得AB∥OC，AB＝OC，证明△AEF∽△CEO，由中点的概念可得AB＝2AF，则OC＝2AF，根据相似三角形的性质可得＝＝，由△AEO的面积为6可得S△AEF＝3，进而求出S△AOF，S△DOF，然后结合反比例函数k的几何意义进行求解.
【变式训练03】（2021·大丰模拟）如图，点 在反比例函数 （ ）的图象上，点 在反比例函数 （ ）的图象上，且 轴， ，垂足为点 ，交 轴于点 .则 的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【规范解答】解：过D点作y轴垂线，垂足为D，BC与x轴交于点E，
∵ 轴，点 在反比例函数 上，
∴S四边形BDOE的面积为6，
∵ ，点 在反比例函数 上，
∴S四边形AOEC的面积为2，
∴S四边形ACBD的面积为8，
∴ S四边形ACBD=4.
故答案为：B.
【思路点拨】过D点作y轴垂线，垂足为D，BC与x轴交于点E，根据反比例函数k的几何意义可得S四边形BDOE=6，S四边形AOEC=2，据此求出四边形ACBD的面积，进而可得△ABC的面积.
易错分析 06
与坐标轴交点坐标一定要会求。面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。此类问题需要掌握一定的解题技巧，特别是辅助线的作法上，掌握必要的辅助线作法模型很重要，对解题速度，正确率都有很大的帮助。
（2022·南通模拟）若抛物线 的图像与 轴有交点，那么 的取值范围是 ．
【答案】m＜1
【思路点拨】答案有误，没有考虑到多种情况。令y=0，根据抛物线的图象与x轴有交点可得△≥0，代入求解可得m的范围.
【规范解答】解： 抛物线 的图像与 轴有交点，
令 ，有 ，即该方程有实数根，
，
．
故答案是：m≤1．
【变式训练01】（2022九上·盐城期末）二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有 .（填序号）
【答案】①②③
【规范解答】解：∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y轴交于负半轴，
∴ab＜0，c＜0，＞0，
∴abc＞0，
如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，
∴＞0，
故答案为：①②③.
【思路点拨】抛物线的对称轴在x轴的正半轴（左同右异）可得ab＜0，抛物线与x轴有两个不同交点可得b2-4ac＞0，与y轴交于负半轴可得c＜0，据此可判断①和②的正负；由图可知直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，即y=a-b+c＞0，据此判断③的正负.
【变式训练02】（2021九上·浦口月考）已知二次函数y＝（x－m）2－1（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）请根据m的不同取值，探索该函数图象过哪些象限?（直接写出答案）
（3）当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值.
【答案】（1）解：y=（x－m）2－1
y=x2－2mx＋m2－1，令y=0，x2－2mx＋m2-1=0，
∵a=1，b=-2m，c=m2-1，
∴b2－4ac＝4m2－4（m2－1）=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，
∴该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：∵a>0，
∴图象必经过一、二象限，
令y=0，即x2－2mx＋m2-1=0，
解得x1=m-1，x2=m+1，
∴当m+1≤0，即m≤﹣1时，图象过一、二、三象限；
当-1＜m＜1时，图象过一、二、三、四象限；
当m-1>0，m≥1时，图象过一、二、四象限.
（3）解：∵a=1＞0，图象开口向上，又∵对称轴为直线x=m，
∴当m≤1时，y随x的增大而增大，当x=1时y有最小值3，
即3=（1－m）2－1，解得m1=﹣1，m2=3＞1（舍去）；
当1＜m＜3时，当x=m时，y有最小值﹣1，y的最小值为3不可能；
当m＞3时，y随x增大而减小，当x=3时y有最小值3，
即3=（3－m）2－1，解得m1=1＜3（舍去），m2=5.
答：当1≤x≤3时，y的最小值为3，m的值为-1或5.
【思路点拨】（1）二次函数y＝（x－m）2－1的图象与x轴总有两个公共点，即关于x的一元二次方程 x2－2mx＋m2-1=0 有两个不相等的实数根，故证明判别式△>0即可；
（2）由a>0，图象必经过一 、二象限，再根据函数图象与x轴的交点情况，分别进行分析判断即可；
（3）分三种情况讨论，即m≤l，13，根据二次函数的性质分别分析，结合最小值为3，建立关于m的方程求解即可.
【变式训练03】（2021九上·淮阴月考）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，若点E为第二象限内抛物线上一动点，连接BE、CE.
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求四边形BOCE面积的最大值.
【答案】（1）解：令y=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，
解得x=-3，x=1（舍）
令x=0，代入y=﹣x2﹣2x+3，
解得y=3
故B点坐标为（-3，0），C点坐标为（0，3）
（2）解：连接EO，
设E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0）
故四边形BOCE面积最大为.
【思路点拨】（1）令x=0，先求出C点的坐标，令y=0，求抛物线与x轴的交点坐标，结合B点在y轴左侧，即可求出点B的坐标；
（2）连接EO， 设E点坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）（-3≤a≤0） ，观察图象可得四边形BOCE的面积拆分为△BEC和△OEC，根据列式，再整理化简，根据二次函数的性质求最大值即可.
易错分析 07
数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。
（2016·丹阳模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正确的结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【思路点拨】答案有误。根据二次函数图象与x交点的个数来判定b2﹣4ac的符号；将x=﹣1时，y＜0来推知a﹣b+c的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断b=2a的正误．
【规范解答】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；故本选项错误；
②根据图示知，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本选项正确；
③∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
又∵该抛物线与y交于正半轴，
∴c＞0，
而对称轴x=﹣ =﹣1，
∴b=2a＜0，
∴abc＞0；故本选项正确；
④由③知，b=2a；故本选项正确；
综上所述，正确的选项有3个．
故选C．
【变式训练01】（2022·连云港）已知二次函数 ，其中 .
（1）当该函数的图象经过原点 ，求此时函数图象的顶点 的坐标；
（2）求证：二次函数 的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线 上运动，平移后所得函数的图象与 轴的负半轴的交点为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）解：∵二次函数图象过O（0，0），
∴m-4=0，
∴m=4，
∴y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴顶点A坐标为（-1，-1）.
（2）证明：∵抛物线顶点坐标为，m＞2，
∴＜0，
又∵=-（m-4）2-1 ，
∴≤-1＜0
∴二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限.
（3）解：设平移后的二次函数表达式为y=x2+bx+c，
∴顶点坐标为，
当x=0时，B（0，c）
把代入y=-x-2中，得c=，
∵B点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴OB=-c=- ，
如图，过点A作AH⊥OB于点H，
由（1）可知：A（-1，-1）
∴AH=1，
∴ ，
∵-＜0，
∴当b=-1时，此时c＜0，△AOB的面积最大，最大值为.
【思路点拨】（1）由图象过原点可知，二次函数解析式的常数项为0，即m-4=0，解得m值即可求得二次函数的表达式，即可得出顶点A的坐标；
（2）由顶点坐标公式求得抛物线的顶点为，又m＞2，推出＜0，再由=-（m-4）2-1 ，可得＜0，确定二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）设平移后的二次函数表达式为y=x2+bx+c，则顶点坐标为，易得B（0，c），再把顶点坐标代入y=-x-2中得c=，进而表示OB=- ，如图，过点A作AH⊥OB于点H，由（1）可知A（-1，-1） ，则AH=1，再由三角形的面积公式代入数据计算得三角形AOB的面积=，再由二次函数的性质可得b=-1时，此时c＜0，△AOB的面积最大，最大值为.
【变式训练02】（2022·泗阳模拟）如图1，已知矩形的边长，.某一时刻，动点M从点A出发，沿以的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿方向以的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t.
（1）若是等腰直角三角形，则t= （直接写出结果）.
（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由.
（3）如图2，连接，试求的最小值.
【答案】（1）2
（2）解：∵，
∴以A、M、N为顶点的三角形与相似分为两种情况，
①当时，有，即，
解得：；
②当时，有，即，
解得：.
当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似；
（3）解：如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点，连接.作M点关于BC的对称点，连接，.
根据作图可知，，
∴，
∴当最小时最小，
∵，
∴的最小值为的长，即的最小值为2的长.
如图，连接并延长，交CD于点F，AB于点G.
∵作E点关于CD的对称点，
∴，.
又∵E为中点，
∴，G为AB中点，
∴，.
∵作M点关于BC的对称点，
∴，
∴.
在中，，
∵，
∴时，最小，即.
∴.
【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得AM=AN，由题意可得AM=t，DN=2t，则AN=6-2t，然后根据AM=AN就可求出t的值；
（2）分△ACD∽△NMA、△CAD∽△NMA，结合相似三角形的性质可得t的值；
（3）取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′，作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，E′M′，根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，则CN+2CM=2(CE′+CM′)≥2E′M′，连接EE′并延长，交CD于点F，AB于点G，易得E′F=EF=t，E′G=t+6，BM′=3-t，GM′=-t，根据勾股定理可得E′M′，然后结合二次函数的性质进行解答.
【变式训练03】（2022九下·扬州期中）已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；
（1）求抛物线解析式；
（2）当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；
（3）是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令y＝﹣x＋3＝0，
则x＝3
∴B（3，0）
令y＝﹣x＋3中x＝0，
则y＝3
∴C（0，3）
把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得：
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）解：如图1，设直线y＝﹣x＋3为l1，过点D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于点E，则D到线段BC的距离为FD的长.
∵B（3，0），C（0，3）
∴OB＝OC＝3
∴∠BCO＝∠CBO＝45°
∵DH⊥AB
∴∠BEH＝∠CBO ＝45°
∴∠DEF＝∠BEH＝45°
∵DF⊥BC
∴∠FDE＝∠DEF＝45°
∴DF＝EF
∴DE＝DF
∴当DE有最大值时，DF有最大值
设点D（m，﹣m2＋2m＋3）
则点E（m，﹣m＋3）
∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－）2＋
∴当m＝时，DE的最大值为
∴DF的最大值为÷＝.
（3）解：当点D在直线BC的下方时，如图2，过点A作AN⊥BC于N，设BD交OC于点P
∵OB＝OC＝3
∴BC＝3
∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3经过A、B两点
令y＝﹣x2＋2x＋3＝0
则x＝﹣1或3
∴点A（﹣1，0）
∴AO＝1，AB＝4
∴AC＝
∵S△ACB＝×AB×CO＝×BC×AN
∴4×3＝3×AN
∴AN＝2
∴CN＝
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO
∴∠BPO＝∠ACB
∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝
∴
∴OP＝
∴点P（0，）
设PB所在直线的一次函数为y＝k x＋b
将（0，），（3，0）代入，得
解得：
则直线PB解析式为：y＝﹣x＋
联立方程组可得：
解得：或
∴点D（﹣，）
当点D在直线BC的上方时，如图3，过点A作AN⊥BC于N，过点D作DQ⊥AB于Q
设点D（n，﹣n2＋2n＋3）
∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n
∴BQ＝3﹣n
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠ACN＝∠DBQ
∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝
∴
∴n＝3（不合题意）或n＝1
∴点D（1，4）
综上所述：点D坐标为：（﹣，）或（1，4）.
一、选择题
1．（2022九上·通州月考）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2
【答案】B
【规范解答】解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：B．
【思路点拨】利用抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴为直线x=h，由此可得到已知抛物线的对称轴.
2．（2022九上·通州月考）抛物线可以看作是由抛物线经过以下哪种变换得到的（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【答案】B
【规范解答】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点坐标为，
抛物线可以看作由抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，
故答案为：B
【思路点拨】利用二次函数的顶点式，可得到抛物线y=2（x-1）2+3的顶点坐标，而抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），利用两个顶点坐标由此可得答案.
3．（2022九上·吴江月考）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）
【答案】C
【规范解答】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故答案为：C.
【思路点拨】作线段AB、BC的垂直平分线，交点P即为外接圆的圆心，结合点P的位置可得相应的坐标.
4．（2022·南通）如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【规范解答】解：过O点作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°-60°=30°，
∴AB＝2BC=8，
，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝AC＝，
∴，
∴；
设BE＝x，OE2＝y，则EM＝AB−AM−BE＝8−3−x＝5−x，
∵OE2＝OM2＋EM2，
∴y＝（x−5）2＋3，
∵0≤x≤8，当x＝8时y＝12，
符合解析式的图象为C.
故答案为：C.
【思路点拨】过O点作OM⊥AB于M，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定理求出AM的长；设BE＝x，OE2＝y，可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2＝OM2＋EM2，可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.
5．（2022·南通）根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【规范解答】解：∵直线y=kx和直线y=-x+3两函数的交点坐标为（1，2），
∴当x＞1时kx＞-x+3.
故答案为：D.
【思路点拨】观察图象可知直线y=kx和直线y=-x+3两函数的交点坐标为（1，2），由此可得到kx＞-x+3的解集.
二、填空题
6．（2022·淮安）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值是 .
【答案】-4
【规范解答】解：将点A（2，3）向下平移5个单位长度得到点B，则B（2，-2），
∵点B恰好在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：-4.
【思路点拨】根据点的坐标的平移规律：横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减，得出点B的坐标，进而将点B的坐标代入反比例函数即可算出k的值.
7．（2022九上·通州月考）抛物线开口方向是 ．
【答案】向下
【规范解答】解：∵抛物线，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线的开口向下，
故答案为：向下．
【思路点拨】观察函数解析式，可知a＜0，可得到抛物线的开口向下.
8．（2022九上·洪泽月考）如图，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数图象上，点C的坐标为（3，4），则反比例函数的关系式为 ．
【答案】
【规范解答】解：∵菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（3，4），
∴，
∴AO=BC=5，
∴B（8，4），
∴k=4×8=32，
∴反比例函数的关系式为．
故答案为：．
【思路点拨】根据点C的坐标结合勾股定理可得CO的值，由菱形的性质可得AO=BC=OC=5，则B（8，4），然后根据点B在反比例函数图象上可得对应的函数关系式.
9．（2022九上·海陵月考）如图，反比例函数在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记，的面积分别为，，则的值为 ．
【答案】4
【规范解答】解：∵A（1，6）在反比例函数图象上，
∴k=6， 即反比例函数解析式为：，
∵B（3，b）在反比例函数图象上，
∴b=2， 即B（3，2）．
设直线AB为：，
∴， 解得：，
∴直线AB解析式为：y=−2x+8．
∴ 对于y=−2x+8，当y=0时，即−2x+8=0，
解得：x=4，
∴C（4，0），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4.
【思路点拨】将A（1，6）代入y=中求出k的值，可得反比例函数的解析式，将B（3，b）代入求出b的值，得到点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，得到C（4，0），根据三角形的面积公式求出S△AOC，证明△DAB∽△OAC，得到∠ADB=∠AOC，易得yD=yB=2，由三角形的面积公式可得S△DOC，由S△ADC=S△AOC-S△DOC可得S△ADC，据此求解.
10．（2022·盐城）《庄子▪天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为 ．
【答案】2
【规范解答】解：直线与y轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点A的坐标为(0，1)，点O1的坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
故答案为：2.
【思路点拨】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，则OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出点A1、A2的坐标，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，据此计算.
三、解答题
11．（2022·泗洪模拟）把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，所得的抛物线顶点坐标为（﹣3，2），求原抛物线相应的函数表达式.
【答案】解：把点（﹣3，2）向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为（2，3），即二次函数图象的顶点坐标为（2，3），
所以原抛物线相应的函数表达式为，即
【思路点拨】根据点的平移规律结合题意可得二次函数y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，3），据此不难得到对应的函数表达式.
12．（2021九上·南通月考）为促进经济发展，方便居民出行，某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，隧道最高点P离路面 的距离为6米，宽度 为12米，隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽为1米的隔离带.如果一货运汽车装载某大型设备后高为4米，宽为3.5米，按如图所示的平面直角坐标系这辆货车能否安全通过？为什么？
【答案】解：根据题意，顶点P的坐标为（6，6），
设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，
把点O（0，0）代入得：36a+6=0，
解得：a=− ，
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6)2+6（0≤x≤12）；
当x=6-0.5-3.5=2时，
y=− (2−6)2+6= ＜4，
∴这辆货车不能安全通过.
【思路点拨】根据题意得出抛物线的顶点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+6，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出当x=2时y的值，即可得出答案.
13．（2021九上·丰县期中）如图，抛物线的图像经过点，，直线经过点A，交抛物线于点D.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点E在线段上，连接且满足，点G是抛物线顶点，连接、，请你把图形补充完整，判断四边形的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线的图像经过点，，
∴
解得：
∴抛物线为：
（2）解：四边形为菱形.理由如下：
如图，补全图形如下，连接 过作轴于 过D作轴于N，
∵直线经过点
∴ 直线为
∴
解得：
当时，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴ 解得：
∴
∵
∴
∵
∴
同理可得：
∴
∴四边形为菱形.
【思路点拨】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+6中可求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）连接EB， 过E作EQ⊥x轴于Q， 过D作DN⊥x轴于N，求出直线AD的解析式，联立抛物线解析式可得x、y，表示出点D的坐标，根据S△ABD=3S△ABE结合三角形的面积公式可得DN=6，则EQ=2，进而可求出点E的坐标，根据抛物线的解析式可得点G的坐标，利用两点间距离公式可得AE，同理可得BE=AG=BG=AE，据此解答.
14．（2022九上·宿豫开学考）如图，在平面直角坐标系中，有，，三点．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）圆心M的坐标为 ；
（3）点坐标为，连接，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，点M即为所求．
（2）（2，0）
（3）解：直线与相切．
理由：连接，，
由勾股定理得，，，，
，
，
为的半径，
直线是的切线．
【规范解答】解：（2）由图可知，点的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
【思路点拨】（1）作出线段AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据点M所在的位置可得对应的坐标；
（3）连接MC、MD，由勾股定理可得MC2、CD2、MD2，结合勾股定理逆定理知△MCD为直角三角形且∠MCD=90°，据此判断.
15．如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；
（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．
【答案】解：（1）∵将原点O、点B、点C的坐标代入得：，解得：a=1，b=﹣4，c=0，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将点A（2，﹣4）、B（3，﹣3）代入得，解得：k=1，b=﹣6，
∴直线AB的解析式为y=x﹣6．
∵令y=0得x﹣6=0，解得：x=6，
∴D（6，0）．
∴OD=6．
∵AF⊥x轴，（2，﹣4），
∴F（2，0）．
∴AF=4，DF=4．
∴AF=DF．
∴∠GAB=∠ODA．
∴当时，△GBA∽△AOD．
∵由两点间的距离公式可知AB==，AD==4，
∴，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
（3）如图1所示：BM与AF的交点记为G．
∵∠BMN=∠OAF，∠A=∠ODA，
∴△GBA∽△AOD．
∴，即，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B、G的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=﹣2．
∴直线BM的解析式为y=﹣X﹣2．
如图2所示：MB与x交点记为G．
BD=AD﹣AB=4﹣=3．
∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，
∴△FBD∽△AOD．
∴，即，解得DG=4．
∴点G的坐标为（2，0）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B和点G的坐标代入得：，解得k=﹣3，b=6．
∴直线BM的解析式为y=﹣3x+6．
综上所述，直线MB的解析式为y=-x﹣2或y=﹣3x+6．
【思路点拨】（1）将原点O、点B、点C的坐标代入求得a、b、c的值即可；
（2）先求得直线AB的解析式，然后可求得点D的坐标，于是得到AF=DF，由两点间的距离公式可求得AB、AD的长，由等腰三角形的性质可证明∠GAB=∠ODA，故此时，△GBA∽△AOD．接下来依据关系式可求得AG的长，从而可求得点G的坐标；
（3）如图1所示：BM与AF的交点记为G．先证明△GBA∽△AOD，由相似三角形的性质可求得AG的长，于是得到点G的坐标，然后依据待定系数法可求得BM的解析式；如图2所示：MB与x交点记为G．先证明△FBD∽△AOD，由相似三角形的性质可求得DG的长，从而得到点G的坐标，然后依据待定系数法可求得MB的解析式x
⋯
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
3
0
0
n
⋯
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…