【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——05 四边形（原卷版+解析版）

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易错点05 四边形
1． 多边形对角线、内角和、外角和
2． 平行四边形定义性质判定。
3． 菱形定义性质判定。
4． 矩形形定义性质判定。
5． 正方形定义性质判定。
6． 四边形综合应用

易错分析 01

认识多边形。多边形考察范围较广，涉及的知识点较为宽泛，在综合能力考察上要求较高，注意规则图形与不规则图形的转换方式，辅助线分割方法，化繁为简。掌握解题技巧性

如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________．

【答案】1∶2
【思路点拨】答案有误，分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【规范解答】解：，
，
∴的面积与的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【考点评析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．

【变式训练01】（2022·江苏常州·九年级专题练习）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．

【答案】不会
【思路点拨】设扭动后对角线的交点为，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断．
【规范解答】解：设扭动后对角线的交点为，如下图：

，
根据正方形的性质得，
得出扭动后的四边形四边相等为菱形，
cm，
为等边三角形，
cm，
cm，
cm，
根据菱形的对角线的性质：(cm)，
，
不会断裂，
故答案为：不会．
【考点评析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．
【变式训练02】（2023秋）已知，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)如图1，在方格纸中画出以为一边的等腰，点C在小正方形的顶点上，且的面积为10；
(2)如图2，在方格纸中画出以为一边的平行四边形，点D、E均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10，连接，并直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，

【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形面积求法得出答案；
（2）根据平行四边形的面积为10构造图形即可．
【规范解答】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，四边形即为所求；
由图可知：．

【考点评析】此题主要考查了网格中多边形的面积，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是根据提供的面积，结合网格性质画图．
【变式训练03】（2022秋九年级期中）如图，菱形的两条对角线，相交于点O，若，，求菱形的周长．

【答案】
【思路点拨】根据菱形的性质，得到，，进而得到，再根据勾股定理得到，即可求出菱形的周长．
【规范解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形的周长．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，多边形周长，熟练掌握菱形的性质是解题关键．


易错分析 02

多边形对角线、内角和、外角和。掌握内角和公式，外角和360°公理的由来。


（2022秋·九年级统考期中）已知，如图两个四边形相似，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】答案有误，根据相似多边形的性质及四边形的内角和即可求解．
【规范解答】解：如图：

两个四边形相似，
，
，
故选：A．
【考点评析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握和运用相似多边形的性质是解决本题的关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，已知，．

(1)在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
(2)连接，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
【规范解答】（1）解：如图1，

即为所求．
（2）如图2，

连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考点评析】此题主要考查了基本作图，三角形的内切圆的性质，四边形的内角和公式，圆周角定理，解本题的关键是作出三角形的内切圆．
【变式训练02】（2021·校考二模）下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x＋k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路点拨】根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可．
【规范解答】解：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意；
（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°20′，故错误，不符合题意；
（3）∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），
解得：n＝10，
这个正n边形的对角线的条数是：＝35（条），正确，符合题意；
（4）当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4，故错误；
∴正确的个数是1，
故选：A．
【考点评析】本题考查了等腰三角形的分类问题，注意等腰三角形的边分底边和腰两种情况，同时还要注意满足三角形三边关系.
【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、．

(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)【问题解决】若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
(3)【问题解决】在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)①正方形，见解析；②
(3)

【思路点拨】（1）由勾股定理得AB=2，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得AE'=AE，∠EAE'=α=90°，∠AE'D=∠AEB=90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；
②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE（AAS），得CG=BE=4，BG=AE=2，则EG=BE-BG=2，再由勾股定理求解即可；
（3）当α=0°时，E'与E重合，CE'最短=2；当E‘落在CA的延长线上时，AE'=AE=2，CE'最长=AC+AE'=2+2，即可得出答案．
【规范解答】（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴，
∵四边形ABD是正方形，
∴，∠ABC＝90°，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
∠BCG＝∠ABE
∠BGC＝∠AEB
BC＝AB，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴．

（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
点E′运动轨迹是以A为圆心，AE＝2为半径的半圆，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短；
当E′落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长，
∴线段CE′长度的取值范围是．
【考点评析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形





易错分析 03

平行四边形的性质掌握及应用。理解性质和判定的区别和联系，充分应用平行四边形的性质解决问题


（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为______．

【答案】
【思路点拨】答案有误，过点作，先由和平行四边形的性质说明是的中位线并求出，再判断，最后由相似三角形的性质得结论．
【规范解答】解：过点作，交于点，
四边形是平行四边形，是对角线与的交点，
，点是的中点．
，
是的中位线．
，．
．
．
，
．
．
．
故答案为：．

【考点评析】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．

【变式训练01】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸．

（1）的距离等于___________；
（2）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥（点在上，点在上，桥的宽度忽略），使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）___________．
【答案】          见解析
【思路点拨】（1）利用勾股定理求出的长即可；
（2）要使最短，则，与转化成一条线段时最短，取格点，连接，使，交于Q，交于P，由网格性质可得，由可得平行线间的距离的长，取格点、，连接，使)，与交于点，根据相似三角形的性质可得，同理可作点，连接与交于点，连接与交于点，则， 可得四边形是平行四边形，由全等三角形的性质可得，可得四边形是平行四边形，可知，同理，则距离最短，即可得解.
【规范解答】（1）=.
故答案为：
（2）如图，取格点，连接，使，交于Q，交于P，
∴，
∴，
取格点、，连接，使)，与交于点；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理：，
∴距离最短，
∴即为所求.

故答案为：取格点，连接，使，交于Q，交于P，取格点、，连接，使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求．
【考点评析】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键．

【变式训练02】（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得.
（2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值.
【规范解答】（1）四边形是平行四边形

，
，

（2）四边形是平行四边形
设
由（1）得

，

四边形是平行四边形


．

【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点A，与交于点E．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若cm，弦CE的长为16cm，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)10

【思路点拨】（1）根据切线的性质可得，然后根据平行四边形的性质可得，从而利用平行线的性质求出，即可解答；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，从而可证，然后利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【规范解答】（1）证明：∵与相切于点A，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
在中，，
∴，
∴的半径长为10．
【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

易错分析 04

平行四边形的判定及应用。熟练掌握判定方法的证明过程，借助辅助线解决问题。


（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点D是边的中点，点F，E分别是及其延长线上的点，，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当满足____________条件时，四边形为菱形．（填写序号）
①．②，③，④．
【答案】(1)见详解
(2)③，理由见详解

【思路点拨】第2小题答案有误，（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【规范解答】（1）证明：在中，D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）满足条件①时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
∵为中线，
∴，
即，
由（1）知，，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：①．
【考点评析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的判定方法，且证得得到是解决问题的关键．

【变式训练01】（2019秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，，，圆心在内部经过、两点，并交于点，过点作的切线交于点延长交于点，作交于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)详见解析
(2)

【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据切线的性质得到，得到，于是得到结论；
（2）过作于，得到是等腰直角三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
【规范解答】（1）证明：在中，，，
，
，
是的切线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作于．
是等腰直角三角形，

，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【考点评析】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练02】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图，点，均在正方形内部，且，．
求证：四边形是平行四边形；
求正方形的边长；
（2）如图，点，，，均在正方形内部，且，，求正方形的边长．

【答案】（1）见解析；（2）（3）
【思路点拨】（1）①连接交于点，证明，则，即可得证；
②根据勾股定理以及全等三角形的性质得出，即可求解；
（2）连接交于点，过点作交的延长线于点，证明，勾股定理求得，进而即可求解．
【规范解答】（1）①证明：如图，连接交于点

∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴；
（2）连接交于点，过点作交的延长线于点，如图，

∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
同理可得三点共线，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
【考点评析】本题考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
【变式训练03】（2021秋·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，中，，O为边上一点，经过点A，与，两边分别交于点E，F，连接．平分，交于点D，经过点D．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4

【思路点拨】（1）连接，欲证明是切线，只要证明即可得解；
（2）过O作于点G．证明四边形四边形为矩形，求出，可得结论．
【规范解答】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，过O作于点G，

由垂径定理，得：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
【考点评析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．

易错分析 05

特殊平行四边形（矩形）判定与性质应用。求角度，求线段长，求面积等问题中有一定难度，综合能力要求较高，注意解题技巧的掌握。三角形的中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尽管都有“一半”，但二者成立的条件和结论不一样，不要混淆。


（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=___________．

【答案】2
【思路点拨】答案有误，未考虑到辅助线。首先确定P点的位置，画出辅助圆，再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的判定与性质即可求解．
【规范解答】解：如图，当P点在与相切，且经过D点和M点的上时，的度数最大，
此时，P点即为切点，
连接，
∴，
∵正方形的边长为，M点为的中点，
∴，
过O点作于E，
∴，
延长，交于点F，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
连接，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【考点评析】本题考查了最大张角问题，涉及到了正方形性质的应用、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．

【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，为的直径，平分，于，交于．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）连接，推出，得到，即可得到，由此得到结论为的切线；
（2）过点作于，根据垂径定理得到，证明四边形为矩形，求出，利用勾股定理求出即可．
【规范解答】（1）证明：连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：过点作于，

则，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
则的半径为．
【考点评析】此题考查了圆的知识，证明一条直线是圆的切线，垂径定理，以及勾股定理，矩形的判定和性质定理，熟记各定理是解题的关键．
【变式训练012（（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，轴，，原点是对角线的中点，顶点的坐标为，反比例函数在第一象限的图象过四边形的顶点．

(1)求点的坐标和的值；
(2)将平行四边形向上平移，使点落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段扫过的面积．
(3)若、两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形是菱形，求的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【思路点拨】（1）利用平行于轴的直线上的点纵坐标相等得出的纵坐标，再用距离确定出点的横坐标，将的坐标代入，利用待定系数法即可求出；
（2）利用平行四边形的性质得出点点坐标为．设点向上平移个单位，根据在的图象上，列出方程，求出，那么平移过程中线段扫过的面积是的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；
（3）利用菱形的性质得出直线的解析式，根据点，在双曲线上求出点，的坐标，再根据两点间的距离公式求出的长．
【规范解答】（1）解：设与轴交于点，
轴，
、的纵坐标相同．
，
，
，
．
在反比例函数的图象上，
；
（2）解：在平行四边形中，原点是对角线的中点，
与关于原点对称，
．
设点向上平移个单位，则在的图象上，
，解得．
设与相交于，
则．
平移过程中线段扫过的面积是；

（3）解：四边形是菱形，
．
直线的解析式为，
直线的解析式为：，
设点的坐标为且，则点的坐标为，
、两点分别在反比例函数图象的两支上，
，
解得：，
故的坐标为：，的坐标为，
．

【考点评析】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形变化平移．解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是求出平移的距离，解（3）的关键是确定出直线的解析式．
【变式训练013（（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考期中）如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．

(1)求证：．
(2)当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，的值为或

【思路点拨】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）分情况讨论 ：①当时，则得到四边形为矩形，从而求得x的值；②当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
【规范解答】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解： ①若，如图1，

则，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，即．
②如图2，若，

则，
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴点为的中点，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的的值为或．
【考点评析】本题考查动点问题，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解．

易错分析 06

特殊平行四边形（菱形）判定与性质应用。


（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】答案有误，首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
【规范解答】解：过点D作DE⊥BC，

∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a•DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故选：C．
【考点评析】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．

【变式训练01】（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)25

【思路点拨】（1）根据矩形性质，先得出，根据平行线的性质得出∠EDO=∠FBO，利用“ASA”证明△DOE≌△BOF即可；
（2）根据EF垂直平分BD，得出BE=DE，设BE=DE=x，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，证明四边形BFDE为菱形，即可求出其周长．
【规范解答】（1）解：∵O为BD中点，
∴BO=DO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，
设BE=DE=x，则
在Rt△ABE中，，
即，
解得：，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
又∵，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵，
∴四边形BFDE为菱形，
，
∴．
【考点评析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，根据已知条件，利用勾股定理，求出BE的长，是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【思路点拨】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；
（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【规范解答】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，

由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
【变式训练03】（2022·浙江温州·统考二模）如图，在8×8的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD为格点图形（顶点在格点上），请按以下要求画出相应的格点图形．

(1)在图1中画出格点△ABP，使△ABP的面积等于四边形ABCD的面积．
(2)在图2中画出格点四边形ABQD，使四边形ABQD的面积等于四边形ABCD的面积，且格点Q不与格点C重合．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析．

【思路点拨】（1）先延长CD、BA交于格点E，求出四边形ABCD的面积，根据AB的长度求出AB边上的高，作图即可；
（2）连接BD，由题意知三角形BCD面积等于三角形BQD面积，即CQ∥BD，过点C作直线l∥BD，找到交点在格点的位置即可．
【规范解答】（1）解：延长CD，BA交于格点E，如图所示，

可得：四边形ABCD面积=三角形BCE面积－△ADE面积=，
∵AB=3，
∴三角形ABP中，AB边上的高为9×2÷3=6，
即P点在距离AB为6个单位长度的直线上，作图如下（答案不唯一）．

（2）解：连接BD，
∵四边形ABQD的面积等于四边形ABCD的面积，
∴三角形BCD面积等于三角形BQD面积，即CQ∥BD，
过点C作直线l∥BD，
直线l上在格点处即为Q点位置，作图如下（答案不唯一）．

【考点评析】本题考查了格点中的应用设计作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角形面积公式，难点在于利用同底等高的三角形面积相等作图．

易错分析 07

特殊平行四边形（正方形）判定与性质应用


（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【思路点拨】答案有误，延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解．
【规范解答】解：如图，延长交于，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵将绕着点顺时针旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，故②正确；
∴，
∴

，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，故④错误，
∴正确的是：①②③，
故选：B．
【考点评析】本题考查了矩形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．

【变式训练01】（2022秋·九年级课时练习）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【规范解答】如图，连接, ，

边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，


．
故选C．
【考点评析】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏·九年级周测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．

(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)

【思路点拨】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等证明∠PDO=∠POD，则AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）连接OC、OD，由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出r的值；
（3）设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，当EF与相切时r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD 【规范解答】（1）解：如图1，连接OD，

∵与AC相切于点D，
∴，
∴∠ADO=90°，即∠PDO+∠PDA=90°，∠POD+∠A=90°，
∵AP=DP，
∴∠PDA=∠A，
∴∠PDO=∠POD，
∴DP=OP=OB，
∴AP=OP=OB=r，
∵AB=8，
∴3r=8，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图2，连接OC、OD，

∵∠ABC=90°， AB=8， BC=6，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，如图3，当EF与相切时，r的值最小，
设切点为点E，连接OD、OE，则，

∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°，
∴四边形ODFE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODFE是正方形，
∴
∵，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴r的最小值为；
如图4，当时，直线EF与相交，

∵OD ∴OB+OD ∴2r<8，
∴r<4，
∴r的取值范围是；
【考点评析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题．
【变式训练03】（2019·河北唐山·统考二模）关于边形，甲、乙、丙三位同学有以下三种说法：
甲：五边形的内角和为
乙：正六边形每个内角为
丙：七边形共有对角线14条
（1）判断三种说法是否正确，并对其中你认为不对的说法用计算进行说明
（2）若边形的对角线共35条，求该边形的内角和
【答案】（1）甲、乙的说法不正确；丙的说法正确，理由详见解析；（2）1440°
【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理，三角形的外角和分别验证甲、乙的说法，根据多边形的对角线公式计算得出七边形的对角线条数是14条即可判断丙的说法；
（2）根据题意列方程求出n，再根据多边形的内角和公式求出内角和即可.
【规范解答】解(1)甲、乙的说法不正确；丙的说法正确，
甲：正五边形的内角和为，
乙：正六边形外角和为，每个外角为，每个内角为（其他方法也可）；
(2) ，
解得：（舍去），
∴该多边形的内角和是.
【考点评析】此题考查多边形的内角和定理，外角和度数，对角线条数公式，解一元二次方程求边数.

易错分析 08

四边形综合应用。矩形、菱形、正方形有各自成立的前提条件，解题时应明确矩形、菱形、正方形的判定定理，不要混淆。平行四边形的两条对角线把其分割为4个三角形，其中相对的两个互相全等；矩形的两条对角线把其分割为4个等腰三角形，其中相对的两个互相全等；菱形的两条对角线把其分割为4个全等的直角三角形；正方形的两条对角线把其分割为4个全等的等腰直角三角形.解题时要充分应用这些三角形的特征，注意它们的联系与区别。


（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿以的速度向点D移动，两点同时出发，一点到达终点时另一点即停．

(1)运动几秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分？
(2)运动几秒时，P，Q两点之间的距离是？
【答案】(1)2秒
(2)秒

【思路点拨】（1）根据题意，设运动时间为t秒，将用t表示出来，跟为梯形的面积占2份和5份两种情况进行讨论即可；
（2）过P点作，垂足为M点，根据勾股定理求解即可．
【规范解答】（1）解：设运动时间为t秒，
依题意得：∵，
∴．
∴，．
∴，
，解得
，解得（舍），
∴运动2秒时，能将矩形ABCD的面积分成两部分．
（2）如图，过P点作，垂足为M点，

∴，，
∴，
∴，即
∴或（舍去），
∴时，P、Q两点之间的距离是．
【考点评析】本题主要考查矩形的动点问题，勾股定理和用平方根的定义解方程，解题的关键是根据题意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

【问题探究】
(1)如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．
【答案】(1)一定
(2)四边形是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形的周长最小值为
(3)或或14

【思路点拨】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可；
（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【规范解答】（1）∵四边形的邻边相等，
∴矩形一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②，四边形是等邻四边形；
理由：连接．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴    ，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是等邻四边形，
∴，
∵，
∴的值最小时，四边形的周长最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
此时，，
∴四边形的周长的最小值为．

（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．
∵，，
∴，，
∵，
∴，

①当时，
．
②当时，设，
在中，∵，
∴，
∴，
∴．
③当时，点与重合，此时．
．
综上：四边形的面积为或或14．
【考点评析】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式训练02】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形中，，．如果点E由点B出发沿方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度分别为和．已知，分别交，于点P和点Q，设运动时间为（）．

(1)连接，，当_____s时，四边形为平行四边形；
(2)连接，若的面积为，求t的值；
(3)若与相似，求t的值．
【答案】(1)
(2)t的值为2
(3)t的值为或或

【思路点拨】（1）根据题意分别表示出，的代数式，令即可得出答案；
（2）由题意知，，，，，根据的面积为，构建方程求出t即可．
（3）分四种情况进行讨论：去①当点在点左侧，时；②当点在点左侧，时；③当到达点右侧时，时；④当到达点右侧时，时；分别根据相似三角形的性质以及等腰三角形的性质列方程求解即可．
【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形，
∴
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
即，
解得：，
故答案为：；
（2）由题意知，，，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，即t的值为2；
（3）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
当点在点左侧，时，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即t的值为2．
当点在点左侧，时，,
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，即,
∴，
∴，
∴，
∴；
当到达点右侧时，时，
，

则,即，
解得：，
当到达点右侧时，时，点到达点，不符合题意；
综上所述：若与相似，t的值为或或．
【考点评析】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．

一、选择题
1．（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）四边形的对角线和相交于点O．有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形；⑥正方形．则下列推理正确的是（　　）
A．②③→⑥ B．①②→⑤ C．①④→⑤ D．②⑤→⑥
【答案】D
【思路点拨】由菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法对每个选项进行分析，即可得出答案．
【规范解答】解：∵由②③对角线相等，对角线互相垂直，不能判断四边形是正方形，
∴选项A不符合题意；
∵由①可得四边形是平行四边形，再由②，对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
∵由①可得四边形是平行四边形，再由④，四边形是矩形，不能判定四边形是菱形，
∴选项C不符合题意；
∵由②⑤，对角线相等的菱形是正方形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【考点评析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，掌握菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在菱形中，于点，分别交于点，的延长线于点，且．则的值为（   ）

A． B． C． D．
【答案】D
【思路点拨】根据菱形的性质可得，，从而利用平行线的性质可得，，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．
【规范解答】解：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
故选：D．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
3．（2021·江苏·九年级专题练习）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
【答案】A
【思路点拨】根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，三者都是平行四边形，从而得到答案．
【规范解答】解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了正方形、矩形、菱形的性质．
4．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，矩形中，，点E在边上运动，连接，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．设，，则y关于x的函数图象大致为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】勾股定理求出，作于M，证明，得到，由此求出，然后根据勾股定理即可得结论．
【规范解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
作于M，

∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，图象对称轴为y轴，开口向上，
当点E与点C重合时，，
∴y关于x的函数图象大致为A，
故选：A．
【考点评析】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在正方形中，点的坐标分别是，，点在抛物线的图像上，则的值是（    ）

A． B． C． D．1
【答案】B
【思路点拨】作轴于，于，根据四边形是正方形，得到，由得到，从而可以证明，从而得到，设，根据边对应相等求出点的坐标，代入二次函数解析式即可求出的值．
【规范解答】解：如图所示，作轴于，于，

四边形是正方形，
，
，
，
，
（AAS），
，
设，
点的坐标分别是，，
，
解得，
，
点在抛物线的图像上，
，
解得：，
故选：B．
【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、二次函数图象上点的坐标特点，得出点坐标是解题的关键．
6．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、、分别是、、的中点，，则的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【思路点拨】连接、，由平行四边形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，由平行线得出，设，则，证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，得出，由勾股定理得出方程，求出，得出，在中，由勾股定理求出，即可得出的长．
【规范解答】解：如图所示：连接、，

四边形是平行四边形，
，
点分别是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设，则，
点分别是的中点，
是的中位线，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
，
，
，
，
在中，，
，

故选：．
【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解答本题的关键．

二、填空题
7．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，正方形的边长为8，，，线段的两端在、上滑动，当______时，与相似.

【答案】2或4##4或2
【思路点拨】根据，中，所以在中，分与和是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出与的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【规范解答】解：，
，
又与以、、为顶点的三角形相似，
分两种情况：
①与是对应边时，，
，
即，
解得：；
②与是对应边时，，
，
即，
解得：．
综上所述：当为4或2时，与相似．
故答案是：4或2．
【考点评析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．
8．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，若的内切圆⊙O与分别相切于点D，E，F，且，则阴影部分的周长是______．

【答案】8
【思路点拨】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解．
【规范解答】解：，，，
，
、与分别相切于点、，
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
即，
阴影部分周长为8．
故答案为：8．
【考点评析】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．
9．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，在中，E是上一点，且，连接相交于F，则是____________．

【答案】##
【思路点拨】根据题目已知条件求证，再找到相似三角形的相似比即可表示出其面积比．
【规范解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点评析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及相似三角形面积比与相似比之间的关系是解题的关键．
10．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为______．

【答案】
【思路点拨】根据小正方形的面积为，可求出小正方形的边长，根据正方形的性质可证，由此即可求解．
【规范解答】解：∵小正方形的面积为，
的边长为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在正方形和小正方形中，，
，
，
，
，
，
，即正方形的边长为．
故答案为：．
【考点评析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，相似三角形的判定方法，及性质是解题的关键．
11．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）如图，已知抛物线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为，点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且，连接，取的中点F，则的长为__．

【答案】
【思路点拨】根据题意A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称得到，连接，由中位线定理得，求出长即可得解．
【规范解答】解：∵点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，，
∴，
∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴，

连，的中点是F，
∴．
故答案为：．
【考点评析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．

三、解答题
12．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，、是平行四边形对角线上的两点，且求证：．

【答案】见解析
【思路点拨】根据平行四边形性质得出，根据平行线性质求出，求出，根据证即可．
【规范解答】证明：四边形是平行四边形

，
，
，
即，
在和中
，
．
【考点评析】本题考查了平行四边形性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定等知识的，关键是推出证和全等的三个条件．
13．（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径以及上，并且，若．

(1)求的长；
(2)求的半径．
【答案】(1)；
(2)的半径为．

【思路点拨】（1）由四边形为正方形，得，，又，，即可求出；
（2）连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径．
【规范解答】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
连接，

则为直角三角形，
于是．
即的半径为．
【考点评析】此题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据角的度数求出是等腰直角三角形，作出辅助线，利用勾股定理求解．
14．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，矩形中，为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的点处．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
【规范解答】（1）解：证明：四边形是矩形，
，
沿翻折得到，
，
，，
，
；
（2），，
，
在中，
，
，
由（1）可得：，
，
即，
解得，
．
故长为．
【考点评析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换的性质是解题的关键．
15．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒．

(1)当时，的面积为．
(2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能请说明理由；
(3)运动过程中，当点，，，四个点恰好在同一个圆上时，求值．
【答案】(1)
(2)的面积不可能为
(3)或时、、、四点恰好在同一个圆上

【思路点拨】（1）根据运动速度表示出长度，然后计算出三个直角三角形面积，再由矩形面积减去三个直角三角形面积就能得到的面积；
（2）根据（1）总得出的面积计算方式，列出关于的方程，通过判断方程有无解来即可判断；
（3）是直角三角形如果它的三个顶点都在圆上，可得是直径，也要在圆上，那么也是直角三角形，通过勾股定理用表示出，再由列出方程求解即可.
【规范解答】（1）由题意得，
，
，，

（2）根据题意得

整理得
，
方程无实数根
的面积不可能为
（3）
、、三点在以为直径的圆上
若点也在圆上，则

当

解得
或时、、、四点恰好在同一个圆上．
【考点评析】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及一元二次方程的应用，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是根据勾股定理列出方程．